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1、1专题专题 2525 平面向量的模长问题平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发.（一）代数法利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0aaaa 可得：22aa ，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系
2、.要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若,ax y ，则22axy .某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题（二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量, a b ，则有：（1）若, a b 共起点，则利用平行四边形法则求ab ，可得ab 是以, a b 为邻边的平行四边形的对角线（2）若, a b 首尾相接，则利用三角形法则求出ab ，可得ab ，, a b 围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于a（1）共
3、线（平行）特点：a 与a 为共线向量，其中0时，a 与a 同向；0时，a 与a 反向（2）模长关系：aa3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABCA三个内角, ,A B C所对的边为, ,a b c 正弦定理：sinsinsinabc ABC 余弦定理：2222cosabcbcA（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线2特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形.（3）矩形：若四边形ABCD的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某
4、条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 【经典例题经典例题】例 1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2019 届高三上学期 9+1 联考】如图，点C在以AB为直径的圆上，其中2AB ，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则AC PB 的最大值是（ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. 1【答案】B【解析】连结BC，则=90ACBAPPC 21AC PBPC AC PB 的最大值为 13故选 B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、
5、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.例 2.已知向量, a b 的夹角为45，且1, 210aab ，则b （ ）A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 【答案】D【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,104ABBAC，只需利用余弦定理求出BC 即可.解 1：如图可得：bBC ，在ABCA中，有：2222cosACABBCAB BCB 例 3. 已知向量, a b ，且1,2ab ，则2ba 的取
6、值范围是（ ）4A. 1,3 B. 2,4 C. 3,5 D. 4,6 【答案】3,5解 2：222244174cos,178cos,baba baa ba ba b 因为cos,1,1a b 229,25ba 即23,5ba例 4.【2019 届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足 则（ ）.|=|= = ( + 2 2) = 2A. B. | |=3 +72| + |=3 72C. D. | |=3 +72| + |=3 72【答案】A【解析】由已知可得： =|cos = 2，cos =1 2 = 3建立平面直角坐标系， = =(2，0) = =(1， 2
7、) = =(，) ( + 2 2)= 2可得：(，)(4 2，2 3 2)= 24 22+ 2 3 22= 25点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例 5.【2019 届北京市城六区高三一模】已知点在圆 上，点在圆 1：( 1)2+ ( 1)2= 12：上，则下列说法错误的是( + 1)2+ ( + 1)2= 1A. 的取值范围为 3 2 2,0B. 取值范围为| + |0,2 2C. 的取值范围为| |2 2 2,2 2 + 2D. 若，则实数
8、 的取值范围为 = 3 2 2, 3 + 2 2【答案】B【解析】M 在圆 C1上，点 N 在圆 C2上，MON90，0， 又 OM+1，ON+1，22当 OM=+1，ON=+1 时，22取得最小值（+1）2cos=32，故 A 正确； 22设 M（1+cos，1+sin） ，N（1+cos，1+sin） ，则=（cos+cos，sin+sin） ， + 2=2coscos+2sinsin+2=2cos（）+2，| + |02，故 B 错误；| + |6故选 B例 6.【2017 浙江，15】已知向量a a，b b满足1,2, ab则abab的最小值是_，最大值是_【答案】4，2 5【解析】【
9、名师点睛】本题通过设入向量, a b 的夹角，结合模长公式， 解得754cos54cosabab ，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求例 7.【2017 课标 1，理 13】已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则| a a +2 b b |= .【答案】2 3【解析】试题分析：222|2 |44|44 2 1 cos60412abaa bb 所以|2 |122 3ab .秒杀解析秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2ab 的模长是以 2 为边长的菱形对角线的长度，则为2 3.例 8.【2019 届山西省孝义市高
10、三下学期一模】已知向量 与 的夹角是，且，则向量 与56|=| + |的夹角是_ + 【答案】120【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示， = , = , = + , = 1500, = 300.，| = | + | = = 300, = 1200.所以向量 与的夹角是 120. + 8故填 120. 例 9.【2019 届湖北省高三 4 月调研】已知向量a与b的夹角为 30，2ab，则ab的最大值为_【答案】42 3【解析】分析：由题意2ab，利用基本不等式和向量的运算，求的4 23ab，进而可求得ab的最大值.所以2222024444cos3042 3ab
11、ababa ba babab442 328 16 323，当且仅当ab时，等号成立，所以28 16 342 3ab.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决例 10.已知平面向量, ,a b c 满足1,2ab ，且1a b ，若向量,ac bc 的夹角为60，则c 的最大值是_.【答案】2 21 392 212sin3BDdRBAD，即 max2 21 3c答案
12、：2 21 3CDBA【精选精练精选精练】1已知正方形 ABCD 的边长为 1， 则等于（ ） = , = , = ,| + + |A. B. C. D. 232 23【答案】C【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到，即可求解其模| + + |=| + + |= 2|详解：因为正方形的边长为 ，1 = , = , = 则，| + + |=| + + |= 2|因为，所以，故选 C|=|= 1, | + + |= 2 2点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法10则求出向量的和是解题的关键2.【2019 届山东省栖霞市第一中学高三 4 月模
13、拟】已知向量，且，则的 =(1, 1) =(,2) | + |值为（ ）A. B. C. D. 272 210【答案】D3.【浙江省嘉兴第一中学 2019 届高三 9 月基础知识测试】若，且，|=|=|= 2 = 0，则的取值范围是（ ）( )( ) 0| + |A. B. 0,2 2 + 20,2C. D. 2 2 2,2 2 + 22 2 2,2【答案】D【解析】11故选：D.4对于任意向量，下列说法正确的是（ ）,A. B. | + + | | | | + + | | + | |C. D. | + + | | + | + + | | |【答案】A【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，
14、且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确| + + |=|( + )+ |=| + | + | + + |答案为 A.5已知向量a， b满足： 324 ,abab，则a b A. 3 B. 5 C. 3 D. 10【答案】D【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出详解：|a|=3，|b |=2，|a+b |=4，|a+b |2=|a|2+|b |2+2a b=16，2a b=3，|ab |2=|a|2+|b |22a b=9+43=10，|ab |=10，故选：D6 【2019 届四川省绵阳市三诊】ABC中， 5AB ， 10AC ， 25AB AC ，点P是ABC内
15、（包括边界）的一动点，且32 55APABAC R（），则AP 的最大值是（ ）12A. 3 3 2B. 37 C. 39 D. 41【答案】B因为10 ，所以2AP 的最大值为37，故 max37AP ，选 B.点睛：本题中向量,AB AC 的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算2216129AP ，其中的取值范围可以由P的位置来确定.7 【2019 届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知是边长为 1 的正三角形，若点 满足，则的最小值为（ ） =(2 ) + ( R)|A. B. 1 C. D. 33234【答案】C【解析】分析：以 为原点，以为 轴，建立坐标系，可得， = =(12
16、 +1 2,3232)|，利用配方法可得的最小值.=2 + 1|13|=(1 2 +1 2)2+(3232)2，故选 C.=2 + 1=( 1 2)2+3 432点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则；（）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）. 8 【2019 届湖南省永州市三模】在中， 是上一点，且 = 600 = 5 = 6，则等于（ ） = 5|A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】
17、 在中， 是是上一点，且， = 600 = 5, = 6 = 5如图所示，设，所以， = = = 所以， = ( ) = 2 = 25 5 6 1 2= 25 15 = 5解得，所以，故选 C =2 5|= (1 2 5)|= 3148.【浙江省台州市 2019 届高三上学期期末】已知m， n是两个非零向量，且1m ， 23mn，则mnn的最大值为（ ）A. 5 B. 10 C. 4 D. 5【答案】B【解析】9 【2019 届四川省蓉城名校高三 4 月联考】已知圆1C： 2251xy， 2C： 225225xy，动圆C满足与1C外切且2C与内切，若M为1C上的动点，且10CM C M ，则C
18、M 的最小值为（ ）A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5【答案】A【解析】圆1C： 2251xy，圆2C： 225225xy，152 0 00251064 1,88,64xxx 2min25810864 12 2.64CM ，选 A.10设向量a， b ， c满足1ab， 12ab ， ,60ac bc则c的最大值等于（ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】1ab，且12ab ，ab，的夹角为 120，设,OAa OBb OCc 则,CAac CBbc 如图所示，则AOB=120；ACB=60AOB+AOC=180A，O，B，C 四点共圆，ABba ， 22
19、22|2 |3ABabaabb 3.AB 由三角形的正弦定理得外接圆的直径 2R=2sinAB ACB.16当 OC 为直径时， c最大，最大为 2故选：A点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cosa ba b，二是1212a bx xy y，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cosab a b （此时ab往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， a在b上的投影是a b b ；（3）, a b向量垂直则0a b;(4)求向量manb的模（平方后需求a b）.11.， 与 的夹角为，则的最小值是_,的最小值是_|=
20、 160| | |【答案】 3232,即的最小值是.| |2|2=1|21|+ 1 = (1|1 2)2+3 43 4| |32| |3212.【2019 届天津市十二校二模】已知直角梯形中， 是腰上的动点，则的最小值为/ = 90 = 45 = 2 = 1|3 + |_【答案】5 22【解析】分析：以为 轴， 为原点,过 与垂直的直线为 轴，建立坐标系，可设，可得(,)，利用二次函数配方法可得结果.3 + =(4 2, 2 1)|3 + |=(4 2)2+( 2 1)217详解：以为 轴， 为原点,过 与垂直的直线为 轴，建立坐标系，=8( 3 4)2+25 2，25 2=5 22即的最小值为，故答案为.|3 + |5 225 22