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1、第四章第四章 弹性杆横截面上的切应力分析弹性杆横截面上的切应力分析4-34-3 梁横力弯曲时横截面上的切应力梁横力弯曲时横截面上的切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有切应力。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1 1矩形截面梁矩形截面梁对于图 4-15 所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力 FQ。现分析距中性轴 z 为 y 的横线aa1上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa1两
2、端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力 FQ的方向一致。由于对称的关系，横线aa1中点处的剪应力也必与 FQ的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想aa1线上各点切应力的方向皆平行于剪力 FQ。又因截面高度 h 大于宽度 b，切应力的数值沿横线aa1不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力 FQ。2）切应力沿截面宽度均匀分布。图 4-15图 4-16基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a 的横弯梁中截出 dx微段，其左右截面上的内力如图4-16b 所示。梁的横截面尺寸如图 4-16c 所
3、示，现欲求距中性轴 z 为 y 的横线aa1处的切应力。过aa1用平行于中性层的纵截面aa1cc1自 dx 微段中截出一微块（图 4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力块左右侧面上正应力的合力分别为N1和N2，其中。微N1IdA A*My1M*dA Sz（4-29）*IzIzAN2IIdA A*(M dM)y1(M dM)*dA Sz(4-30)*IIzzAII)为面积A*中距中性 轴为y1处的正应 力，式中，A*为微块的 侧面 面积，I(*SzAy dA。1*由微块沿 x 方向的平衡条件x 0，得 N1 N2bdx 0（4-31）将式（4-29）和式（4-30）
4、代入式（4-31），得dM*Szbdx 0Iz*dM Sz故 dx bIz因dM FQ,，故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力为dx*FQSzbIz（4-32）式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中，FQ为截面上的剪力；Iz为整个截面对中性轴 z 的惯性矩；b 为横截面在所求应力点处的宽度；Sy为面积A*对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图 4-17），可取dA bdy1，于是S y1dA A*zh2yb h2by1dy1(y2)24这样，式（4-32）可写成FQh2(y2)2Iz4上式表明，沿截面高度剪应力按抛物线规律变化（图4-17）。在截面上、下边缘处，y=切应力值最大
5、，其值为h,=0；在中性轴上，y=0，2图 4-17max3FQ（4-33）2 A式中 A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的3倍。22 2圆形截面梁圆形截面梁在圆形截面上（图 4-18），任一平行于中性轴的横线 aa1两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于 y 轴上的 c 点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力 FQ，设为均匀分布，其值为最大。由式（4-32）求得式中A max4 Q（4-34）3 A图 4-18即圆截面的最大切应力为其平均切应力的4倍。d2，343 3工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图4-19 所示。最大剪应力在中性轴上，其值为maxFQ(Sz)maxdIZ式中（Sz）max为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢表中查得。Iz*(Sz)max计算结果表明，腹板承担的剪力约为（）FQ，因此也可用下式计算max的近似值maxFQh1d式中 h1为腹板的高度，d 为腹板的宽度。图 4-19