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1、 研究生有限元法授课大纲研究生有限元法授课大纲2 2 杆系结构有限元杆系结构有限元4 4 空间与轴对称问题空间与轴对称问题5 5 板弯曲有限元分析板弯曲有限元分析6 6 壳弯曲有限元分析壳弯曲有限元分析3 3 平面问题有限元分析平面问题有限元分析理论理论-公式公式-程序程序-实际应用实际应用1 1 绪论、弹性力学基本方程、虚位移原理、最小势能原理绪论、弹性力学基本方程、虚位移原理、最小势能原理7 7 广义变分原理广义变分原理有限元法考核方式有限元法考核方式2 2 一个有限元程序一个有限元程序 （MATLABMATLAB语言编写）语言编写）时间：第时间：第1919周前全部完成周前全部完成3 3
2、口试口试1 1 有限元学习报告（打字）有限元学习报告（打字）第第2020周周 考试结束考试结束第第1章章 有限元法绪论有限元法绪论第第1节节 概述概述 Clough-The finite element method起源起源:5050年代飞机结构矩阵分析年代飞机结构矩阵分析Argyris,Turner,CloughArgyris,Turner,Clough 60 60年代弹性力学平面问题年代弹性力学平面问题,目前已涉及众多领域目前已涉及众多领域 实质实质:对力学模型进行近似数值计算的方法对力学模型进行近似数值计算的方法将无限自由度问题变成有限自由度问题将无限自由度问题变成有限自由度问题分析过程
3、分析过程:结构离散化结构离散化,确定位移模式确定位移模式,单元特性分析单元特性分析 整体分析整体分析,解方程解方程,输出计算结果输出计算结果,其他处理其他处理杆系结构杆系结构学习方法学习方法:与矩阵位移法对比与矩阵位移法对比相同与不同之处相同与不同之处 了解基本原理了解基本原理,各种方法的共性与实质各种方法的共性与实质 通过自编程序进一步熟悉原理通过自编程序进一步熟悉原理连续体连续体应用状况应用状况:标准通用软件标准通用软件SAP2000,ANSYS,SAP2000,ANSYS,各种专用程序各种专用程序第第2节节 弹性力学基本方程弹性力学基本方程一、平衡方程一、平衡方程二、几何方程二、几何方程
4、三、本构关系三、本构关系四、协调方程四、协调方程五、边界条件五、边界条件(应力应力,位移位移)位移位移应力应力续第续第2节节 弹性力学基本方程弹性力学基本方程矩阵表示矩阵表示位移列阵位移列阵体积力列阵体积力列阵应力列阵应力列阵应变列阵应变列阵表面外法线方表面外法线方向余弦矩阵向余弦矩阵微分算子列阵微分算子列阵表面力列阵表面力列阵已知位移列阵已知位移列阵二、几何方程二、几何方程三、本构关系三、本构关系四、协调方程四、协调方程五、应力边界条件五、应力边界条件一、平衡方程一、平衡方程位移边界条件位移边界条件第第3节节 虚位移原理虚位移原理 弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：弹性体处于平衡状态的必要
5、与充分条件：对于任意的、满足相容条件对于任意的、满足相容条件的虚位移的虚位移 ，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。总虚变形功总虚变形功：对于平面问题对于平面问题：虚位移原理虚位移原理总外力虚功总外力虚功：第第4节节 最小势能原理最小势能原理 在几何可能的一切容许位移和形变中在几何可能的一切容许位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取真正的位移和形变使总势能取最小值；反之最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。总总 势势 能：能：即：形变势能即：形变势能的变分表达式与的变分表达式与虚变形
6、功虚变形功的表达式完全相同。的表达式完全相同。最小势能原理最小势能原理形变势能：形变势能：外力势能：外力势能：形变势能变分形变势能变分:外力势能变分外力势能变分:即：外力势能即：外力势能的变分表达式与的变分表达式与外力虚功负值外力虚功负值的表达式完全相同。的表达式完全相同。第第2章章 杆系结构有限元杆系结构有限元第第1 1节节 等直杆单元分析等直杆单元分析位移列位移列 阵阵由结点位移得由结点位移得设位移模式设位移模式其中其中:待定参数为待定参数为:结点位移表示的位移模式为结点位移表示的位移模式为:形函数矩阵为形函数矩阵为:1、用结点位移表示单元的位移模式、用结点位移表示单元的位移模式2、用结点
7、位移表示应变和应力、用结点位移表示应变和应力第第1 1节节 等直杆单元分析等直杆单元分析续续1 13、用虚位移原理导出梁单元的刚度矩阵、用虚位移原理导出梁单元的刚度矩阵第第1 1节节 等直杆单元分析等直杆单元分析续续2 21、分布轴力、分布轴力p(x)的移置的移置第第2 2节节 等效结点力计算等效结点力计算等效结点力等效结点力原分布荷载按照虚功相等的原则移置到单元结点上的力原分布荷载按照虚功相等的原则移置到单元结点上的力2、分布扭转力矩、分布扭转力矩m(x)的移置的移置3、分布横向力、分布横向力q(x)的移置的移置第第3 3节节 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换坐标转换矩阵坐标转换
8、矩阵第第3章章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析第第2节节 矩形双线性单元矩形双线性单元第第3节节 收敛准则收敛准则 多项式位移模式阶次的选择多项式位移模式阶次的选择第第1节节 三角形常应变单元三角形常应变单元第第4节节 六结点三角形单元六结点三角形单元第第5节节 四结点四边形等参单元四结点四边形等参单元第第6节节 八结点四边形等参单元八结点四边形等参单元第第3章章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析第第1节节 三角形常应变单元三角形常应变单元一、离散化一、离散化 将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。间用有限个
9、点相连。每个部分称为一个每个部分称为一个单元单元，连接点称为，连接点称为结点结点。三角形网格划分三角形网格划分结点力结点力,单元结点力单元结点力结点位移结点位移,单元结点位移单元结点位移二、位移模式与形函数二、位移模式与形函数第第1 1节节 三角形常应变单元三角形常应变单元(续续1)1)代数余子式代数余子式I 二阶单位阵,N 形函数矩阵第第1 1节节 三角形常应变单元三角形常应变单元(续续2)2)三、应变三、应变四、应力四、应力应变矩阵为常量，单元内应变是常数 应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移确是连续的。第第1 1节节 三角形常应变单元三角形常应变单元
10、(续续3)3)五、单元刚度矩阵五、单元刚度矩阵第第1 1节节 三角形常应变单元三角形常应变单元(续续4)4)六、等效结点力、载荷列阵六、等效结点力、载荷列阵第第1 1节节 三角形常应变单元三角形常应变单元(续续5)5)七、形函数的性质七、形函数的性质第第1 1节节 三角形常应变单元三角形常应变单元(续续6)6)八、面积坐标八、面积坐标第第2节节 矩形双线性单元矩形双线性单元矩形单元矩形单元矩形单元结点位移、结点力列阵矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数一、位移模式与形函数正方形规则单元正方形规则单元正方形单元与矩形单元的关系正方形单元与矩形单元的关系形函数的性质：本点处值为形函数的
11、性质：本点处值为1 1，它点处值为，它点处值为0 0第第2 2节节 矩形双线性单元矩形双线性单元(续续1 1)二、应变二、应变三、应力三、应力平面应力问题平面应力问题第第2 2节节 矩形双线性单元矩形双线性单元(续续2 2)四、单元刚度矩阵四、单元刚度矩阵第第3节节 收敛准则收敛准则 多项式位移模式阶次的选择多项式位移模式阶次的选择一、收敛准则一、收敛准则1 1、位移模式必须包含单元的、位移模式必须包含单元的刚体位移刚体位移满足条件满足条件1 1、2 2的的单元为单元为完备单元完备单元二、多项式位移模式阶次的选择二、多项式位移模式阶次的选择按照帕斯卡三角形选按照帕斯卡三角形选2 2、位移模式必
12、须能包含单元的、位移模式必须能包含单元的常应变常应变3 3、位移模式在单元内要、位移模式在单元内要连续连续、并使相邻单元间的位移必须、并使相邻单元间的位移必须协调协调满足条件满足条件3 3的的单元为单元为协调单元协调单元几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关帕斯卡三角形帕斯卡三角形多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总数。多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总数。第第4节节 六结点三角形单元六结点三角形单元一、位移模式与形函数一、位移模式与形函数取三角形顶点和边中点作结点，位移模式为：取三角形
13、顶点和边中点作结点，位移模式为：六结点三角形单元六结点三角形单元用面积坐标表示的形函数为：用面积坐标表示的形函数为：二、应变二、应变第第4节节 十结点三角形三次单元十结点三角形三次单元确定位移模式和形函数确定位移模式和形函数取三角形各边三分点和面积坐标相等的内取三角形各边三分点和面积坐标相等的内点作为结点点作为结点十结点三角形单元。十结点三角形单元。十结点三角形单元十结点三角形单元第第5节节 四结点四边形等参单元四结点四边形等参单元一、母单元的形函数一、母单元的形函数母单元母单元三、位移模式三、位移模式四边形单元四边形单元二、坐标变换二、坐标变换由此可知：单元的位移场和单元形状用相同的形函数，
14、故称等参数单元（等参元）由此可知：单元的位移场和单元形状用相同的形函数，故称等参数单元（等参元）四、导数的坐标变换四、导数的坐标变换其中：其中：第第5 5节节 四结点四边形等参单元（续四结点四边形等参单元（续1 1）五、面积微元的坐标变换五、面积微元的坐标变换第第6节节 八结点四边形等参单元八结点四边形等参单元一、母单元的形函数一、母单元的形函数母单元母单元三、位移模式三、位移模式八结点四边形单元八结点四边形单元二、坐标变换二、坐标变换第第4章章 空间与轴对称问题有限元分析空间与轴对称问题有限元分析第第2节节 四面体等参数单元四面体等参数单元第第3节节 八结点六面体等参数单元八结点六面体等参数
15、单元第第1节节 四面体常应变单元四面体常应变单元第第4节节 二十结点六面体等参数单元二十结点六面体等参数单元第第5节节 轴对称三角形单元轴对称三角形单元第第6节节 轴对称等参数单元轴对称等参数单元第第4章章 空间与轴对称问题有限元分析空间与轴对称问题有限元分析第第1节节 四面体常应变单元四面体常应变单元一、位移模式与形函数一、位移模式与形函数代数余子式代数余子式四面体单元四面体单元第第1 1节节 四面体常应变单元四面体常应变单元(续续1 1)I 三阶单位阵,N 形函数矩阵二、应变矩阵二、应变矩阵三、应力矩阵三、应力矩阵四、单元刚度矩阵四、单元刚度矩阵五、单元等效结点荷载五、单元等效结点荷载第第
16、2节节 四面体等参数单元四面体等参数单元二、坐标的等参变换二、坐标的等参变换四面体单元四面体单元一、体积坐标一、体积坐标三、四面体十结点单元三、四面体十结点单元第第3节节 八结点六面体等参数单元八结点六面体等参数单元一、形函数一、形函数三、位移模式三、位移模式二、坐标变换二、坐标变换第第4节节 二十结点六面体等参数单元二十结点六面体等参数单元一、形函数一、形函数三、位移模式三、位移模式二、坐标变换二、坐标变换第第4 4节节 二十结点六面体等参数单元二十结点六面体等参数单元(续续1 1)I 三阶单位阵,N 形函数矩阵五、应变矩阵五、应变矩阵六、应力矩阵六、应力矩阵四、导数的坐标变换四、导数的坐标
17、变换七、单元刚度矩阵七、单元刚度矩阵第第4 4节节 二十结点六面体等参数单元二十结点六面体等参数单元(续续2 2)八、单元等效结点荷载八、单元等效结点荷载第第5节节 轴对称三角形单元轴对称三角形单元二、应变二、应变一、位移模式一、位移模式三角形环形单元内的应变不是常数！代数余子式代数余子式第第5 5节节 轴对称三角形单元轴对称三角形单元(续续1 1)四、单元刚度矩阵四、单元刚度矩阵三、应力三、应力近似单刚近似单刚矩阵子块矩阵子块第第5 5节节 轴对称三角形单元轴对称三角形单元(续续2 2)五、等效结点力五、等效结点力第第6节节 轴对称等参数单元轴对称等参数单元三、导数坐标变换三、导数坐标变换一
18、、形函数与位移模式一、形函数与位移模式母单元母单元二、坐标变换二、坐标变换与平面八结点与平面八结点形式相同形式相同！第第6 6节节 轴对称等参数单元轴对称等参数单元(续续1 1)六、单元刚度矩阵六、单元刚度矩阵五、应力五、应力四、应变四、应变七、等效结点力七、等效结点力第第6 6节节 轴对称等参数单元轴对称等参数单元(续续2 2)第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第2节节 矩形矩形12自由度单元自由度单元第第3节节 三角形单元三角形单元第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础第第4节节 其他其他第第5章章 板的弯曲有限元分析板的弯曲有限元分析第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板
19、弯曲理论基础一、薄板基本假设一、薄板基本假设平板内力平板内力二、基本方程二、基本方程第第1 1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础(续续1 1)第第2节节 矩形矩形12自由度单元自由度单元矩形单元矩形单元矩形单元结点位移、结点力列阵矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数一、位移模式与形函数第第6章章 壳的弯曲有限元分析壳的弯曲有限元分析第第2节节 矩形矩形12自由度单元自由度单元第第3节节 单元单元第第1节节 薄板弯曲理论基础薄板弯曲理论基础第第4节节 单元单元第第5节节 单元单元第第6节节 单元单元第第4章章 空间与轴对称问题有限元分析空间与轴对称问题有限元分析第第1节节 四面体
20、常应变单元四面体常应变单元一、位移模式与形函数一、位移模式与形函数代数余子式代数余子式四面体单元四面体单元第第1 1节节 四面体常应变单元四面体常应变单元(续续1 1)I 三阶单位阵,N 形函数矩阵二、应变矩阵二、应变矩阵三、应力矩阵三、应力矩阵四、单元刚度矩阵四、单元刚度矩阵五、单元等效结点荷载五、单元等效结点荷载第第2节节 四面体等参数单元四面体等参数单元二、坐标的等参变换二、坐标的等参变换四面体单元四面体单元一、体积坐标一、体积坐标三、四面体十结点单元三、四面体十结点单元第第3节节 八结点六面体等参数单元八结点六面体等参数单元一、形函数一、形函数三、位移模式三、位移模式二、坐标变换二、坐
21、标变换第第4节节 二十结点六面体等参数单元二十结点六面体等参数单元一、形函数一、形函数三、位移模式三、位移模式二、坐标变换二、坐标变换第第4 4节节 二十结点六面体等参数单元二十结点六面体等参数单元(续续1 1)I 三阶单位阵,N 形函数矩阵五、应变矩阵五、应变矩阵六、应力矩阵六、应力矩阵四、导数的坐标变换四、导数的坐标变换七、单元刚度矩阵七、单元刚度矩阵第第4 4节节 二十结点六面体等参数单元二十结点六面体等参数单元(续续2 2)八、单元等效结点荷载八、单元等效结点荷载第第5节节 轴对称三角形单元轴对称三角形单元二、应变二、应变一、位移模式一、位移模式四、应力四、应力三角形环形单元内的应变不
22、是常数！第第5 5节节 轴对称三角形单元轴对称三角形单元(续续1 1)五、单元刚度矩阵五、单元刚度矩阵第第7章章 广义变分原理广义变分原理第第2节节 泛函及其变换格式泛函及其变换格式第第3节节 含可选参数的广义变分原理含可选参数的广义变分原理第第1节节 虚力原理与最小余能原理虚力原理与最小余能原理第第4节节第第5节节第第6节节第第7章章 广义变分原理广义变分原理第第1节节 虚力原理与最小余能原理虚力原理与最小余能原理广义变分原理：研究如何将有附加条件的变分原理变成无附加条件的变分原理。广义变分原理：研究如何将有附加条件的变分原理变成无附加条件的变分原理。一、虚力原理一、虚力原理给定位移状态协调
23、的充分必要条件是，对一切自平衡的虚应力，给定位移状态协调的充分必要条件是，对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立：恒有如下虚功方程成立：二、最小余能原理二、最小余能原理变形体的总余能：变形体的总余能：在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充分在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充分必要条件是，变形体的必要条件是，变形体的总余能取驻值总余能取驻值最小余能原理最小余能原理。虚位移原理等价于平衡条件；虚力原理等价于变形协调条件。虚位移原理等价于平衡条件；虚力原理等价于变形协调条件。第第1 1节节 虚力原理证明（续虚力原理证明（续1 1）一、必要性证明一、必要性证明已知位
24、移状态协调、虚应力是任意平衡的，虚力原理成立。已知位移状态协调、虚应力是任意平衡的，虚力原理成立。二、充分性证明二、充分性证明已知对一切自平衡的虚应力虚功方程恒成立。与应力对应的位移协调已知对一切自平衡的虚应力虚功方程恒成立。与应力对应的位移协调第第1 1节节 虚力原理证明（续虚力原理证明（续2 2）根据格林公式，可得根据格林公式，可得第第1 1节节 虚力原理证明（续虚力原理证明（续3 3）第第2节节 泛函及其变换格式泛函及其变换格式一、概述一、概述1 1、变量的分类、变量的分类泛函变量、增广变量泛函变量、增广变量泛函中所显含的自变函数，称为泛函的泛函中所显含的自变函数，称为泛函的泛函变量泛函
25、变量2 2、泛函所满足条件的分类、泛函所满足条件的分类强制条件、自然条件、增广条件强制条件、自然条件、增广条件泛函中除泛函变量之外，对所讨论问题应包含的函数，称为泛函的泛函中除泛函变量之外，对所讨论问题应包含的函数，称为泛函的增广变量增广变量3 3、两泛函间关系的分类、两泛函间关系的分类广义等价、等价、互等广义等价、等价、互等泛函中泛函变量必须事先满足的条件，称为泛函中泛函变量必须事先满足的条件，称为强制条件强制条件由泛函的变分等于零所导出的条件（欧拉方程），称为由泛函的变分等于零所导出的条件（欧拉方程），称为自然条件自然条件泛函中泛函变量与增广变量或两增广变量间应满足的条件，称为泛函中泛函变
26、量与增广变量或两增广变量间应满足的条件，称为增广条件增广条件两泛函所包含的变量相同，所满足的全部条件相同，则此两个泛函两泛函所包含的变量相同，所满足的全部条件相同，则此两个泛函广义等价广义等价若两广义等价的泛函其所包含的变量对应且相同，所满足条件也对应相同，则此两泛函若两广义等价的泛函其所包含的变量对应且相同，所满足条件也对应相同，则此两泛函等价等价若两等价泛函间只相差一个比例系数，则此两个泛函为若两等价泛函间只相差一个比例系数，则此两个泛函为互等互等4 4、泛函的变换格式、泛函的变换格式放松格式、增广格式、等价格式放松格式、增广格式、等价格式有一个泛函变成另一个泛函有有一个泛函变成另一个泛函
27、有3 3种常用的格式：种常用的格式：放松格式、增广格式、等价格式。放松格式、增广格式、等价格式。第第2节节 泛函及其变换格式（续泛函及其变换格式（续1）二、放松格式二、放松格式拉氏乘子法拉氏乘子法余能原理的数学表示：余能原理的数学表示：强制条件为：强制条件为：利用拉氏乘子将强制条件吸收到泛函中的泛函变换，即为放松格式。利用拉氏乘子将强制条件吸收到泛函中的泛函变换，即为放松格式。第第2节节 泛函及其变换格式（续泛函及其变换格式（续2）三、增广格式三、增广格式高阶拉氏乘子法高阶拉氏乘子法二类变量的广义余能原理（二类变量的广义余能原理（Hellinger-Ressner原理）：原理）：将将增广条件构
28、造二次型增广条件构造二次型引入少变量无条件泛函，从而获得多变量无引入少变量无条件泛函，从而获得多变量无条件泛函的泛函变换，即为条件泛函的泛函变换，即为增广格式增广格式。第第2节节 泛函及其变换格式（续泛函及其变换格式（续3）三、等价格式三、等价格式利用利用自然条件自然条件构造二次型。构造二次型。将无条件泛函变为含可选参数的无条件将无条件泛函变为含可选参数的无条件泛函，即为泛函，即为等价格式等价格式变换。变换。第第3节节 含可选参数的广义变分原理含可选参数的广义变分原理由自然条件构造由自然条件构造1414个二次型个二次型利用等价格式建立新泛函：利用等价格式建立新泛函：第第3节节 含可选参数的广义变分原理（续含可选参数的广义变分原理（续1）