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1、启东市吕四中学 20222023 学年度第二学期开学检测 高三数学试卷 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的）1.若集合Ax yx=，220Bx xx=，则AB=（）A.01xx B.01xx C.02xx D.02xx 2.若复数z满足(1 i)2iz=，则|z=（）A.1 B.2 C.3 D.2 3.将函数()sin 26f xx=的图象向左平移6个单位长度后得到函数()g x的图象，则()g x的 解析式为（）A.()sin2g xx=B.()sin 23g xx=C.()sin 26g xx=+D.()cos2g
2、xx=4.由 3 个 2，1 个 0，2 个 3 组成的六位数中，满足有相邻 4 位恰好是 2023 的六位数个数为（）A.3 B.6 C.9 D.24 5.若正四面体的表面积为8 3，则其外接球的体积为（）A.4 3 B.12 C.8 6 D.32 3 6.已知非零向量,AB AC满足|AB BCAC CBABAC=，且12|ABACABAC=，则ABC为（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7.已知等差数列 na的公差为d，随机变量X满足()()01,iiP Xiaa=1,2,3i=，4，则d的 取值范围是（）A.1 1,2 2 B.1 1,2 6 C.1
3、 1,6 2 D.1 1,6 6 8.已知函数()elnxf xx=，关于x的方程22()2(1)()20f xaf xaa+=至少有三个互不相等的 实数解，则a的取值范围是（）A.1,)+B.(1,0)(1,)+C.(1,0)1,)+D.(,0)(1,)+二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）9.如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A.11ABC D B.1AB平面1ACD C.1AB与1CB所成角为 60 D.1AB与平面1ABC所成角的正弦值为33 1
4、0.已知函数()()sincosf xxax a=R的图象关于直线6x=对称，则（）A.()fx的最小正周期为2 B.()fx在,3 3 上单调递增 C.()fx的图象关于点,03对称 D.若()()120f xf x+=，且()fx在()12,x x上无零点，则12xx+的最小值为23 11.已知0a，0b，且21ab+=，则（）A.18ab B.11421ab+C.2sin21ab+D.2lne1ba 12.已知过抛物线2:4C yx=焦点F的直线l交C于A，B两点，交C的准线于点M，其中B点在线段AM上，O为坐标原点，设直线l的斜率为k，则（）A.当1k=时，8AB=B.当2 2k=时，
5、BMAB=C.存在k使得90AOB=D.存在k使得120AOB=三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，两空的题目只对一空得 2 分）13.已知236xy=，则11xy+的值为_.14.已知向量()sin,cosa=，()3,1b=，若ab，则2sinsin2+的值为_.15.“0，1 数列”是每一项均为 0 或 1 的数列，在通信技术中应用广泛.设A是一个“0，1 数列”，定义数列()fA：数列A中每个 0 都变为“1，0，1”，A中每个 1 都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A：1，0，则数列()fA：0，1，0，1，0，1.已知数列1A：1，0，1，0，1，记
6、数列()1kkAfA+=，1k=，2，3，则数列4A的所有项之和为_.16.在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，侧棱12AA=，M为侧棱1BB的中点，N在侧面矩形11ADD A内（异于点1D），则三棱锥1NMCD体积的最大值为_.四、解答题（本题共 4小题，共 46 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cossinaCcAb+=.（1）求A；（2）若2ADDC=，3BD=，求ABC面积的最大值.18.（12 分）定义:在数列 na中，若存在正整数k，使得*n N，都有n kn
7、aa+=，则称数列 na为“k型数列”.已知数列 na满足111nnaa+=+.（1）证明:数列 na为“3 型数列”；（2）若11a=，数列 nb的通项公式为21nbn=，求数列nna b的前 15 项和15S.19.（12 分）某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行生产.生产该款芯片有三道工序，这三道工序互不影响.已知批次甲的三道工序次品率分别为111,50 49 48.（1）求批次甲芯片的次品率；（2）该企业改进生产工艺后，生产了批次乙的芯片.某手机厂商获得批次甲与批次乙的芯片，并在某款手机上使用.现对使用这款手机的 100 名用户回访，对开机速度进行调查.据统计，安装批次甲的有 40
8、名，其中对开机速度满意的有 30 名；安装批次乙的有 60 名，其中对开机速度满意的有 55 名.试整理出2 2列联表（单位:名），并依据小概率值0.05=的独立性检验，分析芯片批次是否与用户对开机速度满意有关.批次 是否满意 合计 满意 不满意 甲 乙 合计 附:22()()()()()n adbcab cd ac bd=+0.05 0.01 0.005 0.001 ax 2.706 3.841 7.879 10.828 20.（12 分）如图，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，BCD是等边三角形，2BC=，7AD=.（1）求证：BCAD；（2）求平面ABD与平面BCD夹角的余弦值.启东
9、市吕四中学 20222023 学年度第二学期开学检测 高三数学试卷 一、单项选择题一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B A D D C 二、二、多项多项选择题选择题 9.BC 10.ACD 11.ACD 12.ABD 三、填空题三、填空题 13.1 14.32 15.67 16.12 四、解答题 17.解：（1）由正弦定理可得sincossinsinsinACACB+=，1 分 因为ABC+=，所以()sincossinsinsinACACAC+=+，即sincossinsinsincoscossinACACACAC+=+，2 分 整理得：sinsinco
10、ssinACAC=，因为0C，所以sin0C，所以1anA=，因为0A，所以4A=.4 分（2）在ABD中，由余弦定理得：2222cosBDABADAB ADA=+，5 分 即()229222ABADAB ADAB AD=+，6 分 整理得()9 222AB AD+，当且仅当ABAD=时，等号成立.所以()92112sin2444ABDSAB ADAB AD+=，8 分 因为2ADDC=，所以()2721328ABCABDSS+=，所以ABC面积的最大值为()27218+.10 分 18（1）因为3211nnaa+=+，且2111nnaa+=+，所以131111111111111111nnnn
11、nnnaaaaaaa+=+，所以数列 na为“3 型数列”（2）由（1）及11a=可得，147131aaaa=，2581412aaaa=，369152aaaa=，所以()()()()151413251436151122Sbbbbbbbbb=+()()()()1 255327552951285222222+=+=19.（1）批次甲芯片的次品率为 11149484731111150494850494850=（2）零假设为0H：芯片批次与用户对开机速度满意无关，得2 2列联表如下：批次 是否满意 合计 满意 不满意 甲 30 10 40 乙 55 5 60 合计 85 15 100 所以()()()
12、()()()22210030 555 105.22985 15 40 60n adbcabcdacbd=+，因为23.841，所以依据0.05=的独立性检验，我们推断0H不成立，所以认为芯片批次与用户对开机速度满意有关，此推断犯错误的概率不大于 0.05 20.解：（1）证明：取BC中点O，连接OA，OD，因为ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以OABC.1 分 因为BCD是等边三角形，所以ODBC.2 分 OAODO=，OA平面AOD，OD平面AOD，3 分 所以BC 平面AOD.4 分因为AD平面AOD，故BCAD.5 分（2）在AOD中，1AO=，3OD=，7AD=，由余弦定理可得
13、，3cos2AOD=，故150AOD=.6 分 如图，以OA，OB及过O点垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，7 分 可得330,22D，所以33,1,22BD=，()0,2,0CB=，()1,1,0AB=，设()111,nx y z=为平面ABD的一个法向量，则 11111033022xyxyz+=+=，令3x=，可得()3,3,5n=，9 分 设()222,mxyz=为平面BCD的一个法向量，则 22222033022yxyz=+=，令23x=，可得()3,0,3m=，11 分 所以30 153 93cos,313112n m+=，故平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为3 9331.12 分