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1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型主要内容主要内容:1.1.数学模型的概念数学模型的概念,建模的原则建模的原则 2.2.传递函数传递函数 3.3.系统的结构图和信号流图系统的结构图和信号流图 2.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 什么是数学模型什么是数学模型什么是数学模型什么是数学模型?所谓的数学模型，所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控控制系统定量分析的基础。制系统定量分析的基础。2.1.2 2.1.2 2.1.2 2.1.2 数学模型的特点数学模型的特点数学模型的特点数学模型的特点 1)1
2、)相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2)2)简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理 3)3)动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析性能分析性能分析性能分析 4)4)静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数放大倍数放大倍数放大倍数 2.1.3 2.1.3 2.1.3 2.1.3 数学模型的类型数学模型的类型数学模型的类型
3、数学模型的类型 1)1)微分方程：时域微分方程：时域 其它模型的基础其它模型的基础 直观直观 求解繁琐求解繁琐 2)2)传递函数：复频域传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果微分方程拉氏变换后的结果 3)3)频率特性：频域频率特性：频域 分析方法不同，各有所长分析方法不同，各有所长2-1 2-1 数学模型的概念数学模型的概念数学模型的概念数学模型的概念2.1.4 2.1.4 2.1.4 2.1.4 数学模型的建立方法数学模型的建立方法数学模型的建立方法数学模型的建立方法 1)1)分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起
4、。合在一起。2)2)实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。统辨识的方法，得到数学模型。建模原则：选择合适的分析方法建模原则：选择合适的分析方法建模原则：选择合适的分析方法建模原则：选择合适的分析方法确定相应的数学模型确定相应的数学模型确定相应的数学模型确定相应的数学模型简化简化简化简化2.2.1 2.2.1 2.2.1 2.2.1 列写微分方程式的一般步骤列写微分方程式的一般步骤列写微分方程式的一般步骤列写微分方程式的一般步骤 1)1)分析系统运动的因果关系，确定系统的分析系统运动的因果关系，确定系统的输
5、入量输入量输入量输入量、输出量输出量输出量输出量及及内部内部中间变量中间变量中间变量中间变量，搞清各变量之间的关系。，搞清各变量之间的关系。2)2)忽略一些次要因素，忽略一些次要因素，合理简化合理简化合理简化合理简化。2.2 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 3)3)根据相关基本定律，列出各部分的根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式原始方程式原始方程式原始方程式。4)4)列写中间变量的列写中间变量的辅助方程辅助方程辅助方程辅助方程。方程数与变量数相等方程数与变量数相等方程数与变量数相等方程数与变量数相等！5)5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入联立上述方程，消去中间变量，得到
6、只包含输入输出的方程式。输出的方程式。6)6)将方程式化成标准形。将方程式化成标准形。与与与与输出输出输出输出有关的放在有关的放在有关的放在有关的放在左边左边左边左边，与，与，与，与输入输入输入输入有关的放在有关的放在有关的放在有关的放在右边右边右边右边，导数项按，导数项按，导数项按，导数项按降降降降阶阶阶阶排列，排列，排列，排列，系数系数系数系数化为有物理意义的形式。化为有物理意义的形式。化为有物理意义的形式。化为有物理意义的形式。三个基本的无源元件：质量三个基本的无源元件：质量m,m,弹簧弹簧k,k,阻尼器阻尼器f f对应三种阻碍运动的力对应三种阻碍运动的力:惯性力惯性力ma;ma;弹性力
7、弹性力kyky;阻尼力阻尼力fvfv 例例2-12-1 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器串联系统。阻尼器串联系统。试列出以外力试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移为输入量，以质量的位移y(t)为为输出量的运动方程式。输出量的运动方程式。解：遵照列写微分方程的一般步骤有：解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1 1）确定）确定输入量输入量为为F(t)，输出量输出量为为y(t)，作用于质作用于质量量m的力还有弹性阻力的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力和粘滞阻力Ff(t)，均作为均作为中间变量。中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，且无外力作用时，系统处
8、于平衡状态。系统处于平衡状态。KmfF(t)y(t)2.2.2 2.2.2 2.2.2 2.2.2 机械平移系统举例机械平移系统举例机械平移系统举例机械平移系统举例 （3 3）按牛顿第二定律列写原始方程，即）按牛顿第二定律列写原始方程，即 （5 5）将以上辅助方程式代入原始方程）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中消去中间变量间变量,得得 （6 6）整理方程得标准形）整理方程得标准形 （4 4）写中间变量与输出量的关系式）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t)2.2.3 2.2.3 2.2.3 2.2.3 电路系统举例电路系统举例电路系统举例电路系统举例 例例2-2 2-2 电阻电感
9、电容串联系统。电阻电感电容串联系统。R-L-CR-L-C串联电路，试列出以串联电路，试列出以u ur r(t t)为输入量，为输入量，u uc c(t t)为输出量的网络微分方程式。为输出量的网络微分方程式。令令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为则方程化为 R C ur(t)uc(t)L量纲量纲s(课本上有推导课本上有推导,p28)，静态放大倍数，静态放大倍数1/K 解：解：（1 1）确定输入量）确定输入量为为ur(t)，输出量为输出量为uc(t)，中间变量为中间变量为i(t)。（4 4）列写中间变量）列写中间变量i与输出变量与输出变量uc c 的的关系式关系式:（5 5）将上式代入原始
10、方程，消去中间变量得）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t)uc(t)L（2 2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3 3）由）由KVLKVL写原始方程：写原始方程：i(t)（6 6）整理成标准形，令）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为则方程化为 2.2.4 2.2.4 线性微分方程的一般特征线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：有以下形式：式中，式中，c(t)是系统的输出变量，是
11、系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。是系统的输入变量。从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：（1 1 1 1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；（2 2 2 2）左端的阶次比右端的高）左端的阶次比右端的高）左端的阶次比右端的高）左端的阶次比右端的高,n=m,n=m,n=m,n=m。这是因为实际物理系统均。这是因为实际物理系统均。这是因为实际物理系统均。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；有惯性
12、或储能元件；有惯性或储能元件；有惯性或储能元件；（3 3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。分方程式的正确与否。相似系统的定义相似系统的定义相似系统的定义相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例例2-1例例2-2令令uc=q/C模拟技术：模拟技术：模拟技术：模拟技术：当分析一个当分析一个机械系统
13、或不易进行试机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研系统，来代替对它的研究。究。直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换机电转换机电转换机电转换装置。装置。装置。装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压u ua a在在在在电枢回路产生电枢回路产生电枢
14、回路产生电枢回路产生电枢电流电枢电流电枢电流电枢电流i ia a ，再由电枢电流再由电枢电流再由电枢电流再由电枢电流i ia a与与与与激磁磁通相互作用产生电磁转矩激磁磁通相互作用产生电磁转矩激磁磁通相互作用产生电磁转矩激磁磁通相互作用产生电磁转矩MMD D ，从而使电枢旋转，拖动负载运动。从而使电枢旋转，拖动负载运动。从而使电枢旋转，拖动负载运动。从而使电枢旋转，拖动负载运动。Ra和和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与其大
15、小与2.2.5 2.2.5 2.2.5 2.2.5 电枢控制的直流电动机电枢控制的直流电动机电枢控制的直流电动机电枢控制的直流电动机M Ra ua La ia if=常数常数 Ea激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。相反。下面推导其微分方程式。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压）取电枢电压ua为为控制输入，负载转矩控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机为扰动输入，电动机角速度角速度 为输出量；为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，时，激磁磁通视为
16、不变，则将变量关系看作线性关系；激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式）列写原始方程式 电枢回路方程：电枢回路方程：uaMRaLa ia if=常数常数Ea电动机轴上机械运动方程：电动机轴上机械运动方程：J 负载折合到电动机轴上的转动惯量负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD 电枢电流产生的电磁转矩电枢电流产生的电磁转矩;ML 合到电动机轴上的总负载转矩。合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程）列写辅助方程 Ea =ke ke 电势电势系数，由电动机结构参数确定。系数，由电动机结构参数确定。MD=km iakm 转矩系数，由电动机结构参数确定。转矩系数，由电动机
17、结构参数确定。（5）消去中间变量，得）消去中间变量，得令令机电时间常数机电时间常数Tm:令令电磁时间常数电磁时间常数Ta:1)1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：2-22 一阶系统一阶系统二阶系统二阶系统（2-21）2)对微型电机，转动惯量对微型电机，转动惯量J很小，且很小，且Ra、La都可忽略都可忽略测速发电机测速发电机测速发电机测速发电机3)随动系统中，取随动系统中，取为输出为输出4)在实际使用中，转速常用在实际使用中，转速常用n n（r/minr/min）表示表示,设设 ML=0一一.复习拉氏变换及其性质复习拉氏变换及其性质 1.定义定
18、义 记记 X(s)=Lx(t)2.2.进行拉氏变换的条件进行拉氏变换的条件 1)1)t 0 0，x(t)=0 0；当；当t 0 0，x(t)是分段连续；是分段连续；2)2)当当t t充分大后满足不等式充分大后满足不等式 x(t)Mect，M，c是常数。是常数。3.3.性质和定理性质和定理 1)1)线性性质线性性质 L ax1(t)+bx2(t)=aX1(s)+bX2(s)2-4 线性系统的传递函数线性系统的传递函数2)2)微分定理微分定理若若 ,则则若若x 1(0)=x 2(0)=0，x(t)各重各重积分在积分在t=0的值为的值为0时，时，3)3)积分定律积分定律X（-1）(0)是是x(t)d
19、t 在在t=0 0的值。同理的值。同理 5)5)初值定理初值定理 如果如果x(t)及其及其一阶导数是可拉氏变换的，并且一阶导数是可拉氏变换的，并且 4)4)终值定理终值定理 若若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数则函数x(t)的终值为：的终值为：存在，则存在，则6)6)延迟定理延迟定理L x(t )1(t )=esX(s)Le at x(t)=X(s+a)7)7)时标变换时标变换8)8)卷积定理卷积定
20、理4.4.举例举例 例例2-32-3 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：例例2-42-4 求单位斜坡函数求单位斜坡函数x(t)=t的拉的拉氏变换。氏变换。解：解：例例2-52-5 求正弦函数求正弦函数x(t)=sint 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。查表求得。例例2-62-6 求函数求函数x(t)的拉氏变换。的拉氏变换。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0 A+解：解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A 1(t)
21、A 1(t t0)例例2-72-7 求求e at 的拉氏变换的拉氏变换。解解:例例2-82-8 求求e 0.2 t 的拉氏变换的拉氏变换。解：解：，求，求x(0)，x()。解：解：例例2-92-9 若若二二二二.复习拉氏反变换复习拉氏反变换复习拉氏反变换复习拉氏反变换 1.1.定义定义 由象函数由象函数X(s)求原函数求原函数x(t)2.2.求拉氏反变换的方法求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法查表法 部分分式法部分分式法 一般，象函数一般，象函数X(s)是复变量是复变量s的有理代数公式，即的有理代数公式，即 通常通常m 0，0
22、1，n=1/T，T 称为振荡环节的称为振荡环节的时间常数时间常数时间常数时间常数，为阻尼比为阻尼比为阻尼比为阻尼比，n n为自然振荡频率为自然振荡频率为自然振荡频率为自然振荡频率。振荡环节有一对位于。振荡环节有一对位于s左半平面的左半平面的共轭极点：共轭极点：传递函数为：传递函数为：或或5.5.二阶振荡环节二阶振荡环节 微分方程式为：微分方程式为：单位阶跃响应：单位阶跃响应：单位阶跃响应：单位阶跃响应：式中，式中，=coscos1 1。响应曲线。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。荡环节。c(t)t 01 np1p2 j d n j 0举例：举例：举例：举例：R
23、LCRLC串连电路，平移系统，直流电机串连电路，平移系统，直流电机串连电路，平移系统，直流电机串连电路，平移系统，直流电机6.6.延迟环节延迟环节微分方程式为：微分方程式为：c(t)=r(t )传递函数为：传递函数为：单位阶跃响应：单位阶跃响应：c(t)=1(t )r(t)t01c(t)t01 无理函数的工程近似：无理函数的工程近似：无理函数的工程近似：无理函数的工程近似：AB2.7.1 2.7.1 结构图的定义及基本组成结构图的定义及基本组成1.1.结构图的定义结构图的定义 定义定义定义定义:由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的由具
24、有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的系统的系统的系统的方框图方框图方框图方框图，称为系统的，称为系统的，称为系统的，称为系统的结构图结构图结构图结构图。2-7 系统的结构图系统的结构图 下图为下图为下图为下图为讨论过的直流电动机转速控制系统，用讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图方框图方框图方框图可描述其可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。可迎刃而解。放大器放大器电动机电动机测速机测速机urufua e+-转速控制系统由三个环节（
25、元件）构成，把各元件的传递函数转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图结构图结构图结构图。用用G(sG(s)代替相应的元件，代替相应的元件，好处：好处：补充了方框中各变量之间的定补充了方框中各变量之间的定补充了方框中各变量之间的定补充了方框中各变量之间的定量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影量关系，既能表明信号的流向，又直观
26、的了解元件对系统性能的影响；响；响；响；因此，它是对系统每个元件因此，它是对系统每个元件功能和信号流向功能和信号流向的图解表示，也就的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。是对系统数学模型的图解表示。Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+P34，ML0 2.2.结构图的基本组成结构图的基本组成 1 1）画图的）画图的4 4种基本元素种基本元素 信号传递线信号传递线信号传递线信号传递线 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方
27、框表示输入，从方框出来的表示输出。从方框出来的表示输出。r(t),R(s)分支点分支点分支点分支点 表示信号引出或测量的位置，从同一位置引表示信号引出或测量的位置，从同一位置引表示信号引出或测量的位置，从同一位置引表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。出的信号在数值和性质方面完全相同。出的信号在数值和性质方面完全相同。出的信号在数值和性质方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)方框方框方框方框 表示对输入信号进行的数学运算表示对输入信号进行的数学运算。方框中的传。方框中的传递函数是递函数是单向单向单向单向的运算算子，使得输出与输入有确定的因果的运算算
28、子，使得输出与输入有确定的因果关系。关系。R(s)R(s)U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C C(s s)=)=G G(s s)R R(s s)+相加点相加点相加点相加点 对两个以上的信号进行代数运算，对两个以上的信号进行代数运算，“+”号表号表示相加，示相加，“”号表示相减。外部信号作用于系统需通号表示相减。外部信号作用于系统需通过相加点表示。过相加点表示。2 2）结构图的基本作用：）结构图的基本作用：(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照每一个元件对系统性能的影响。
29、信号的传递严格遵照单向性单向性单向性单向性原则，原则，对于输出对输入的反作用，通过对于输出对输入的反作用，通过反馈支路反馈支路单独表示。单独表示。(b b)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。整个系统的传递函数。整个系统的传递函数。整个系统的传递函数。(c)s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。2.7.2 2.7.2 2.7.2 2.7.2 结构图的
30、绘制步骤结构图的绘制步骤结构图的绘制步骤结构图的绘制步骤 (1)列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应考虑相互间负载效应。(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个然后分别以一个方框方框的形式将因果关系表示出来，而且这的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。将这些方框单元按信号流向连接起来，就
31、组成完整的结构图。例例2-162-16 画出下图所示画出下图所示RC网络的结构图。网络的结构图。R C u1 u2 解：解：(1)列写各元件的原始方程式列写各元件的原始方程式 i(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)(3)将这些方框依次连接起来得图。将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)U1(s)+U2(s)UR(s)1RI(s)UR(s)2.7.3 2.7.3 2.7.3 2.7.3 结构图的基本连接形式结构图的基本连接形式结构图的基本连接形式结构图的基本连接形式 1.1.三种基本连接形式三种基本连接形式 (1)串联串联
32、。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。G2 2(s)U(s)C(s)G1 1(s)R(s)U(s)由图可知：由图可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去变量消去变量U(s)得得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=
33、G(s)R(s)G1 1(s)G2 2(s)R(s)C(s)G2 2(s)U(s)C(s)(2)并联并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。于各环节输出量之代数和。由图有由图有 C1(s)=G1(s)R(s)C2(s)=G2(s)R(s)R(s)C(s)G1 1(s)C1(s)R(s)G2 2(s)C2 2(s)R(s)+C(s)=C1(s)C2(s)消去消去C1(s)和和C2(s)，得得 C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节
34、传递函故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。数的代数和。数的代数和。数的代数和。G1 1(s)G2 2(s)R(s)C(s)C1(s)G1 1(s)R(s)G2 2(s)C2 2(s)C(s)+(3)反馈连接反馈连接反馈连接反馈连接 连接形式是两个方框反向连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处并接，如图所示。相加点处做加法时为做加法时为正反馈正反馈正反馈正反馈，做减法，做减法时为时为负反馈负反馈负反馈负反馈。由图有由图有 C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)B(s)消去消去B(s)和和E
35、(s)，得得 C(s)=G(s)R(s)H(s)C(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。G(s)1 G(s)H(s)R(s)C(s)定义：定义：定义：定义：G(s)：前向通道传递函数前向通道传递函数 E(s)C(s)H(s)：反馈通道传递函数反馈通道传递函数 C(s)B(s)H(s)=1 单位反馈系统单位反馈系统G(s)H(s)开环传递函数开环传递函数 E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中负反馈时取式中负反馈时取“+”号，号，正反馈时取正反馈时取“
36、-”号。号。2.2.闭环系统的常用传递函数闭环系统的常用传递函数 考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。环控制系统的一般形式。（1 1）控制输入下的闭环传递函数）控制输入下的闭环传递函数 令令N(s)=0 有有G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+（2 2）扰动输入下的闭环传递函数）扰动输入下的闭环传递函数 令令R(s)=0有有（3）两个输入量同时作用于系统的响应）两个输入量同时作用于系统的响应 G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+（4 4）控制输入
37、下的误差传递函数）控制输入下的误差传递函数（5 5）扰动输入下的误差传递函数扰动输入下的误差传递函数（6 6）两个输入量同时作用于系统时的误差）两个输入量同时作用于系统时的误差G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+3.3.闭环控制系统的几个特点闭环控制系统的几个特点 闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制）外部扰动的抑制较好的抗干扰能力较好的抗干扰能力（2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属）各传递函数
38、具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关性）与输入和输出无关2.7.4 2.7.4 2.7.4 2.7.4 结构图的等效变换结构图的等效变换结构图的等效变换结构图的等效变换 变换的原则：变换的原则：变换前后应保持信号等效变换前后应保持信号等效变换前后应保持信号等效变换前后应保持信号等效。1.1.分支点后移分支点后移GRCRGRC1/GR2.2.分支点前移分支点前移GRCCGRCGC4.4.比较点前移比较点前移3.3.比较点后移比较点后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F5.5.比较点互换或合并比较点互换或合并R1C R2+R3R1C R2+R32.7.5
39、 2.7.5 2.7.5 2.7.5 结构图的简化结构图的简化结构图的简化结构图的简化 对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。然后按方框的连接形式等效，依次化简。R1C R2+R3 RCG1G2G3H1H2例例例例2-17 2-17 2-17 2-17 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。用
40、结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。解：方法解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2方法方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1 例例例例2-18 2-18 2-18 2-18 用结构图化简的用结构图化简的用结构图化简的用结构图化简的方法求下图所示系统传递函方法求下图所示系统传递函方法求下图所示系统传递函方法求下图所示系统传递函数。数。数。数。RG1G2CG3RG1G2CG3解：解：RG1G2CG3RG1G2CG31/G22.8.1 2.8.1 信号流图的基本概念信号流图的基本概念 1.1.定义定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图信号流图是表示一组联立线性代
41、数方程的图信号流图是表示一组联立线性代数方程的图信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=a12 x1式中，式中，x1为输入信号为输入信号(变量变量变量变量)；x2为输出信号为输出信号(变量变量变量变量)；a12为两信号之为两信号之间的传输间的传输(增益增益增益增益)。即输出变量等于输入变量乘上。即输出变量等于输入变量乘上传输传输传输传输值。若从因果值。若从因果关系上来看，关系上来看，x1为为“因因”，x2为为“果果”。这种因果关系，可用下图。这种因果关系，可用下图表示。表示。信号传递关
42、系信号传递关系 函数运算关系函数运算关系 变量因果关系变量因果关系x1a12x22-8 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由下列方程组描述：设有一系统，它由下列方程组描述：x2=a12 x1+a32 x3 x3=a23 x2+a43 x4 x4=a24 x2+a34 x3+a44 x4 x5=a25 x2+a45 x4把内部变量结构和相互关系描述的把内部变量结构和相互关系描述的把内部变量结构和相互关系描述的把内部变量结构和相互关系描述的一清二楚一清二楚一清二楚一清二楚a43a44x1a12
43、x2x3x4x5a23a34a45a24a25a322.2.信号流图的基本元素信号流图的基本元素 (1)节点：用来表示变量，用符号节点：用来表示变量，用符号“O”表示，并在近表示，并在近旁标出所代表的变量。旁标出所代表的变量。(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。表示。支路具有两个特征：支路具有两个特征：有向性有向性有向性有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。递的方向，用箭头表示。有权性有权性有权性有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支限定了输入与输出两个变量之间的关系。支
44、路的权用它近旁标出的传输值路的权用它近旁标出的传输值(增益增益增益增益)表示。表示。3.3.信号流图的几个术语信号流图的几个术语 节点及其类别节点及其类别节点及其类别节点及其类别 输入节点输入节点(源点源点)只有输出支路的节点，它代表系统的只有输出支路的节点，它代表系统的输输入入变量。如图中变量。如图中x1。混合节点混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中中x2、x3。输出节点输出节点(汇点汇点)只有输入支路的节点，它代表只有输入支路的节点，它代表系统的系统的输出变量。如图中输出变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14
45、x4x2 通道及其类别通道及其类别通道及其类别通道及其类别 通道通道 从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。的乘积来表示。开通道开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一节点如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次上，而且通道中的每个节点只经过一次。如。如a12 a23 a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4 闭通道闭通道(回环回环)如果通道的终点就是起点的开通道。如果通道的终点就是起点
46、的开通道。如如a23 a32，a33(自回环自回环)。前向通前向通前向通前向通道道道道 从源节点到汇节点的开通道。从源节点到汇节点的开通道。不接触回路不接触回路不接触回路不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路。回路之间没有公共的节点和支路。4.4.4.4.信号流图的基本性质信号流图的基本性质信号流图的基本性质信号流图的基本性质 1 1）信号流图只能代表）信号流图只能代表线性线性代数方程组。代数方程组。2 2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用
47、该节点变量表示。点变量表示。3 3）信号在支路上沿箭头）信号在支路上沿箭头单向单向单向单向传递，后一节点变量依赖传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有于前一节点变量，即只有“前因后果前因后果前因后果前因后果”的因果关系。的因果关系。4 4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。增益而变换为另一信号。5 5）对于给定的系统，信号流图不唯一。）对于给定的系统，信号流图不唯一。2.8.2 2.8.2 2.8.2 2.8.2 信号流图的绘制方法信号流图的绘制方法信号流图的绘制方法信号流图的绘制方法 1.1.直接法直接法 例
48、例2-192-19 RLC电路如图电路如图2-28所示，试画出信号流图所示，试画出信号流图。解解解解：(1)(1)(1)(1)列写原始方程列写原始方程列写原始方程列写原始方程(2)(2)(2)(2)取拉氏变换，考虑初始条件取拉氏变换，考虑初始条件取拉氏变换，考虑初始条件取拉氏变换，考虑初始条件：i i(0(0+)，u uc c(0(0+)(3)(3)(3)(3)整理成因果关系整理成因果关系整理成因果关系整理成因果关系 R C ur(t)uc(t)Li(t)(4)(4)画出信号流图如图所示。画出信号流图如图所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R 1Cs
49、1Ls+R2.2.翻译法翻译法 例例2-202-20 画出下图所示系统的信号流图。画出下图所示系统的信号流图。R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)+E2(s)E1(s)解：按照解：按照翻译法翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号可直接作出系统结构图所对应的信号流图。流图。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)-H(s)系统结构图系统结构图 信号流图信号流图变量变量变量变量 节点节点节点节点输入变量输入变量 源节点源节点比较点比较点比较点比较点引出点引出点引出点引出点 混合节点混合节点混合节点混合节点传输线传输线传输线传输线 方框方框方框方框 支路支路支路支路输出端输出
50、端 汇节点汇节点2.8.3 2.8.3 2.8.3 2.8.3 梅逊增益公式梅逊增益公式梅逊增益公式梅逊增益公式 1.梅逊增益公式梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为输入输出节点间总传输的一般式为式中式中P 总总传输传输(增益增益)；n 从从源节点至汇节点前向通道总数；源节点至汇节点前向通道总数；P Pk k 第第第第K K条前向通路的条前向通路的条前向通路的条前向通路的传输传输传输传输；信号流图的特征式；信号流图的特征式；信号流图的特征式；信号流图的特征式；k k 第第第第k k k k条前向通路特征式的余因子式条前向通路特征式的余因子式条前向通路特征式的余因子式条前向通路特征式的余因