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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-1-/15新高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第四节二次函数与幂函数教师用书理 2017考纲考题考情 考纲要求 真题举例 命题角度 解幂函数的概念；合函数yx，yx2，yx3，y1x，yx12的，了解它们的变化情况；解并掌握二次函数的定义、图象及性质。2016，全国卷，3,5分(幂函数的性质)2015，天津卷，8,5分(二次函数的图象)2015，福建卷，9,5分(二次方程的根)1.幂函数一般不单独命题，而常与指数函数、函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，考查幂函数的图象与性质；2.对二次函
2、数相关性质的考查是命题热点，大选择、填空题出现。微知识 小题练 自|主|排|查 1 幂函数(1)定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中底数x是自变量，是常数。(2)幂函数的图象比较：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-2-/15 2 二次函数(1)解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)。顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)。两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)。(2)图象与性质：解析式 f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，在(0，)上都是增函数，当 0时，在(0，)上都是减函数，而不能说在定义域
3、上是增函数或减函数。3 对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0 时，就要讨论a0 和a0 两种情况；二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关，不能盲目利用配方法得出结论。4 数形结合是讨论二次函数问题的基本方法。特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路。小|题|快|练 一、走进教材 1 (必修1P24A 组T6改编)若函数f(x)x2bxc，且f(0)0，f(3)0，则f(1)()A 1 B 2 C 1 D 4 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-4-
4、/15【解析】由f(0)0，f(3)0，得 c0，9 3bc0，解得 c0，b3，所以f(x)x23x，所以f(1)4。故选 D。【答案】D 2(必修 1P79习题 2.3T2改编)已知幂函数f(x)的图象过点(8,4)，该幂函数的解析式是()A yx B yx2 C yx1 D yx23【解析】设幂函数的解析式为yx，由于函数图象过点(8,4)，故有 4 8，解得 23，该函数的解析式是yx23。故选 D。【答案】D 3 (必修 1P44A 组 T9改编)已知函数f(x)x2(a1)xa在区间2,5上单调，则a的范围为_。【解析】f(x)的对称轴为x1 a2，若为增函数需1 a22，即a3，
5、若为减函数需1 a25，即a9，所以a的范围为(，9 3，)。【答案】(，9 3，)二、双基查验 1 函数yx13的图象是()【解析】显然f(x)f(x)，说明函数是奇函数，同时由当 0 xx；当x1欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-5-/15时，x13x，知只有 B 选项符合。【答案】B 2 已知某二次函数的图象与函数y2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1,3)，则此函数的解析式为()A y2(x1)23 B y2(x1)23 C y2(x1)23 D y2(x1)23【解析】设所求函数的解析式为ya(xh)2k(
6、a0)，由题意可知a2，h1，k3，故y2(x1)23。故选 D。【答案】D 3.如图所示，是二次函数yax2bxc的图象，则|OA|OB|等于()A.ca B ca C ca D 无法确定【解析】|OA|OB|x1|x2|x1x2|caca(a0)。故选B。【答案】B 4 已知函数yx22x3 在闭区间0，m 上有最大值 3，最小值 2，则m的取值范围为_。【解析】如图，由图象可知m的取值范围是1,2。【答案】1,2 5 已知幂函数yf(x)的图象过点2，22，则此函数的解析式为_；在区间_上递减。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！
7、-6-/15【答案】yx12(0，)微考点 大课堂 考点一 幂函数的图象与性质【典例 1】(1)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A 3 B 1 C 2 D 1 或 2(2)若a1223，b1523，c1213，则a，b，c的大小关系是()A abc B cab C bca D bac【解析】(1)由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1 或n3，经检验只有n1 适合题意。故选 B。(2)因为yx23在第一象限内是增函数，所以a1223b1523，因为y12x是减函数，所以a1223c1213，所以bac。故选
8、D。【答案】(1)B(2)D 反思归纳 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域。根据 0,0 1，1，1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。【变式训练】已知函数f(x)(m2m1)xm2m3 是幂函数，且x(0，)时，f(x)是增函数，则m的值为()A 1 B 2 C 1 或 2 D 3【解析】因为f(x)是幂函数，所以m2m11，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-7-/15解得m1 或
9、m2，当m1 时，m2m3 3，当m2 时，m2m3 3，f(x)x3或f(x)x3，而易知f(x)x3在(0，)上为增函数，f(x)x31x3在(0，)上为减函数，所以m的值为 2。故选 B。【答案】B 考点二 二次函数的解析式【典例 2】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式。【解析】解法一：(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)。由题意得 4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得 a4，b4，c7。所求二次函数为f(x)4x24x7。解法二：(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n。f(2)f(1)，抛物线的对称轴
10、为x2 212，m12。又根据题意，函数有最大值 8，n8，yf(x)ax1228。f(2)1，a2 1228 1，解得a4，f(x)4x1228 4x24x7。解法三：(利用两根式)：由已知f(x)1 0 两根为x12，x21，故可设f(x)1 a(x2)(x1)，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-8-/15即f(x)ax2ax2a1。又函数有最大值ymax8，即4a2aa24a8。解得a4 或a0(舍)。所求函数的解析式为f(x)4x24x7。【答案】f(x)4x24x7 反思归纳 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函
11、数解析式，一般用待定系数法，规律如下：【变式训练】(1)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)的解析式为_。(2)已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)。若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)f x，x0，f x，x0，x2，x4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确。对称轴为x1，即b2a1,2ab0，错误。结合图象，当x1 时，y0，即abc0，错误。由对称轴为x1 知，b2a。又函数图象开口向下，所以a0，所以 5a2a，即 5ab，正确。故选 B。【答案】B 角度
12、二：二次函数的最值【典例 4】已知函数yx2axa412在区间0,1上的最大值是 2，实数a的值为_。【解析】yxa2214(a2a2)，对称轴为xa2。令f(x)yx2axa412。当 0a21 即 0a2 时，ymax14(a2a2)，由14(a2a2)2，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-10-/15得a3 或a2，与 0a2 矛盾，舍去；当a20 即a0 时，y在0,1上单调递减，有ymaxf(0)，由f(0)2a4122 解得a6。当a21 即a2 时，y在0,1上单调递增，有ymaxf(1)，由f(1)2 得1aa412
13、2，解得a103。综上，得a6 或a103。【答案】6 或103 角度三：二次函数图象与性质的结合【典例 5】(1)已知函数f(x)x24ax2 在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()A a3 B a3 C a 3 D a3(2)(2016武汉调研)设函数f(x)mx2，|x|1，x，|x|1的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x)的值域是0，)，则函数g(x)的值域是()A(，1 1，)B(，1 0，)C 0，)D 1，)【解析】(1)函数f(x)x24ax2 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由已知函数在区间(，6)内单调递减可知区间(，6)应在直
14、线x2a的左侧，2a6，解得a3。故选 D。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-11-/15(2)因为函数f(x)mx2，|x|1，x，|x|1的图象过点(1,1)，所以m11，解得m0，所以f(x)x2，|x|1，x，|x|0)，且f(m)0 D f(m1)0，f(x)的大致图象如图所示。由f(m)0，得1m0，f(m1)f(0)0。故选 C。答案 C 4 已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值 2，则a的值为_。解析 f(x)(xa)2a2a1，x0,1，当a1 时，ymaxa；当 0a1 时，ymaxa2a1；当a0
15、 时，ymax1a。根据已知条件得，a1，a2，或 0a1，a2a12或 a0，1a2。解得a2 或a1。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-13-/15答案 2 或1 5 已知二次函数f(x)ax2bxc满足条件：f(3x)f(x)；f(1)0；对任意实数x，f(x)14a12恒成立，则其解析式为f(x)_。解析 依题意可设f(x)ax322k，由f(1)14ak0，得k14a，从而f(x)ax322a414a12恒成立，则a414a12，且a0，即14aa4120，即a22a14a0，且a0，a1。从而f(x)x32214x23x
16、2。答案 x23x2 微专题 巧突破 解决与二次函数相关的恒成立问题的方法 二次函数恒成立问题涉及的知识较广，是学习中的一个难点，下面我们把它的常用类型及破解方法归纳如下表：方法 解读 适合题型 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-14-/151 判别 式法(1)f(x)ax2bxc0 恒成立 a0，0。(2)f(x)ax2bxc0 恒成立 a0，0或 ab0，cA在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)minA，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxB，求出函数f
17、(x)的最大值即可。参数a不易分离【典例】(1)已知函数ylog2ax2ax1a。若函数的定义域为 R，则实数a的取值范围是_。(2)设函数f(x)ax22x2，对于满足 1x0，则实数a的取值范围是_。【解析】(1)(判别式法)a0，函数的定义域为 R，则ax2ax1a0 恒成立，a0，a24a1a0，解得 0a0 时，f(x)ax1a221a，由f(x)0，x(1,4)得 1a1，fa220或 11a0或 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！-15-/15 1a4，f16a8 20，解得 a1，a0或 14a12 或 a14，a38
18、，所以a1 或12a12；当a0，即ax22x20，x(1,4)，得a 2x22x在(1,4)上恒成立。令g(x)2x22x21x12212，因为1x14，1，所以g(x)maxg(2)12，所以要使f(x)0 在(1,4)上恒成立，只要a12即可，故实数a的取值范围是12，。【答案】(1)(0,2)(2)12，【变式训练】(2017营口模拟)已知f(x)x22(a2)x4，如果对x 3,1，f(x)0 恒成立，则实数a的取值范围为_。【解析】因为f(x)x22(a2)x4，对称轴x(a2)，对x 3,1，f(x)0 恒成立，所以讨论对称轴与区间 3,1的位置关系得：a3，f，或 3a，0，或 a，f，解得a或 1a4 或12a1，所以a的取值范围为12，4。【答案】12，4