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1、.-概率论与数理统计概率论与数理统计 期末试题期末试题一、填空题每题 3 分，共 15 分1 设事件A,B仅发生一个的概率为 0.3，且P(A)P(B)0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为_.答案：0.9解：即所以P(A B)P(AB)1 P(AB)0.9.2 设随机变量X服从泊松分布，且P(X 1)4P(X 2)，则P(X 3)_.答案：解答：由P(X 1)4P(X 2)知e2e 22e2即21 0解得1，故3 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X在区间(0,4)的概率密度为fY(y)_.答案：解答：设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX
2、(x)则因为X U(0,2)，所以FX(y)0，即FY(y)FX(y)故2另解在(0,2)上函数y x严格单调，反函数为h(y)y所以24 设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布，P(X 1)e，则_，Pmin(X,Y)1=_.-4答案：2，Pmin(X,Y)11e解答：P(X 1)1 P(X 1)e e2，故 21e4.5 设总体X的概率密度为(1)x,0 x 1,f(x)1.其它0,X1,X2,Xn是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_.答案：解答：似然函数为解似然方程得的极大似然估计为.优选-.-11nln xini11.二、单项选择题每题 3 分，共 15 分1设A
3、,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的选项是A假设P(C)1，则AC与BC也独立.B假设P(C)1，则AC与B也独立.C假设P(C)0，则AC与B也独立.D假设C B，则A与C也独立.答案：D.解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立，所以A，B，C都是正确的，只能选D.事实上由图可见 A 与 C 不独立.SX的分布函数为(x)，则P(|X|2)的值为2设随机变量X N(0,1),ABCA21(2).B2(2)1.C2(2).D12(2).答案：A解答：X N(0,1)所以P(|X|2)1 P(|X|2)1 P(2 X 2)1(2)(2)12(2)1
4、21(2)应选A.3设随机变量X和Y不相关，则以下结论中正确的选项是AX与Y独立.BD(X Y)DX DY.CD(X Y)DX DY.DD(XY)DXDY.优选-.-答案：B 0解答：由不相关的等价条件知，xy 0 cov（x，y）应选B.4设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为假设X,Y独立，则,的值为2112,.A,.99991151C,D,.661818A答案：A解答：假设X,Y独立则有X 2,2Y 2)3P(X 2)P(Y 2)YP(1*1211111，699183911233故应选A.1X1的数学期望为15设总体,X1,X2,Xn为来自X的样本，则以下结论中2918正确的选项是AX1
5、是的无偏估计量.BX1是的极大似然估计量.答案：A解答：CX1是的相合一致估计量.DX1不是的估计量.EX1，所以X1是的无偏估计，应选A.三、7 分 一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求1一个产品经检查后被认为是合格品的概率；2一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A任取一产品，经检验认为是合格品B 任取一产品确是合格品则1P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(AB)0.90.95 0.9977.2P(B|A)P(A)0.857四、12 分从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交
6、通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为.优选-.-X即P02712515412523612538125X的分布函数为2318.DX 35525五、10 分设二维随机变量(X,Y)在区域D(x,y)|x 0,y 0,x y 1上服从均匀分布.求1(X,Y)关于X的边缘概率密度；2Z X Y的分布函数与概率密度.y解：1(X,Y)的概率密度为2利用公式fZ(z)1f(x,z x)dx*+y=1D0f1(x,zx)其中Dz12,0 x1,0 zx1x2,0 x1,xz1.其它0,*0
7、,其它.*+y=z当z 0或z 1时fZ(z)0z0 z 1时fZ(z)2dx2x02z0z=*zz故Z的概率密度为Z的分布函数为或利用分布函数法*六、10 分向一目标射击，目标中心为坐标原点，命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N(0,2)分布.求1命中环形区域D(x,y)|1 x y 2的概率；2命中点到目标中心距离Z 222X2Y2的数学期望.y解：1PX,Y)Dr28r282f(x,y)dxdyD e12rd()e801222 ee；1*218122EZ E(X Y)1x2 y2e8r28x2y28dxdy rer2800er28dr 221e22dr 2.2七、11 分设*机器生产的零件长度单位：cmX N(,)，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值x 10，样本方差s 0.16.1求的置信度为 0.95 的置信区2间；2检验假设H0:0.1显著性水平为 0.05.附注t0.05(16)1.746,t0.05(15)1.753,t0.025(15)2.132,.优选-.-解：1的置信度为1下的置信区间为所以的置信度为 0.95 的置信区间为9.7868，10.21322H2220:0.1的拒绝域为(n1).215S220.1151.6 24，0.05(15)24.996因为2 24 24.996 20.05(15)，所以承受H0.优选-