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1、1二次转动 首先绕首先绕首先绕首先绕X X轴转轴转轴转轴转 角，然后绕新的角，然后绕新的角，然后绕新的角，然后绕新的Y Y轴轴轴轴 角，则角，则角，则角，则 物体的方位为：物体的方位为：物体的方位为：物体的方位为：如果两次转动是绕固定系的轴线，则物体的方如果两次转动是绕固定系的轴线，则物体的方如果两次转动是绕固定系的轴线，则物体的方如果两次转动是绕固定系的轴线，则物体的方 位为位为位为位为表示姿态角，并不表示运动角，即非描述运动过程表示姿态角，并不表示运动角，即非描述运动过程表示姿态角，并不表示运动角，即非描述运动过程表示姿态角，并不表示运动角，即非描述运动过程2前面讨论了旋转矩阵的三种特殊情
2、况，即绕前面讨论了旋转矩阵的三种特殊情况，即绕x,y和和z轴的旋轴的旋转矩阵，现在讨论绕过原点的任意轴转矩阵，现在讨论绕过原点的任意轴K旋转旋转角的变换矩角的变换矩阵。阵。表示坐标系表示坐标系B相对参考系相对参考系A方位方位3.9 旋转变换通式 34 4设想 K 为坐标系A的上过原点的任意单位矢量 3.9 旋转变换通式 定义两个辅助坐标系A和B，z 轴与K轴重合56化简整理后得到：化简整理后得到：7 7Equivalent rotation angle and axis 若已知旋转变换：二、等效转轴和等效转角8 8Equivalent rotation angle and axis 二、等效转
3、轴和等效转角9三、齐次变换通式设想 K 为坐标系A 上过P的任意单位矢量 101112第第4 4章章 操作臂运动学操作臂运动学机器人操作壁看成一个开式运动链，由一系列连机器人操作壁看成一个开式运动链，由一系列连杆通过转动和移动关节串联而成，关节由驱动杆通过转动和移动关节串联而成，关节由驱动器驱动，带动连杆的运动，使手爪到达所需的器驱动，带动连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。在轨迹规划时，人们感兴趣的是位姿。在轨迹规划时，人们感兴趣的是操作壁操作壁末端执行器相对固定坐标系的空间描述末端执行器相对固定坐标系的空间描述。为了描述各连杆之间的位移关系，在每个连杆上为了描述各连杆之间的位移关系，在每个连
4、杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系，这里我们用关系，这里我们用4X4齐次变换矩阵齐次变换矩阵描述，从而描述，从而推导出手爪坐标系相对于参考系的等价齐次变推导出手爪坐标系相对于参考系的等价齐次变换矩阵。换矩阵。136个转动关节，6个活动构件 14n一、连杆的描述参数为了运动学建模的目的，一个连杆由两个数字来确定，这两个数字规定了空间这两个轴线的相对位置。连杆长度：连杆长度：连杆长度：连杆长度：扭转角：扭转角：扭转角：扭转角：15二、连杆连接的描述中间连杆连接的描述两条连杆之间的偏置两条连杆之间的关节角16 对于运动链两端，按习惯约定对于运动链
5、两端，按习惯约定对于运动链两端，按习惯约定对于运动链两端，按习惯约定首、末连杆的规定 d d1 1和和和和d d6 6以及以及以及以及 1 1和和和和 6 6的确定方法如下：的确定方法如下：的确定方法如下：的确定方法如下：若关若关若关若关节节节节1 1是是是是转动转动转动转动关关关关节节节节，则则则则 1 1是可是可是可是可变变变变的，的，的，的，称称称称为为为为关关关关节变节变节变节变量，量，量，量，规规规规定定定定 1 1 0 0为连为连为连为连杆杆杆杆1 1的零位。的零位。的零位。的零位。习惯约习惯约习惯约习惯约定定定定d d1 10 0 若关若关若关若关节节节节1 1是移是移是移是移动
6、动动动关关关关节节节节，则则则则d d1 1是可是可是可是可变变变变的，称的，称的，称的，称为为为为关关关关节变节变节变节变量，量，量，量，规规规规定定定定d d1 1=0=0为连为连为连为连杆杆杆杆1 1的零位。的零位。的零位。的零位。习惯约习惯约习惯约习惯约定定定定 1 10 0。上面的约定对于关节上面的约定对于关节上面的约定对于关节上面的约定对于关节n n同样适用。同样适用。同样适用。同样适用。17连杆参数和关节变量每个连杆由四个参数（）来描述，描述连杆i-1本身的特征，描述连杆i-1与连杆i之间的联系。对于旋转关节i仅 是关节变量，其他三个参数固定不变；对于移动关节i，仅 是关节变量，
7、其他三个参数固定不变。这种描述机构运动的方法首先是Denavit和Hartenberg提出来的，称为D-H方法，四个参数也叫D-H参数。184.3 连杆坐标系Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)Z i Y i X i a i d i i 首端连杆和末端连杆的坐标系首端连杆和末端连杆的坐标系 可任意规定，但是我们总是选择可任意规定，但是我们总是选择Z轴沿关节轴轴沿关节轴1的方的方 向，但关节变量向，但关节变量1为零时，使为零时，使0和和1重合。首端连重合。首端连 杆和末端连杆的坐标系规定杆和末端连杆的坐标系规定 类似，选取类似，选取Xn使关节变量使关节变量n为零时，为零时，
8、Xn和和Xn-1尽量重尽量重 合或平行。宗旨：尽量使参数为零，简化运动学方程。合或平行。宗旨：尽量使参数为零，简化运动学方程。20i-1从从zi-1到到zi沿沿xi-1旋转的角度旋转的角度 ai-1 从从zi-1到到zi沿沿xi-1测量的距离测量的距离 di从从xi-1到到xi沿沿zi测量的距离测量的距离 i从从xi-1到到xi沿沿zi旋转的角度旋转的角度Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)Z i Y i X i a i d i i 用连杆坐标系规定连杆参数用连杆坐标系规定连杆参数21连杆坐标系建立的步骤连杆坐标系建立的步骤 找出并画出各个关节轴线。找出并画出各个关节轴线
9、。找出相邻两轴线找出相邻两轴线i和和i+1的公垂线的公垂线ai或两轴线的交点，或两轴线的交点，求交点令其为坐标系求交点令其为坐标系i的原点。的原点。规定规定Zi轴与关节轴与关节i轴重合轴重合 规定规定Xi轴和公垂线轴和公垂线ai轴重合，若轴重合，若Zi和和Zi+1相交，则规相交，则规 定定Xi是是Zi和和Zi+1张成平面的法线张成平面的法线 按右手法则决定按右手法则决定Yi 0系，当第一个关节变量为零时，系，当第一个关节变量为零时，0系和系和1系重系重 合，对于末端坐标系合，对于末端坐标系n，尽量使连杆参数为零。，尽量使连杆参数为零。224.4 连杆变换和运动学方程 连杆变换连杆变换可以看成是
10、坐标系可以看成是坐标系i相对于相对于i-1经以下四经以下四 个子变换得到的：个子变换得到的：Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)Z i Y i X i a i d i i 23Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)Z i Y i X i a i d i i 因为这些子变换都是相对于动坐标系描述的，按因为这些子变换都是相对于动坐标系描述的，按 照照“从左向右从左向右”的原则得到的原则得到连杆变换的推导24连杆变换矩阵连杆变换矩阵 只有一个是变量，即关节变量，只有一个是变量，即关节变量，这里统一写为这里统一写为qi。25手臂变换矩阵手臂变换矩阵:运动学方程
11、的建立上式即为运动学方程，表示末端连杆的位姿与关节上式即为运动学方程，表示末端连杆的位姿与关节变量之间的联系。变量之间的联系。Z0X0Y0Z1X2Y1Z2X1Y2d2a0a1Denavit-Hartenberg Link Parameter Table表的用途:1)描述机器人的变量和参数2)通过变量的数值描述机器人的状态i-1从zi-1到zi沿xi-1旋转的角度ai-1从zi-1到zi沿xi-1测量的距离di从xi-1到xi沿zi测量的距离i从xi-1到xi沿zi旋转的角度Z0X0Y0Z1X2Y1Z2X1Y2d2a0a1This is a translation by a0 followed by a rotation around the Z1 axisThis is a translation by a1 and then d2 followed by a rotation around the X1 and Z2 axisZ0X0Y0Z1X2Y1Z2X1Y2d2a0a1