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1、1模块综合测评模块综合测评(满分：150 分 时间：120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知aR R，则“a2”是“a22a”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B B a22aa(a2)00a2.“a2”是“a22a”的必要不充分条件2已知命题p：x0，总有(x1)ex1，则p为( )Ax00，使得(x01)e1x0Bx00，使得(x01)e1x0Cx0，总有(x1)e1x0Dx0，总有(x1)e1x0B B 命题p为全称命题，所以p为x00，使得(x01)e1.
2、故选 Bx03若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1 的离心率为( )x2 a2y2 b232x2 a2y2 b2A B C D5 4523 254B B 由题意，1 ， ，而双曲线的离心率b2 a2(32)23 4b2 a21 4e211 ，e.b2 a21 45 4524已知空间向量a a(t,1，t)，b b(t2，t,1)，则|a ab b|的最小值为( )A B C2D423C C |a ab b|2，故选 C2(t1)245椭圆1 与椭圆1 有( )x2 25y2 9x2 a2y2 9A相同短轴B相同长轴C相同离心率D以上都不对2D D 对于1，有a29 或a2b0)的左顶点A的
3、斜率为k的直线交椭圆C 于另一点x2 a2y2 b2B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为 ，则k的值为( )2 3A B C D1 31 31 31 2C C 由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为，则斜率(c， b2 a)k(1e) ，故选 Cb2 a cab2 aca2a2c2 aca21e2 e11 311若F1，F2为双曲线C：y21 的左、右焦点，点P在双曲线C上，x2 4F1PF260，则点P到x轴的距离为( )A B C D551552 1551520B B 设|PF1|r1，|PF2|r2，点P到x轴的距离为|yP|，则SF1PF2r1r2sin 601
4、2r1r2，又 4c2rr2r1r2cos 60(r1r2)22r1r2r1r24a2r1r2，得342 12 2r1r24c24a24b24，所以SF1PF2r1r2sin 60 2c|yP|yP|，得1 231 25|yP|，故选 B15512抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是( ) 2 3|MN| |AB|【导学号：46342199】A B C D3323334C C 如图设|AF|r1，|BF|r2，则|MN|.在AFB中，r1r2 2因为|AF|r1，|BF|r2且AFB，所以由余弦
5、定理，得|AB|2 3，所以r2 1r2 22r1r2cos 23r2 1r2 2r1r2|MN| |AB|4 ，当且r1r22r2 1r2 2r1r21 2(r1r2)2 r2 1r2 2r1r21 21r1r2 r2 1r2 2r1r21 21r1r2 3r1r233仅当r1r2时取等号故选 C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，如果(2，1，4)，AB(4,2,0)，(1,2，1)对于下列结论：APAB；APAD；是平面ADAPAPABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)APBD 22
6、40，即APAB，正确；ABAPABAP440，即APAD，正确；由可得是平面ABCD的法向APADAPADAP量，正确；由可得，错误APBD14已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲x2 a2y2 b2线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_1 由已知得 2，所以b2a.在y2x10 中令y0 得x5，故x2 5y2 20b ac5，从而a2b25a2c225，所以a25，b220，所以双曲线的方程为1.x2 5y2 2015在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且椭x2 a2y2 b22 3圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为
7、3，则椭圆C的方程为_y21 由e ，得c2a2，所以b2a2c2a2x2 3c a2 32 31 3设P(x，y)是椭圆C上任意一点，则1，所以x2a2(1)a23y2.|PQ|x2 a2y2 b2y2 b2，x2(y2)2a23y2(y2)22(y1)2a26当y1 时，|PQ|有最大值.由3，可得a23，a26a26所以b21，故椭圆C的方程为y21.x2 316四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值为_. 【导学号：46342200】如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z3 1717
8、5轴建立空间直角坐标系，由已知P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，则重心G，因此(0,0,1)，所以 sin |cos， |(2 3，2 3，0)DPGP(2 3，2 3，1)DPGP.|DPGP|DP|GP|3 1717三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设集合Ax|x23x20，Bx|ax1 “xB”是“xA”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合解 Ax|x23x201,2，由于“xB”是“xA”的充分不必要条件，BA当B时，得a0；当B时，由题意得B1或B2则当B1
9、时，得a1；当B2时，得a .1 2综上所述，实数a组成的集合是.0，1，1 218(本小题满分 12 分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)210(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0.MF1MF2解 (1)由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为2x2y2，又双曲线过点(4，)，代入解得6，故双曲线的方程为x2y26.10(2)证明：由双曲线的方程为x2y26，可得ab，c2，所以F1(2，0)，633F2(2，0)由点M(3，m)，得(23，m)，(23，m)，又点3MF13MF23M(3，m)在双曲线
10、上，所以 9m26，解得m23，所以m230.MF1MF219. (本小题满分 12 分)如图 1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)图 1(1)求证：CD平面ADD1A1；6(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为 ，求k的值. 6 7【导学号：46342201】解 (1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图(1)(1)ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD又BEAD，CD
11、ADAA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)以D为原点， ， ，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角DADCDD1坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，(2)(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)ACAB1AA1设平面AB1C的法向量n n(x，y，z)，则由Error!得Error!取y2，得n n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C所成的角为，则sin |cos，n n| ，解得k1，故所求k的值为AA1|AA1n n|AA1|n n|6k36k
12、2136 71.20. (本小题满分 12 分)如图 2，过抛物线y22px(p0)的焦点F作一条倾斜角为7的直线与抛物线相交于A，B两点 4图 2(1)用p表示|AB|；(2)若3，求这个抛物线的方程OAOB解 (1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程为yx .(p 2，0) 4p 2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!得x23px0，p2 4x1x23p，x1x2，p2 4|AB|x1x2p4p.(2)由(1)知，x1x2，x1x23p，p2 4y1y2x1x2 (x1x2)(x1p 2)(x2p 2)p 2p2，x1x2y1y2p23，解得p2 4p2 43p2
13、 2p2 4OAOBp2 43p2 4p24，p2.这个抛物线的方程为y24x.21(本小题满分 12 分)如图 3 所示，四棱锥PABCD的底面是边长为 1 的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED2图 3(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由8解 (1)证明：PAAD1，PD，2PA2AD2PD2，即PAAD又PACD，ADCDD，PA平面ABCD(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1
14、,0)，P(0,0,1)，E，(1,1,0)，.设平面AEC的法向量为n n(x，y，z)，(0，2 3，1 3)ACAE(0，2 3，1 3)则Error!即Error!令y1，则n n(1,1，2)假设侧棱PC上存在一点F，且(01)，CFCP使得BF平面AEC，则n n0.BF又(0,1,0)(，)(，1，)，BFBCCFn n120， ，BF1 2存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点22. (本小题满分 12 分)如图 4，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，x2 a2y2 b2过点A
15、作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C图 49(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(4 3，1 3)2(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值. 【导学号：46342202】解 (1)BF2，而BFOB2OFb2c22a2，22 22 2点C在椭圆上，C，(4 3，1 3)1，16 9a21 9b2b21，椭圆的方程为y21.x2 2(2)直线BF2的方程为 1，与椭圆方程1 联立方程组，x cy bx2 a2y2 b2解得A点坐标为，(2a2c a2c2，b3 a2c2)则C点的坐标为，(2a2c a2c2，b3 a2c2)又F1为(c,0)，k，F1Cb3 a2c2 2a2c a2c2cb3 3a2cc3又kAB ，由F1CAB，得1，b cb3 3a2cc3(b c)即 b43a2c2c4，所以(a2c2)23a2c2c4，化简得 e .ca55