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1、机械优化设计2016年9月上上 海海 海海 事事 大大 学学SHANGHAI MARITIME UNIVERSITYSHANGHAI MARITIME UNIVERSITY何军良何军良20:271第一页，共94页。上海海事大学上海海事大学Shanghai Maritime University 1909 2009 2004 1912 1958机械优化设计中的几个问题优化设计概述优化设计的数学基础2目 录CONTENTS一维搜索方法无约束优化方法线性规划 约束优化方法 20:27第二页，共94页。第四章 无约束优化方法(fngf)概述(i sh)01 最速下降(xijing)法 牛顿型方法 共轭
2、方向与共轭方向法020304 坐标轮换法05 共轭梯度法 变尺度法 鲍威尔方法060708 单形替换法0920:273第三页，共94页。20:27变尺度法也称拟牛顿法，它是基于牛顿法的思想而又作了重大(zhngd)改进的一类方法。我们所介绍的变尺度法是由 Davidon 于1959年提出又经 Fletcher 和 Powell 加以发展和完善的一种变尺度法，故称为DFP变尺度法。4.7 变尺度(chd)法能否克服各自的缺点(qudin)，综合发挥其优点？2)阻尼牛顿法1)梯度法*简单，开始时目标函数值下降较快，但越来越慢。*目标函数值在最优点附近时收敛快，但要用到二阶导数和矩阵求逆。（1）问题
3、提出4第四页，共94页。20:274.7 变尺度(chd)法（2）基本(jbn)思想n 变量的尺度变换是放大或缩小各个(gg)坐标。通过尺度变换可以把函数的偏心程度降到最低限度。n 这种算法仅用到梯度，不必计算海赛阵及其逆矩阵，但又能使搜索方向逐渐逼近牛顿方向，具有较快的收敛速度。n 尺度变换技巧能显著地改进几乎所有极小化方法的收敛性质。例如在用最速下降法求 极小值时,需要进行10次迭代才能达到极小点。梯度法:牛顿法:5第五页，共94页。20:274.7 变尺度(chd)法（2）基本(jbn)思想进行(jnxng)尺度变换在新的坐标系中，函数f(x)的二次项变为：目的：减少二次项的偏心如G是正
4、定，则总存在矩阵Q，使得：对于二次函数:6第六页，共94页。20:274.7 变尺度(chd)法（2）基本(jbn)思想 用矩阵用矩阵(j zhn)Q-1右乘等式两右乘等式两边，得：边，得：用矩阵Q左乘等式两边，得：所以上式说明：二次函数矩阵G的逆阵，可以通过尺度变换矩阵 来求得。7第七页，共94页。20:27(3)变尺度法的搜索方向(fngxing):S(k)=-Ak gk，称为拟牛顿方向(fngxing)。(1)Ak为构造的 n n 阶对称矩阵，它随迭代点的位置变化而变化，对梯度起到改变尺度(chd)的作用，又称为变尺度(chd)矩阵。n 若Ak=I，上式为梯度法的迭代公式n 若Ak=Hk
5、-1，上式为阻尼(zn)牛顿法的迭代公式（3）迭代公式4.7 变尺度法(2)当矩阵Ak 不断地迭代而能很好地逼近 时，就可以不再需要计算二阶导数。变尺度法的关键在于尺度矩阵Ak的产生。8第八页，共94页。20:27 拟牛顿(ni dn)方向 S(k)=-Ak gk 必须具有下降性、收敛性和计算的简便性。n下降(xijing)性要求变尺度矩阵为对阵正定矩阵；n收敛性要求变尺度矩阵逐渐逼近Hk-1，满足拟牛顿(ni dn)条件；n简便性希望变尺度矩阵有如下递推形式：Ak+1=Ak+Ak（4）变尺度矩阵的产生4.7 变尺度法9第九页，共94页。20:27下降性：要求(yoqi)S(k)与-gk之间的
6、夹角小于90o，即：-S(k)T gk0将拟牛顿(ni dn)方向带入上式，得：-S(k)T gk=Ak gkTgk=gkTAk gk 0所以只要 Ak 为对阵正定矩阵，S(k)就是(jish)下降方向。（4）变尺度矩阵的产生4.7 变尺度法10第十页，共94页。20:27变尺度矩阵是随迭代过程的推进而逐次改变的，因而(yn r)它是一种矩阵序列选取初始矩阵A0，并以梯度方向快速收敛，通常取单位矩阵E 作为初始矩阵，即A0=E。而后的矩阵均是在前一构造(guzo)矩阵的基础上校正得到，令推广到一般的k+1次构造(guzo)矩阵 Ak，k=1，2，A1=A0+A0Ak+1=Ak+Ak矩阵序列的矩
7、阵序列的基本迭代式基本迭代式 Ak 称为校正矩阵（4）变尺度矩阵的产生4.7 变尺度法简便性：11第十一页，共94页。20:27n构造矩阵Ak+1应该满足一个重要(zhngyo)条件拟牛顿条件n变尺度法采用构造矩阵来代替牛顿法中海赛矩阵的逆阵，主要目的之一就是为了避免计算(j sun)二阶偏导数和逆矩阵，力图仅用梯度和其他一些易于获得的信息来确定迭代方向，因此，拟牛顿条件是关于海赛矩阵和梯度之间的关系。（5）拟牛顿(ni dn)条件4.7 变尺度法12第十二页，共94页。20:27设F(x)为一般形式(xngsh)n 阶的目标函数，并具有连续的一、二阶偏导。在点 x(k)处的二次泰勒近似展开该
8、近似二次函数(hnsh)的梯度为：式中 ，若令 ，则有（5）拟牛顿(ni dn)条件4.7 变尺度法13第十三页，共94页。20:27上式中，x(k+1)x(k)称之为位移矢量，并简化(jinhu)书写:而gk+1-gk 是前后(qinhu)迭代点的梯度矢量差，简化书写：由以上(yshng)三式得：海赛矩阵与梯度间的关系式（5）拟牛顿条件4.7 变尺度法14第十四页，共94页。20:27按照变尺度法产生构造矩阵的递推思想，期望能够借助前一次迭代的某些结果来计算下一个构造矩阵，因此可以(ky)根据上式，用第 k+1 次构造矩阵 Ak+1 近似代替 Hk-1，则上式即产生构造矩阵 Ak+1 应满足
9、的一个(y)重要条件，通常称为拟牛顿条件或拟牛顿方程（5）拟牛顿(ni dn)条件4.7 变尺度法15第十五页，共94页。20:27（6）变尺度(chd)矩阵的构造4.7 变尺度(chd)法拟牛顿(ni dn)条件 可写成 或 DFP算法中的校正矩阵 Ak取为下列形式：待定系数保证 Ak对称16第十六页，共94页。20:27（6）变尺度矩阵(j zhn)的构造4.7 变尺度(chd)法将(2)代入(1):两边(lingbin)对比得:取则：回代到(2)得:DFP变尺度法的迭代式为：17第十七页，共94页。20:27由上式可以看出，构造矩阵Ak+1的确定取决于第 k 次迭代(di di)中的下列
10、信息：上次的构造矩阵(j zhn)：Ak迭代点的位移矢量：迭代点的梯度增量：因此，不必作二阶导数(do sh)矩阵及其求逆的计算（6）变尺度矩阵的构造4.7 变尺度法18第十八页，共94页。20:27n DFP算法的收敛速度(sd)介于梯度法和牛顿法之间。n DFP法具有二次收敛性(搜索(su su)方向的共轭性)。对于二次函数 F(x)，DFP法所构成的搜索方向序列S(0),S(1),S(2),为一组关于海赛矩阵H共轭的矢量，即DFP法属于共轭方向法，具有二次收敛性。在任何情况下，这种方法对于二次目标(mbio)函数都将在n步内搜索到目标(mbio)函数的最优点，而且最后的构造矩阵 An 必
11、等于海赛矩阵H。（7）DFP变尺度算法的特点4.7 变尺度法19第十九页，共94页。20:27（7）DFP变尺度(chd)算法的特点4.7 变尺度(chd)法n关于(guny)算法的稳定性，数值计算稳定性较差。1.算法的稳定性是指算法的每次迭代都能使目标函数值单调下降。2.构造矩阵正定性从理论上肯定了DFP法的稳定性，但实际上，由于每次迭代的一维搜索只能具有一定的精确度，且存在机器运算的舍入误差，构造矩阵的正定性仍然有可能遭到破坏；3.为了提高实际计算中的稳定性，一方面应对一维搜索提出较高的精度要求，另一方面，当发生破坏正定性时，将构造矩阵重置为单位矩阵E重新开始，通常采用的简单办法是在 n
12、次迭代后重置单位矩阵20第二十页，共94页。20:271.任取初始点 x(0)给出迭代精度.计算(j sun)初始点精度 及其模 。若 转步骤，否则进行下一步2.置k0，取 AkE3.计算迭代方向(fngxing)，沿S(k)方向(fngxing)做一维搜索求优化步长4.a(k)，使确定下一个(y)迭代点（8）DFP变尺度算法的计算步骤4.7 变尺度法21第二十一页，共94页。20:274.计算(j sun)x(k+1)的梯度gk+1及其模 ，若 则转步骤，否则转下一步5.计算位移(wiy)矢量 和梯度矢量按DFP公式计算(j sun)构造矩阵6.置kk+1。若kn(n为优化问题的维数)返回步
13、骤，否则返回步骤7.输出最优解（x*，F*），终止计算（8）DFP变尺度算法的计算步骤4.7 变尺度法22第二十二页，共94页。20:27DFP算法(sun f)流程图k=n？入口入口(r ku)出口出口(ch ku)+-+-23第二十三页，共94页。20:27解：1）取初始点 ，为了按DFP法构造(guzo)第一次搜寻方向d0，需计算初始点处的梯度取初始变尺度矩阵为单位矩阵A0=I，则第一次搜寻(suxn)方向为 例:用DFP算法(sun f)求下列问题的极值：24（9）DFP算例4.7 变尺度法第二十四页，共94页。20:27一维搜索最佳(zu ji)步长应满足得:2）再按DFP法构造点x
14、1处的搜寻(suxn)方向d1，需计算 沿d0方向进行(jnxng)一维搜索，得（9）DFP算例4.7 变尺度法25第二十五页，共94页。20:27代入校正(jiozhng)公式=（9）DFP算例4.7 变尺度(chd)法26第二十六页，共94页。20:27=第二次搜寻(suxn)方向为再沿d1进行(jnxng)一维搜索，得（9）DFP算例4.7 变尺度(chd)法27第二十七页，共94页。20:27为一维搜索(su su)最佳步长，应满足,得3）判断(pndun)x2是否为极值点梯度(t d):海赛矩阵:（9）DFP算例4.7 变尺度法梯度为零向量,海赛矩阵正定。可见满足极值充要条件，因此为
15、极小点。28第二十八页，共94页。20:27例:用DFP变尺度(chd)法求目标函数的最优解。已知初始(ch sh)点 ，迭代精度=0.01解：第一次迭代(di di)：（9）DFP算例4.7 变尺度法29第二十九页，共94页。20:27式中最优步长应用一维搜索方法在计算机上求解。为了说明(shumng)问题，又因为此例目标函数简单，所以用解析法来求：为求极小(j xio)，将上式对求导，并令f()=0得：于是(ysh)：（9）DFP算例4.7 变尺度法30第三十页，共94页。20:27第二次迭代(di di)：确定x(1)点的拟牛顿(ni dn)方向S(1)按DFP公式计算构造(guzo)矩
16、阵（9）DFP算例4.7 变尺度法31第三十一页，共94页。20:27将数据(shj)代入得则拟牛顿(ni dn)方向为沿 S(1)方向(fngxing)进行一维搜索求最优点x(2)求一维搜索步长（9）DFP算例4.7 变尺度法32第三十二页，共94页。20:27则：迭代(di di)即可结束，输出优化解（9）DFP算例4.7 变尺度(chd)法33第三十三页，共94页。20:27讨论(toln)：该题的理论最优点是 。按DFP搜索方向为共轭的性质，本题为二元二次函数在两次迭代后即达到最优点，本题计算结果稍有误差，这是由于(yuy)一维搜索的不精确性产生的。若在已知A1的基础上，再用DFP公式
17、递推下一次的构造(guzo)矩阵，可计算得而计算目标函数海赛矩阵的逆阵有（9）DFP算例4.7 变尺度法34第三十四页，共94页。20:27DFP算法由于舍入误差和一维搜索的不精确，有可能导致(dozh)Ak奇异，而使数值稳定性方面不够理想。所以1970年，Broyden、Fletcher、Goldstein、Shanno等人提出一种更稳定的算法，称为BFGS算法。其校正公式为：（9）BFGS变尺度(chd)法4.7 变尺度(chd)法35第三十五页，共94页。20:2736（1）概述(i sh)4.8 鲍威尔方法(fngf)基本思想(sxing)：基于坐标轮换法，不用求导数，在迭代中逐次产生
18、共轭搜索方向。收敛效果：对于正定（有极小值）二次函数，经过n轮迭代后求得极小点；对于非二次函数，一般也具有较高的收敛速度。Powell法是求解无约束优化问题的最好方法。将其与惩罚函数法结合，可以处理有约束优化问题。第三十六页，共94页。20:27 为两个(lin)极小点 根据梯度与等值面之间关系(gun x)可知（2）共轭方向(fngxing)的生成4.8 鲍威尔方法37第三十七页，共94页。20:27对于(duy)二次函数，两点处的梯度可表示为代入到公式(gngsh)：（2）共轭方向(fngxing)的生成4.8 鲍威尔方法38第三十八页，共94页。20:27结论：从不同的点出发沿 某 一
19、方 向 分 别(fnbi)对函数作两次一维搜索，得到两个极小点，那么这两个极小点的连线方向与该方向对G共轭（2）共轭方向(fngxing)的生成4.8 鲍威尔方法(fngf)39第三十九页，共94页。20:27（3）基本(jbn)算法4.8 鲍威尔方法(fngf)鲍威尔基本(jbn)算法的搜索过程（二维）1）任选一初始点x0，再选两个线性无关的向量，如 坐 标 轴 单 位 向 量e1=1,0T和e2=0,1T作为初始搜索方向。x1x2x0oe1e2d1d2x*140第四十页，共94页。20:27（3）基本(jbn)算法4.8 鲍威尔方法(fngf)鲍威尔基本(jbn)算法的搜索过程（二维）2）
20、从x0出发，顺次沿e1，e2作一维搜索，得 点，两点连线得一新方向d1x1x2x0oe1e2d1d2x*141第四十一页，共94页。20:27（3）基本(jbn)算法4.8 鲍威尔方法(fngf)鲍威尔基本算法的搜索(su su)过程（二维）用 d1代替e1形成两个线性无关向量d1,e2，作为下一轮迭代的搜索方向。再从 出发，沿d1作一维搜索得点 ，作为下一轮迭代的初始点。3）从 出发，e2,d1 作 一 维 搜 索，得 到 点 ，两点连线得一新方向:x1x2x0o oe1e2d1d2x*1从 沿d2作一维搜索得点x2。即是二维问题的极小点 x*。42第四十二页，共94页。20:27（3）基本
21、(jbn)算法4.8 鲍威尔方法(fngf)鲍威尔基本算法(sun f)的搜索过程（二维）方法的基本迭代格式包括共轭方向产生和方向替换两主要步骤。43第四十三页，共94页。20:27（3）基本(jbn)算法4.8 鲍威尔方法(fngf)鲍威尔基本算法(sun f)的搜索过程（三维）441.第一轮基本方向组取单位坐标矢量系e1、e2、e3、en，沿这些方向依次作一维搜索，然后将始末两点相连作为新生方向。2.再沿新生方向作一维搜索，完成第一轮的迭代。以后每轮的基本方向组是将上轮的第一个方向淘汰，上轮的新生方向补入本轮的最后而构成：d2k,d3k,dnk ,dk第四十四页，共94页。20:27（4）
22、基本(jbn)算法示例4.8 鲍威尔方法(fngf)45第四十五页，共94页。20:27（4）基本(jbn)算法示例4.8 鲍威尔方法(fngf)46第四十六页，共94页。20:27（4）基本算法(sun f)示例4.8 鲍威尔方法(fngf)47第四十七页，共94页。20:27（4）基本算法(sun f)示例4.8 鲍威尔方法(fngf)48第四十八页，共94页。20:27（4）基本算法(sun f)示例4.8 鲍威尔方法(fngf)49第四十九页，共94页。20:27（4）基本(jbn)算法示例4.8 鲍威尔方法(fngf)50第五十页，共94页。20:27（4）基本(jbn)算法示例4.
23、8 鲍威尔方法(fngf)51第五十一页，共94页。20:27（4）基本(jbn)算法示例4.8 鲍威尔方法(fngf)52第五十二页，共94页。20:27（4）基本算法(sun f)示例4.8 鲍威尔方法(fngf)53第五十三页，共94页。20:27（4）基本(jbn)算法示例4.8 鲍威尔方法(fngf)54第五十四页，共94页。20:27 可能在某一轮迭代中出现基本方向组为线性相关的矢量系的情况。如第k轮中，产生新的方向：dk=xnk-x0k=1kd1k+2kd2k+nkdnk 式中，d1k、d2k、dnk为第k轮基本方向组矢量，1k、2k、nk为各方向的最优步长。若在第k轮的优化搜索
24、过程中出现 1k=0，则方向dk表示为d2k、d3k、dnk的线性组合，以后的各次搜索将在降维的空间进行，无法得到n维空间的函数极小值，计算(j sun)将失败。（5）基本(jbn)算法缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)55第五十五页，共94页。20:27鲍威尔基本(jbn)算法的退化x1x2x3 1=0 2e2 3e3S1如图所示为一个三维优化问题的示例，设第一轮中 1=0，则新生方向与e2、e3共面，随后(suhu)的各环方向组中，各矢量必在该平面内，使搜索局限于二维空间，不能得到最优解。e2e3S1（5）基本算法(sun f)缺陷4.8 鲍威尔方法56第五十六页，共94页。20:27（5
25、）基本算法(sun f)缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)57第五十七页，共94页。20:27（5）基本算法(sun f)缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)58第五十八页，共94页。20:27（5）基本算法(sun f)缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)59第五十九页，共94页。20:27（5）基本算法(sun f)缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)60第六十页，共94页。20:27（5）基本算法(sun f)缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)61第六十一页，共94页。20:27（5）基本(jbn)算法缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)62第六十二页，共94页。20:27（5）基本算法(sun
26、 f)缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)63第六十三页，共94页。20:27（5）基本(jbn)算法缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)64第六十四页，共94页。20:27（5）基本(jbn)算法缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)65第六十五页，共94页。20:27（5）基本(jbn)算法缺陷4.8 鲍威尔方法(fngf)66第六十六页，共94页。20:2767（6）修正(xizhng)算法4.8 鲍威尔方法(fngf)*根据Powell条件(tiojin)判定是否需换方向；如需换向，则换掉函数值下降量最大的方向。选取n个线性无关且尽可能共轭的方向作为下一轮搜索的方向组。做法：形成新的搜索方向组
27、时，不是固定的去掉前一次搜索方向组中的第一个方向，而是首先根据Powell条件，判断原方向组是否需要替换，若需要，则进一步判断原方向组中哪个方向最坏，并以前一轮新生成的搜索方向替换本轮中的这个最坏方向。第六十七页，共94页。20:2768（6）修正(xizhng)算法4.8 鲍威尔方法(fngf)方向(fngxing)组的构造在第k轮的搜索中，x0k 为初始点，搜索方向为d1k、d2k、dnk，产生的新方向为dk，此方向的极小点为xk。沿dk方向移动得到点 xn+1k=2xnk-x0k，称之为x0k对xnk的反射点。计算x0k、x1k、xnk、xk、xn+1k 各点的函数值，记作：F0=F(x
28、0k)F2=F(xnk)F3=F(xn+1k)=F(xm-1k)-F(xmk)是第k轮方向组中，依次沿各方向搜索函数下降值第六十八页，共94页。20:27鲍威尔算法的方向(fngxing)淘汰(F3)(F2)(F0)反射点反射点函数最大下降量函数最大下降量m始点始点终点终点（6）修正(xizhng)算法4.8 鲍威尔方法(fngf)69第六十九页，共94页。20:27为了(wi le)构造第k+1轮基本方向组，采用如下判别式：按照以下两种情况处理：1)上式中至少一个不等式不成立，则第k+1轮的基本方向仍用老方向组d1k、d2k、dnk。k+1轮的初始点取 x0k+1=xnk F2F0，不满足判
29、别条件，因而下轮迭代应继续(jx)使用原来的搜索方向e1,e2因为(yn wi)F20，通常取a=1；（1）令；输出XL，为原问题近似(jn s)极小点；否则，转（2）。(扩张时=2)构造新单纯形；（4）根据不同情况，分别进行扩张，收缩或缩边，其中收缩因子（5）如果满足（2）计算(j sun)步骤4.9 单型替换法87第八十七页，共94页。20:27 例 试用(shyng)单型替换求 的极小值.解:选 ,并取 和 这三点不在一条直线上，用它们作为初始单纯形的顶点 （如图所示）（3）算例4.9 单型替换法88第八十八页，共94页。20:27 然后计算各顶点的函数值：可知 为最差点，为最好点。以
30、表示(biosh)和 的重心，则反射点（3）算例4.9 单型替换法89第八十九页，共94页。20:27由于 ，故需扩张。取 ，则因为 ，故以 代替 ，由 ，和 构成(guchng)新单纯形，然后进行下一个循环。该问题的最优解为 。经32次循环，可把目标函数减小到 。（3）算例4.9 单型替换法90第九十页，共94页。20:274.10 无约束优化方法(fngf)总结（1）无约束优化问题的评价(pngji)准则 为了(wi le)比较各种优化方法的特性，必须建立合理的评价准则。无约束优化方法评价准则主要包括以下几个方面：1、可靠性。即在合理的精度要求下，在一定允许时间内能解出各种不同类型问题的成
31、功率。能够解出的问题越多，则算法的可靠性越好。2、有效性。即算法的解题效率。它有两个衡量标准。其一是对同一题目，在相同精度和初始条件下，比较机时多少。其二是在相同精度下，计算同一题目所需要的函数的计算次数。3、简便性。一方面指实现该算法的准备工作量的大小。另一方面指算法占用存储单元的数量。91第九十一页，共94页。20:274.10 无约束优化方法(fngf)总结（2）无约束优化方法(fngf)的评价结论可靠性：牛顿法较差，因为它对目标函数要求太高，解题成功率较低。有效性：坐标变换法和梯度法的计算效率较低，因为它们从理论上不具有二次收敛性。简便性：牛顿法和变尺度法的程序编制较复杂，牛顿法还占用
32、(zhn yn)较多的存储单元。在选用无约束优化方法时，一方面要考虑优化方法的特点，另一方面要考虑目标函数的情况。1、一般而言，对于维数较低或者很难求得导数的目标函数，使用坐标轮换法或鲍威尔法较合适。2、对于二次性较强的目标函数，使用牛顿法效果好。3、对于一阶偏导数易求的目标函数，使用梯度法可使程序编制简单，但精度不宜过高。4、综合而言，鲍威尔法和变尺度法（DFP）具有较好的性能。92第九十二页，共94页。20:274.10 无约束优化方法(fngf)总结（3）无约束优化方法(fngf)的联系搜 索 方 向函数梯度修正因子所用目标函数信息梯 度 法I（单位阵）一阶导数牛 顿 法二阶导数共轭梯度法一阶导数 变尺度法一阶导数方 法鲍威尔法函数(hnsh)值 零阶方法单形替换法 零阶方法函数值 最差点和最好点与次好点中点的连线93第九十三页，共94页。20:27作业(zuy)1.试用Newton法求 的极小(j xio)点，初始点取为 。2.用DFP算法(sun f)求 ，取 3.试用鲍威尔修正算法求目标函数的最优解。已知 初始点 ，迭代精度=0.0014.用共轭梯度法求 ，其中 ，选初始点 。94第九十四页，共94页。