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1、测量误差分析与数据处理杭州电子科技大学杭州电子科技大学能量利用系统与自动化研究所能量利用系统与自动化研究所姜周曙 得到被测参数真值得到被测参数真值测量目的 认识和掌握误差规律认识和掌握误差规律 评价检测装置和测量结果评价检测装置和测量结果 提高测量的准确度提高测量的准确度研究误差目的 计量基准计量基准 准确度高一级等级仪表准确度高一级等级仪表 等精度测量条件下有限次测量的平均值等精度测量条件下有限次测量的平均值 “约定真值”的得到 测量的误差：测量的误差：测量值与真值之间的差值测量值与真值之间的差值,它反映测量质量优劣它反映测量质量优劣 测量可靠性：测量可靠性：不同场合对测量结果可靠性的要求不
2、同不同场合对测量结果可靠性的要求不同 测量准确程度应与测量目的与要求相关测量准确程度应与测量目的与要求相关 要有性价比的意识要有性价比的意识 量值传递、经济核算、产品检验应保证测量结果足够准确度；量值传递、经济核算、产品检验应保证测量结果足够准确度；当测量值用作控制信号时当测量值用作控制信号时,则要注意测量的稳定性和可靠性。则要注意测量的稳定性和可靠性。测量误差 传感器本身性能不良传感器本身性能不良 测量方法不完善测量方法不完善 环境、干扰环境、干扰误差原因 绝对误差：绝对误差：示值与被测量真值之间的差值示值与被测量真值之间的差值 相对误差：相对误差：绝对误差与被测量的约定值之比绝对误差与被测
3、量的约定值之比实际相对误差实际相对误差绝对误差与被测量真值的百分比示值示值(标称标称)相对误差相对误差绝对误差与器具的示值(测量值)的百分比引用误差引用误差绝对误差与器具的满度值（量程）的百分比分贝误差分贝误差用对数形式表示的一种误差误差的分类按误差本身因次分类按误差本身因次分类按误差出现的规律分类按误差出现的规律分类 系统误差：系统误差：不具抵偿性，难发现，固定或按规律变化，可判断、消除。不具抵偿性，难发现，固定或按规律变化，可判断、消除。随机误差：随机误差：多次等精度测量值服从统计学规律多次等精度测量值服从统计学规律 粗大误差：粗大误差：人为疏忽或环境突变造成，可通过训练和判据发现并剔除人
4、为疏忽或环境突变造成，可通过训练和判据发现并剔除误差的分类 基本误差：基本误差：指仪表在规定的指仪表在规定的标准条件标准条件下所具有的误差。下所具有的误差。附加误差：附加误差：指当仪表的指当仪表的使用条件偏离使用条件偏离额定条件下出现的误差额定条件下出现的误差 容许误差：容许误差：指测量仪器在指测量仪器在规定的使用条件规定的使用条件下可能产生的最大误差范围下可能产生的最大误差范围按使用工作条件分类按使用工作条件分类按误差的特性分类按误差的特性分类 静态误差静态误差 动态误差动态误差按误差的原因分类按误差的原因分类 系统误差系统误差 环境误差环境误差 人员误差人员误差系统误差：系统误差：其分析与
5、评价是误差分析的核心问题；其分析与评价是误差分析的核心问题；其规律性决定误差处理与补偿有效性。其规律性决定误差处理与补偿有效性。数据处理之前数据处理之前,依照一定的准则，应首先剔除粗大误差依照一定的准则，应首先剔除粗大误差 常用准则：常用准则：33准则；肖维勒准则；格拉布斯准则准则；肖维勒准则；格拉布斯准则粗大误差1.31.3准则准则又又称称莱莱以以达达准准则则：当当某某个个测测量量值值的的残残差差的的绝绝对对值值|v vi i|3|3（极极限限误误差差）时时，则剔除。则剔除。2.2.肖维勒准则肖维勒准则某测量值的残差绝对值某测量值的残差绝对值|v vi i|Z|Zc c,则剔除。实用中则剔除
6、。实用中Z Zc c33，Z Zc c取值如表所示。取值如表所示。粗大误差3.3.格拉布斯准则格拉布斯准则某某测测量量值值的的残残差差的的绝绝对对值值|v vi i|GG，则则剔剔除除。GG值值与与测测量量次次数数n n和和置置信信概概率率PaPa有关，如表所示有关，如表所示注意：注意：以上准则以数据按正态分布为前提，当偏离正态分布、测量次数很少时，以上准则以数据按正态分布为前提，当偏离正态分布、测量次数很少时，判断的可靠性就差。判断的可靠性就差。提高测量者技术水平与责任心，保证测量条件稳定，防止环境条件剧变提高测量者技术水平与责任心，保证测量条件稳定，防止环境条件剧变 首先：排除粗差后，测量
7、误差等于随机误差首先：排除粗差后，测量误差等于随机误差i i 和系统误差和系统误差i i 代数和：代数和：当当系系差差与与随随机机误误差差同同时时存存在在时时，若若测测量量次次数数足足够够多多，则则各各次测量绝对误差的算术平均值等于系差次测量绝对误差的算术平均值等于系差 系统误差的特性 最后：当最后：当n n足够大，由于随机误差的抵偿性，足够大，由于随机误差的抵偿性，i i 的算术平均值趋于的算术平均值趋于 零，由上式得到：零，由上式得到：其次：假设进行其次：假设进行n n次等精度测量，并设系差为恒值系差或变化非常次等精度测量，并设系差为恒值系差或变化非常 缓慢即缓慢即i i=，则，则x xi
8、 i 的算术平均值为：的算术平均值为：当当系系差差与与随随机机误误差差同同时时存存在在时时，若若测测量量次次数数足足够够多多，则则各各次次测测量量绝绝对对误差的算术平均值等于系差误差的算术平均值等于系差 测量结果的准确度不仅与随机误差有关，更与系差有关测量结果的准确度不仅与随机误差有关，更与系差有关 系差不易被发现系差不易被发现 系差不具备抵偿性系差不具备抵偿性 取平均值对系差无效取平均值对系差无效 例子：雷莱发现了空气中的惰性气体例子：雷莱发现了空气中的惰性气体 200200多年前，人们知道空气里有水蒸气、二氧化碳外，还有氧气和氮气。多年前，人们知道空气里有水蒸气、二氧化碳外，还有氧气和氮气
9、。17851785年，英国科学家卡文迪许实验发现，去除空气中的水蒸气、二氧化碳、氧气年，英国科学家卡文迪许实验发现，去除空气中的水蒸气、二氧化碳、氧气和氮气后，仍有少量残余气体，但并未引起化学家重视。和氮气后，仍有少量残余气体，但并未引起化学家重视。100100年后，英国物理学家雷利年后，英国物理学家雷利(Rayleigh)(Rayleigh)多次测定氮气密度，发现从空气中分离多次测定氮气密度，发现从空气中分离的氮气是的氮气是1.25721.2572克克/升，从氮物质制得的氮气是升，从氮物质制得的氮气是1.25051.2505克克/升，相差几毫克。雷利未升，相差几毫克。雷利未忽视微小差异，怀疑
10、空气分离的氮气中含有新气体。他查阅了卡文迪许的资料。忽视微小差异，怀疑空气分离的氮气中含有新气体。他查阅了卡文迪许的资料。18941894年，他去除空气中氧气和氮气后，得到少量极不活泼气体。英国化学家拉姆年，他去除空气中氧气和氮气后，得到少量极不活泼气体。英国化学家拉姆塞用其它方法从空气中也得到了该气体，命名为氩（拉丁文塞用其它方法从空气中也得到了该气体，命名为氩（拉丁文“懒惰懒惰”）。）。拉姆塞等人又陆续从空气里发现了氦气、氖气、氪气和氙气。拉姆塞等人又陆续从空气里发现了氦气、氖气、氪气和氙气。误差可能是科学新发现的前导误差可能是科学新发现的前导系统误差的判断1.1.实验比较法实验比较法 改
11、变测量方法改变测量方法理论分析法理论分析法 针对测量方法或测量原理引入的系差只适用于发现恒值系差针对测量方法或测量原理引入的系差只适用于发现恒值系差 改变测量仪器改变测量仪器校准和比对法校准和比对法 用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系差用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系差 改变测量条件改变测量条件 比如更换测量人员、测量环境、测量方法等比如更换测量人员、测量环境、测量方法等2.2.残余误差观察法残余误差观察法根据测量数据数列各个剩余误差的大小、符号的变化规律，根据测量数据数列各个剩余误差的大小、符号的变化规律，从误差数据、曲线判断系统误差的有无、类型、大小等。从误差数据、曲线判
12、断系统误差的有无、类型、大小等。(a)(a)残差呈线性递减规律，存在残差呈线性递减规律，存在“累进性系统误差累进性系统误差;(b)(b)残差大小、符号呈周期性变化，存在残差大小、符号呈周期性变化，存在“周期性系统误差周期性系统误差”；(c)(c)残差基本上正负相同，无明显变化规律，残差基本上正负相同，无明显变化规律，“无系统误差无系统误差”；(d)(d)残差呈周期性递增规律，同时存在残差呈周期性递增规律，同时存在“累进性系差累进性系差”和和“周期性系差周期性系差”。系统误差的判断是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是：是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是：3.3.马利科夫判据马利
13、科夫判据判别累进性系差判别累进性系差将将 n n 项剩余误差项剩余误差 v vi i 按顺序排列按顺序排列分成前后两半求和，再求其差值分成前后两半求和，再求其差值D D当当 n n 为偶数时为偶数时:当当 n n 为奇数时为奇数时:若若D D00则说明测量数据存在累进性系差。则说明测量数据存在累进性系差。系统误差的判断4.4.阿卑阿卑 赫梅特判据赫梅特判据周期性系差的判别周期性系差的判别如如图图(a)(a)所所示示：钟钟表表的的轴轴心心在在水水平平方方向向有有一一点点偏偏移移，设设它它的的指指针针在在垂垂直直向向上上的的位位置置时时造造成成的的误误差差为为，当当指指针针在在水水平平位位置置运运
14、动动时时 逐逐渐渐减减小小至至零零，当当指指针针运运动动到到垂垂直直向向下下位位置置时时，误误差差为为-，如如此此周周而而复复始始，造造成成的的误误差差如图如图(b)(b)所示，这类呈规律性交替变换称为周期性系统误差。所示，这类呈规律性交替变换称为周期性系统误差。当进行当进行 n n 次测量时，若有：次测量时，若有：则可认为测量中存在变值系差则可认为测量中存在变值系差系统误差的判断消除系统误差产生的根源1.1.从根源入手减小系统误差从根源入手减小系统误差2.2.用修正方法减少系统误差用修正方法减少系统误差 修正值修正值-误差误差=-=-（测量值真值）（测量值真值）实际值测量值修正值实际值测量值
15、修正值 要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器 注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大 尽量减少或消除测量者主观原因造成的系统误差。提高测量人员业务尽量减少或消除测量者主观原因造成的系统误差。提高测量人员业务 技术水平和工作责任心，改进设备技术水平和工作责任心，改进设备削弱系统误差的典型测量技术1.1.零视法零视法X=S 种类：种类：光电检流计、电流表、电压表、示波器、调谐指示器、耳机等。光电检流计、电流
16、表、电压表、示波器、调谐指示器、耳机等。只要标准量的准确度很高，被测量的测量准确度也就很高。只要标准量的准确度很高，被测量的测量准确度也就很高。用途：用途：阻抗阻抗(电桥电桥)、电压、电压(电位差计及数字电压表电位差计及数字电压表)、频率、频率(拍频法、差频法拍频法、差频法)等参数测量。等参数测量。调R3，使G=0，R3不动；调RS，使G=0，RX=RS；测量误差Rx，仅决定于标准电阻的误差Rs，而与R1、R2、R3的误差无关。2.2.替代法替代法(置换法置换法)直流电桥平衡条件直流电桥平衡条件步骤：步骤：当 RXR2=R1R3 G=0将 RSR2=R1R3 G=0则 RX=RS RS为标准电
17、阻箱可调可读削弱系统误差的典型测量技术3.3.补偿法补偿法部分替代法或不完全替代法。常用在高频阻抗、电压、衰减量等测量中例子：谐振法(如Q表)测电容问题：Cx与频率f0、电感L、分布电容有关，其准确度影响Cx的准确度新方法：补偿法测电容容易得到仅接入Cs1时有：接入Cx后有：比较两式得到：Cx=Cs1-Cs2削弱系统误差的典型测量技术4.4.对照法对照法(交换法交换法)通过交换被测量和标准量位置，从前后两次换位测量结果的处理中，削弱或消除系统误差特别适用于平衡对称结构的测量装置中，并通过交换法可检查其 对称性是否良好削弱系统误差的典型测量技术5.5.微差法微差法微差法又叫虚零法或差值比较法，实
18、质上是一种不彻底的零示法条件：当待测量与标准量接近时削弱系统误差的典型测量技术206.6.交叉读数法交叉读数法交叉读数法是上述对照法的一种特殊形式例如：由于在 fx=f0 附近曲线平坦，电压变化很小，很难判断真值。交叉读数法由此产生的理论误差为削弱系统误差的典型测量技术7.7.利用修正值或修正因数利用修正值或修正因数根据测量仪器检定书中给出的校正曲线、校正数据或利用说明书中的校正公式对测得值进行修正8.8.随机化处理随机化处理利用同一类型测量仪器的系统误差具有随机特性的特点，对同一被测量用多台仪器进行测量，取各台仪器测量值的平均值做为测量结果通常这种方法并不多用，首先费时较多，其次需要多台同类
19、型仪器，这往往是做不到的削弱系统误差的典型测量技术 测测量量时时，先先剔剔除除粗粗大大误误差差，再再设设法法将将系系统统误误差差消消除除或或减减小小到到可可忽忽略略的的程程度度，若此时测量数据仍不稳定，若此时测量数据仍不稳定，则存在随机误差；则存在随机误差；多次等精度测量时产生的随机误差及测量值服从统计学规律。多次等精度测量时产生的随机误差及测量值服从统计学规律。随机误差1.1.随机误差处理目的随机误差处理目的 求出最接近真值的值（即：真值的最佳估计）；求出最接近真值的值（即：真值的最佳估计）；评定数据精密度高低（即：可信赖程度），并给出测量结果。评定数据精密度高低（即：可信赖程度），并给出测
20、量结果。2.2.随机误差特征随机误差特征 单峰性：小绝对值概率大于大绝对值概率；单峰性：小绝对值概率大于大绝对值概率；有界性：绝对值不会超出一定界限；有界性：绝对值不会超出一定界限；对称性或抵偿性：测量次数对称性或抵偿性：测量次数n n很大时很大时,绝对值绝对值相等、符号相反的概率相等；相等、符号相反的概率相等；测量值在期望值上出现的概率最大，随着对测量值在期望值上出现的概率最大，随着对期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。随机误差2.2.算术平均值算术平均值 实际测量时实际测量时,真值真值 L L 不可能得到；不可能得到；随机误差服从正态分布，且算术平均
21、值处随机误差的概率密随机误差服从正态分布，且算术平均值处随机误差的概率密度最大；度最大；与被测量的真值最接近，测量次数越多就越接近。与被测量的真值最接近，测量次数越多就越接近。3.3.标准偏差标准偏差 即：均方根误差、均方根偏差，简称标准差；即：均方根误差、均方根偏差，简称标准差；均方根偏差愈大，测量数据分散范围愈大；均方根偏差愈大，测量数据分散范围愈大；愈小愈小,分布曲线愈陡峭，说明随机变量的分散性分布曲线愈陡峭，说明随机变量的分散性小，小，测量精度高。测量精度高。系统误差的合成误差的综合常用函数合成误差系统不确定度误差的综合误差的综合设最终测量结果为y，各分项测量值为x1、xn，它们满足函
22、数关系并设各xi间彼此独立，xi绝对误差为xi，y 的绝对误差为y，则 将上式按泰勒级数展开略去上式右边高阶项，得：因此：系统误差的合成在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即将式中各分项取绝对值后再相加该公式常用于在设计阶段中对传感器、仪器及系统等的误差进行分析和估算，以采取减少误差的相应措施用相对误差形式表示总的合成误差同样，当各分项符号不明确时，为可靠起见，取绝对值相加系统误差的合成常用函数的合成误差1.1.和差函数的合成误差和差函数的合成误差设：两式相减得绝对误差：当x1、x2符号不能确定时，有：相对误差或者写成对于和函数对于差函数常用函数的
23、合成误差2.2.积函数的合成误差积函数的合成误差设：得绝对误差：若相对误差都有正负号则常用函数的合成误差3.3.商函数的合成误差商函数的合成误差设：得绝对误差：若相对误差都有正负号则常用函数的合成误差4.4.幂函数的合成误差幂函数的合成误差设：k为常数，将积函数的合成误差公式略加推广得：若都有正负号则常用函数的合成误差5.5.积商函数的合成误差积商函数的合成误差设：式中k、m、n、p均为常数，综合上述各函数合成误差公式，直接得：若都有正负号则系统不确定度系统误差可能变化的最大幅度称为系统不确定度，用ym表示，相对系统不确定度用ym 表示:1.1.系统不确定度的绝对值合成法系统不确定度的绝对值合成法2.2.系统不确定度的均方根合成法系统不确定度的均方根合成法等精度测量结果的处理对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；求出算术平均值；列出残差，并验证；按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值；按莱特准则，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；判断有无系统误差。如有系统误差，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；计算算术平均值的标准偏差；写出最后结果的表达式，即（单位）等精度测量定义：同一测量者，用相同仪表与测量方法，在同样环境条件下，对同一被测量多次重复测量。应用中，只有近似等精度测量。