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1、燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University细细长长杆杆作作垂垂直直于于轴轴线线方方向向的的振振动动时时，其其主主要要变变形形形形式式是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。以以y(x，t)表表示示梁梁的的横横向向位位移移，它它是是截截面面位位置置x和和时时间间t的的二二元元函函数数；以以f(x,t)表表示示作作用用于梁上的单位长度的横向力于梁上的单位长度的横向力。系系统统的的参参数数：单单位位体体积积质质量量(x)，横横截截面面积积A(x)，弯弯曲曲刚刚度度EJ(x)
2、，E为为弹弹性性模模量量，J(x)为为横横截截面面对对垂垂直直于于x和和y轴且通过横截面形心轴的惯性矩。轴且通过横截面形心轴的惯性矩。3.4 3.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University假假设设：梁梁各各截截面面的的中中心心轴轴在在同同一一平平面面内内，且且在在此此平平面面内内作作弯弯曲曲振振动动，在在振振动动过过程程中中仍仍保保持持为为平平面面；不不计计转转动动惯惯量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。取取微微段段dx，如如图图所
3、所示示，用用 Q(x,t)表表 示示 剪剪 切切 力力，M(x,t)表示弯矩。表示弯矩。在在铅铅直直y方方向向的的运运动动方方程为程为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University上式简化为上式简化为略去略去dx的二次项，上式简化为的二次项，上式简化为代入运动微分方程得代入运动微分方程得在整个区间在整个区间(0 x L)中，都满足上式关系。中，都满足上式关系。忽忽略略截截面面转转动动的的影影响响，微微段段的的转动方程为转动方程为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yan
4、shan University由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式梁横向振动的偏微分方程梁横向振动的偏微分方程该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University若若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程，即为梁自由振动的偏微分方程上上述述方方程程的的解解对对空空间间和时间是分离的，令和时间是分离的，令燕山大学机械工程学院
5、School of Mechanical Engineering,Yanshan University同同前前面面讨讨论论的的波波动动方方程程一一样样，可得关于时间可得关于时间t的微分方程为的微分方程为上述方程的通解为简谐函数上述方程的通解为简谐函数式中式中A和和B为积分常数，由两个初始条件确定。为积分常数，由两个初始条件确定。同样可以得关于空间变量同样可以得关于空间变量x的微分方程为的微分方程为通过求解上式，可以得到振型函数的一般表达式。通过求解上式，可以得到振型函数的一般表达式。振型函数振型函数Y(x)必须满足相应的边界条件。必须满足相应的边界条件。燕山大学机械工程学院School of
6、Mechanical Engineering,Yanshan University常见的边界条件常见的边界条件(1)固定端：位移和转角等于零，即固定端：位移和转角等于零，即(2)铰支端铰支端：位移和弯矩等于零，即位移和弯矩等于零，即(x=0 或 x=L)(x=0 或 x=L)(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即自由端：弯矩和剪力等于零，即(x=0 或 x=L)对位移和转角的限制属于几何边界条件；对位移和转角的限制属于几何边界条件；对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。其它边界条件：其它边界条件：如端点有弹簧支承或有集中质量等等。如端点有弹簧支承或有集中质量等等。
7、用位移用位移二元二元函数函数y(x,t)表示的边界表示的边界条件！条件！燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University用振型函用振型函数数Y(x)表表示的边界示的边界条件！条件！(1)固定端：位移和转角等于零，即固定端：位移和转角等于零，即(x=0 或或 x=L)(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即铰支端：位移和弯矩等于零，即(x=0 或或 x=L)(3)自由端自由端：弯矩和剪力等于零，即弯矩和剪力等于零，即(x=0 或或 x=L)用振型函数表示的边界条件用振型函数表示的边界条件 将将方方程程 代代入入上上述述各各边边界
8、界条条件件，则则边边界界条条件件可以用振型函数表示。可以用振型函数表示。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University该方程为四阶该方程为四阶常系数线性常常系数线性常微分方程。微分方程。若若单单位位体体积积质质量量(x)=常常数数，横横截截面面积积A(x)=A=常常数数，横横截截面对中心主轴的惯性矩面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。常数。代入振型微分方程，得特征方程代入振型微分方程，得特征方程振型方程可以简化为振型方程可以简化为设其解为设其解为式中式中()()0dd444=-xYxxYb振型方程的简化振型方程的简
9、化燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University四个特征根为四个特征根为因为因为将上述解改写为将上述解改写为这这就就是是梁梁横横向向振振动动的的振振型型函函数数，其其中中C1，C2，C3，C4为为积积分分常常数数，可可以以用用四四个个边边界界条条件件来来确确定定其其中中三三个个积积分分常常数数(或或四四个个常常数数的的相相对对比比值值)及及导导出出特特征征方方程程，从从而而确确定定梁弯曲振动的固有频率梁弯曲振动的固有频率 和振型函数和振型函数Y(x)。振型微分方程振型微分方程()()0dd444=-xYxxYb的通解的
10、通解燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University注：常用的双曲函数公式有注：常用的双曲函数公式有燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University等截面均质梁的固有振动为等截面均质梁的固有振动为或者写为或者写为式式中中有有C1,C2,C3,C4,和和 六六个个待待定定常常数数。因因为为梁梁每每个个端端点点有有两两个个边边界界条条件件，共共有有四四个个边边界界条条件件，加加上上两两个个振振动初始条件恰好可以决定六个未知数。动初始条件恰好可以决定六个
11、未知数。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University下下面面着着重重讨讨论论等等截截面面均均质质梁梁弯弯曲曲振振动动的的固固有有频频率率和和固固有振型。有振型。1、简支梁、简支梁简支梁的边界条件为简支梁的边界条件为将第一组边界条件代入下式将第一组边界条件代入下式燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University两式相加，两式相加，2C3sh L=0。因为当因为当 L 0时，时，sh L 0，故得，故得C3=0。将第二组边界条件代入下式将第二组边界
12、条件代入下式两式相减，两式相减，2C1sin L=0。因求振动解，所以因求振动解，所以C1 0。特征方程：。特征方程：它的根为它的根为由此得特征值为由此得特征值为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University因因为为振振型型只只确确定定系系统统中中各各点点振振幅幅的的相相对对值值，不不能能唯唯一一地地确确定定幅幅值值的的大大小小，故故其其表表达达式式无无需需带带常常数数因因子子，则则振振型函数表为型函数表为固有频率为固有频率为因因相应的振型函数为相应的振型函数为燕山大学机械工程学院School of Mechanica
13、l Engineering,Yanshan University2、固支梁、固支梁固支梁的边界条件为固支梁的边界条件为将第一组边界条件代入下式将第一组边界条件代入下式故有故有C2=-C4，C1=-C3C2+C4=0，C1+C3=0燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University将第二组边界条件代入下式将第二组边界条件代入下式若上式对若上式对C3和和C4有非零解，它的系数行列式必须为零有非零解，它的系数行列式必须为零C2=-C4C1=-C3简化后得特征方程简化后得特征方程燕山大学机械工程学院School of Mechan
14、ical Engineering,Yanshan University求特征方程求特征方程 的根的根=0是上式的一个解，对应于系统的静止状态，故舍去。是上式的一个解，对应于系统的静止状态，故舍去。应用数值解法求得这一超越方程最低几个特征根为应用数值解法求得这一超越方程最低几个特征根为固定梁的前几个特征根值对应于对应于r 2的各个特征根，特征根可近似地表示为的各个特征根，特征根可近似地表示为梁的固有频率为梁的固有频率为因因燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University把把C1=-C3和和C2=-C4代入如下振型函数代入如
15、下振型函数振型函数简化为振型函数简化为C3/C4由上述所建立的边界条件求出，即由下式求出由上述所建立的边界条件求出，即由下式求出燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University整理得振型函数整理得振型函数显显然然，常常数数C4取取不不同同的的值值并并不不影影响响振振动动形形态态，因因此此可可取取C4=1，振型函数为，振型函数为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University振型函数及其各阶导数振型函数及其各阶导数3、悬臂梁悬臂梁悬臂梁的边界条件为悬
16、臂梁的边界条件为将第一组边界条件代入上式，有将第一组边界条件代入上式，有C2+C4=0，C1+C3=0C2=-C4，C1=-C3燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University这这是是关关于于C3和和C4的的线线性性代代数数方方程程组组，具具有有非非零零解解的的条条件件为为上式经展开并化简后得频率方程为上式经展开并化简后得频率方程为这就是悬臂梁弯曲振动的特征方程。这就是悬臂梁弯曲振动的特征方程。利利用用上上式式结结果果，并并把把第第二二组组边边界界条条件件代代入入振振型型函函数数的的第第二阶和第三阶导数式，得二阶和第三阶
17、导数式，得燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University由数值法求特征方程的根。也可用作图法求出，将上由数值法求特征方程的根。也可用作图法求出，将上式改写成式改写成以以 L为为横横坐坐标标，作作出出cos L和和-1/ch L的的曲曲线线。曲曲线线的的交交点点即即为为特征方程特征方程的根。的根。悬臂梁前几个特征根的值当当r 4时，时，各个特征方程的根可近似地表示为各个特征方程的根可近似地表示为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University根根据
18、据特特征征根根，悬悬臂臂梁梁的的固固有有频率为频率为求得各个特征根后，由下式确定系数求得各个特征根后，由下式确定系数C3和和C4的比值的比值与与 r相相应的振型函数为相相应的振型函数为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University前前面面讨讨论论了了等等截截面面均均质质梁梁弯弯曲曲振振动动的的三三种种典典型型边边界界条条件件的的情情形形，常常见见的的还还有有自自由由梁梁、固固支支-铰铰支支梁梁和和铰铰支支-自自由梁，下面对其作简要的介绍。由梁，下面对其作简要的介绍。4、自由梁自由梁两端自由梁的频率方程为两端自由梁的频率
19、方程为其特征根如表所示。其特征根如表所示。自由梁的前几个特征根值燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University表中的特征根可以近似表示为表中的特征根可以近似表示为注注意意：自自由由梁梁与与固固支支梁梁有有相相同同的的弯弯曲曲振振动动固固有有频频率率，但是它们相应的振型函数却是不同的。但是它们相应的振型函数却是不同的。振型函数为振型函数为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University5铰支铰支固支梁固支梁一端铰支一端固定梁的频率方程为一端铰支一端
20、固定梁的频率方程为其特征根如表所示其特征根如表所示铰支-固支梁的前几个特征根值特征根可以近似表示为特征根可以近似表示为振型函数为振型函数为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University6、铰支、铰支-自由梁自由梁一端铰支一端自由梁的频率方程为一端铰支一端自由梁的频率方程为其特征根如表所示。其特征根如表所示。显显然然，=0为为梁梁横横向向振振动动的的特特征征根根，对对应应于于定定轴轴转转动动的的刚体振型。刚体振型。注注意意:铰铰支支自自由由梁梁和和铰铰支支固固支支梁梁具具有有相相同同的的弯弯曲曲振动的固有频率，但其振型函
21、数却不相同。振动的固有频率，但其振型函数却不相同。铰支-自由梁的前几个特征根值特征根近似表示为特征根近似表示为振型函数为振型函数为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University关关于于简简支支梁梁、固固支支梁梁、悬悬臂臂梁梁、自自由由梁梁、铰铰支支固固支梁、铰支支梁、铰支-自由梁的前三阶振型函数如图所示。自由梁的前三阶振型函数如图所示。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University等等截截面面简简支支梁梁第第一一阶阶振振型型第第四四阶阶振振型型
22、的的动动画画演演示示燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University等等截截面面固固支支梁梁第第一一阶阶振振型型第第五五阶阶振振型型的的动动画画演演示示燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University等等截截面面悬悬臂臂梁梁第第一一阶阶振振型型第第四四阶阶振振型型的的动动画画演演示示燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University等截截面面自自由由梁梁 第第一一阶阶振振型型第
23、第四四阶阶振振型型的的动动画画演演示示燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University等等强强度度悬悬臂臂梁梁第一一阶阶振振型型第第四四阶阶振振型型的的动动画画演演示示燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University虽虽然然从从特特征征方方程程可可得得出出无无穷穷多多个个特特征征值值及及其其振振型型函函数数，但但应应该该指指出出，由由于于简简单单梁梁理理论论的的局局限限性性，高高阶阶振振型型愈愈来来愈不正确。愈不正确。前前面面讨讨论论了了六六种种不
24、不同同边边界界条条件件下下的的等等截截面面均均质质梁梁弯弯曲曲振振动动的的固固有有频频率率和和振振型型函函数数。下下表表对对比比了了这这六六种种情情形形的的固有频率、振型函数。固有频率、振型函数。这这是是因因为为节节点点数数随随着着振振型型的的增增加加而而增增加加，所所以以节节点点间间的的距距离离相相应应地地就就减减小小，梁梁单单元元剪剪切切变变形形和和转转动动惯惯量量的的影影响就愈加不能忽略了。响就愈加不能忽略了。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University等截面均质梁的弯曲振动等截面均质梁的弯曲振动 自由梁自由梁
25、振型函数振型函数1.875 4.694 7.8554.730 7.853 10.996(零频率除外零频率除外)4.730 7.853 10.996 特征根特征根 r cosch=-1cosch=1cosch=1 特征方程特征方程边界条件边界条件悬臂梁悬臂梁固支梁固支梁固有频率固有频率通解通解运动方程运动方程y=y(x,t)横向位移横向位移,J截面惯性矩截面惯性矩,L梁长梁长,E弹性模量弹性模量,A横截面积横截面积,单位体积质量单位体积质量 物理参数物理参数燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University注注：振型函数振型
26、函数3.927 7.069 10.210(零频率除外)3.927 7.069 10.210特征根特征根 r th=tanth=tansin=0 特征方程特征方程边界条件边界条件铰支铰支-自由梁自由梁铰支铰支-固支梁固支梁简支梁简支梁xxrrrrbbsinsinshsh-等截面均质梁的弯曲振动等截面均质梁的弯曲振动(续续)燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例1 等等截截面面均均质质悬悬臂臂梁梁的的自自由由端端加加横横向向弹弹性性支支承承，其其弹弹簧簧刚刚度度为为k，如图所示。导出频率方程。如图所示。导出频率
27、方程。解解：取取固固支支端端作作为为坐坐标标系系Oxy的的原点。振型函数原点。振型函数由左固定端边界条件可得：由左固定端边界条件可得：C2=-C4，C1=-C3在在弹弹性性支支承承端端，弯弯矩矩为为零零，剪剪力力等等于于弹弹性性力力。考考虑虑到到弹弹性性力力是是恢恢复复力力，并并且且其其方方向向按按截截面面剪剪力力的的正正负负号号规规定定，那那么么当当Y(L)为为正正时时，弹弹性性力力向向下下，作作为剪力应取正号。为剪力应取正号。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University故弹性支承端的边界条件为故弹性支承端的边界条
28、件为根据振型函数及其二、三阶导数根据振型函数及其二、三阶导数C2=-C4，C1=-C3燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University上上式式是是关关于于C3、C4的的线线性性代代数数方方程程组组。该该方方程程组组具具有有非非零解的条件为零解的条件为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University化简后得化简后得化简后得固有频率方程化简后得固有频率方程注意到，当注意到，当k=0时，上式转化为时，上式转化为当当k时，频率方程简化为时，频率方程简化为悬
29、臂梁的频率方程。悬臂梁的频率方程。这就是一端固定、一端铰支梁的弯曲振动频率方程。这就是一端固定、一端铰支梁的弯曲振动频率方程。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例2 设设在在悬悬臂臂梁梁的的自自由由端端附附加加一一集集中中质质量量M，如如图图所所示示。试求其频率方程。试求其频率方程。解解：取取固固支支端端作作为为坐坐标标系系Oxy的的原原点。假设附加质量可以视为质点。点。假设附加质量可以视为质点。在在梁梁的的x=L截截面面处处弯弯矩矩为为零零，剪剪力力等等于于质质量量M的的惯惯性性力力。在在L端端的的剪剪
30、力力向向下下为为正正，根根据据作作用用力力与与反反作作用用力力定定律律，作作用用在在集集中中质质量量M上上的的剪剪力力向向上上为为正正；截截面面位位移移 y(x,t)向向上上为为正正，根根据据牛牛顿顿定定律律，集集中中质质量量M的运动微分方程为的运动微分方程为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University梁附加质量端的边界条件用振型函数表示为梁附加质量端的边界条件用振型函数表示为梁附加质量端的边界条件为梁附加质量端的边界条件为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yans
31、han University 再考虑到再考虑到将其代入频率方程，可得将其代入频率方程，可得由边界条件，可求得频率方程为由边界条件，可求得频率方程为令令M/AL=，的物理意义为附加质量与梁质量之比。的物理意义为附加质量与梁质量之比。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例3 如如图图示示，一一长长度度为为L的的简简支支梁梁，受受强强度度为为w的的均均布布载载荷而产生挠曲。如果载荷移去，求梁的响应。荷而产生挠曲。如果载荷移去，求梁的响应。解解：图图示示简简支支梁梁横横向向振振动动的固有频率与振型函数为的固有频率与
32、振型函数为简支梁横向自由振动的解表示为简支梁横向自由振动的解表示为式中式中Ar和和Br由初始条件确定。由初始条件确定。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University由此得由此得设设在在t=0时时，初初始始挠挠度度和和初初始始速度为速度为t=0燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University根据本题题意，当根据本题题意，当t=0时，初始位移为时，初始位移为初始速度为初始速度为由此初始条件得由此初始条件得燕山大学机械工程学院School of Mec
33、hanical Engineering,Yanshan University梁横向振动的响应为梁横向振动的响应为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University假假设设：梁梁各各截截面面的的中中心心轴轴在在同同一一平平面面内内，且且在在此此平平面面内内作作弯弯曲曲振振动动，在在振振动动过过程程中中仍仍保保持持为为平平面面；不不计计转转动动惯惯量量和和剪剪切切变变形形的的影影响；不考虑截面绕中心轴的转动。响；不考虑截面绕中心轴的转动。微元受力如图所示。微元受力如图所示。考虑轴力影响时梁的弯曲振动考虑轴力影响时梁的弯曲振动
34、如如图图，梁梁承承受受平平行行于于轴轴线线的的轴轴向向力力N的的作作用用；假假定定轴轴向向力力N是是常量，大小与方向均不随时间和位置发生变化。常量，大小与方向均不随时间和位置发生变化。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University微微 段段 dx受受 力力：用用Q(x,t)表表 示示 剪剪 切切 力力，M(x,t)表示弯矩。表示弯矩。由由图图看看出出，轴轴力力对对梁梁的的横横向向平平衡衡无无影影响响。在在铅铅直直y方方向向的的运运动动方方程程仍仍然为然为上式简化为上式简化为燕山大学机械工程学院School of Mec
35、hanical Engineering,Yanshan University略去略去dx的二次项，上式简化为的二次项，上式简化为运动微分方程运动微分方程忽忽略略截截面面转转动动的的影影响响，微段转动方程为微段转动方程为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式梁横向振动的偏微分方程梁横向振动的偏微分方程该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。求解该方程，需要四个边界
36、条件和两个初始条件。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University若若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程，即为梁自由振动的偏微分方程上上述述方方程程的的解解对对空空间间和时间是分离的，令和时间是分离的，令燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University同同前前面面讨讨论论的的波波动动方方程程一一样样，可得关于时间可得关于时间t的微分方程为的微分方程为上述方程的通解为简谐函数上述方程的通解为简谐函数式中式中A和和B为积分常数，由两个初始条
37、件确定。为积分常数，由两个初始条件确定。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University若若(x)=常常数数，横横截截面面积积A(x)=A=常常数数，横横截截面面对对中中心心主轴的惯性矩主轴的惯性矩J(x)=J=常数，振型方程简化为常数，振型方程简化为该方程是一个四阶常系数线性常微分方程。设其解为该方程是一个四阶常系数线性常微分方程。设其解为代入振型微分方程，得特征方程代入振型微分方程，得特征方程关于空间变量关于空间变量x的微分方程为的微分方程为式中式中燕山大学机械工程学院School of Mechanical Eng
38、ineering,Yanshan University四个特征根为四个特征根为振型方程为振型方程为这这就就是是梁梁横横向向振振动动的的振振型型函函数数，其其中中C1，C2，C3，C4为为积积分分常常数数，可可以以用用四四个个边边界界条条件件来来确确定定其其中中三三个个积积分分常常数数及及导导出出特特征征方方程程，从从而而确确定定梁梁弯弯曲曲振振动动的的固固有有频频率率 和振型函数和振型函数Y(x)。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University 在在上上述述梁梁的的弯弯曲曲振振动动中中，假假设设了了梁梁的的横横截截面面
39、尺尺寸寸相相对对于于其其长长度度是是比比较较小小的的，即即纵纵横横比比很很大大，从从而而忽忽略略了了梁梁的剪切变形和横截面转动的影响。的剪切变形和横截面转动的影响。对对于于纵纵横横比比较较小小（高高跨跨比比较较大大）的的梁梁，应应考考虑虑剪剪切切变变形形和和横横截截面面转转动动的的影影响响，它它们们对对高高阶阶固固有有频频率率和和振振型有较大影响。型有较大影响。当当考考虑虑剪剪切切变变形形和和横横截截面面转转动动的的影影响响时时，这这种种梁梁称称为铁摩辛柯（为铁摩辛柯（Timoshenko）梁。）梁。对对于于铁铁摩摩辛辛柯柯梁梁横横向向振振动动固固有有频频率率、振振型型函函数数的的求求解方法，参考有关专著。解方法，参考有关专著。考虑剪力和转动惯量影响时梁的弯曲振动考虑剪力和转动惯量影响时梁的弯曲振动