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1、1规范答题示例规范答题示例 6 6 空间角的计算问题空间角的计算问题典例 6 (12 分)如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DCEB，DCEB1，AB4.(1)求证：DE平面ACD；(2)若ACBC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值审题路线图 (1)(2)CA，CB，CD两两垂直建立空间直角坐标系写各点坐标求平面AED与平面ABE的法向量将所求二面角转化为两个向量的夹角规 范 解 答分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)证明 DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC，又AB是O的直径，C是O上异于A，B的点，ACBC，又ACDC
2、C，AC，DC平面ACD，BC平面ACD.又DCEB，DCEB，四边形BCDE是平行四边形，DEBC，DE平面ACD.4 分(2)解 在 RtACB中，AB4，ACBC，ACBC2，2如图，以C为原点，CA，CB，CD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出点坐标2则A(2，0,0)，D(0,0,1)，B(0,2，0)，E(0，2，1)，222(2，0,1)，(0,2，0)，(2，2，0)，AD2DE2AB22(0,0,1).6 分BE设平面ADE的一个法向量为n n1(x1，y1，z1)，则
3、Error!令x11，得n n1(1,0,2)，2设平面ABE的一个法向量为n n2(x2，y2，z2)，则Error! 令x21，得n n2(1,1,0).10 分cosn n1，n n2.n n1 1n n2 2 | |n n1 1| | |n n2 2| |13 226平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.12 分26第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算向量的夹角第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.评分细则 (1)第(1)问中证明DCBC和ACBC各给 1 分，证明DEBC给 1 分，证明BC平面ACD时缺少ACDCC，AC，
4、DC平面ACD，不扣分(2)第(2)问中建系给 1 分，两个法向量求出 1 个给 2 分，没有最后结论扣 1 分，法向量取其他形式同样给分跟踪演练 6 (2018全国)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值3(1)证明 由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解 如图，作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系HFBFHxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.3又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH，EH .323 2则H(0,0,0)，P，D，(0，0，32)(1，3 2，0)，.DP(1，3 2，32)HP(0，0，32)又为平面ABFD的法向量，HP设DP与平面ABFD所成的角为，则 sin .|HPDP|HP|DP|3 4334所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为.341