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1、第1页（共19页）2021-2022 学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1下列抛物线经过原点的是（）Ayx22x By（x2）2 Cyx2+2 Dy（x+2）（x1）2在 RtABC 中，C90，已知 sinA，下列结论正确的是（）AsinB BcosB CtanB DcotB 3如图，已知 ADBECF，它们依次交直线 l1和 l2于点 A、B、C 和点 D、E、F，如果 AB：BC2：3，那么下列结论中错误的是（）A B C D 4如图，已知点 B、D、C、F 在同一条直线上，ABEF，ABEF，ACDE，如果 B
2、F6，DC3，那么 BD 的长等于（）A1 B C2 D3 5已知 与 是非零向量，且|3|，那么下列说法中正确的是（）A B C D3 6已知在ABC 中，C90，AC，BC2，如果DEF 与ABC 相似，且DEF 两条边的长分别为 4和 2，那么DEF 第三条边的长为（）A2 B C D 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，渶分 48 分）第2页（共19页）7已知，那么 8已知反比例函数 y，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着 x 的值增大而增大，那么 k 的取值范围是 9已知函数 f（x）x23x+1，如果 x3，那么 f（x）10已知抛物线的开口方向向下，对称
3、轴是直线 x0，那么这条抛物线的表达式可以是 （只要写出一个表达式）11已知 是单位向量，与 方向相反，且长度为 6，那么 .（用向量 表示）12已知二次函数 ya（x+1）2+c（a0）的图象上有两点 A（2，4）、B（m，4），那么 m 的值等于 13如图，在ABC 中，AD 平分BAC，如果B80，C40，那么ADC 的度数等于 14如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于点 O，如果 SAOB2a，SBOC4a，那么 SADC .（用含有字母 a 的代数式表示）15某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金分割点，给观众带来美感，如图，如果她踮起脚尖起
4、舞时，那么她的腰部以下高度 a 与身形 b 之间的比值等于 16如图，在ABC 中，A90，斜边 BC 的垂直平分线分别交 AB、BC 交于点 D、E，如果 cosB，AB7，那么 CD 的长等于 第3页（共19页）17如图，已知点 D、E 分别在线段 AB 和 AC 上，点 F 是 BE 与 CD 的交点，BC，如果 DF4EF，AB6，AC4，那么 AD 的长等于 18如图，在ABC 中，ABAC5，BC4，AD 是边 BC 上的高，将ABC 绕点 C 旋转，点 B 落在线段 AD 上的点 E 处，点 A 落在点 F 处，那么 cosFAD 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）1
5、9计算：20如图，已知 ABCD，AD、BC 相交于点 E，过 E 作 EFCD 交 BD 于点 F，AB：CD1：3（1）求的值；（2）设，那么 ，（用向量，表示）21在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y（k0）的图象与正比例函数 y2x 的图象相交于横坐标为 1 的点 A（1）求这个反比例函数的解析式；（2）如图，已知 B 是正比例函数图象在第一象限内的一点，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C，BC 与反比例函数图象交于点 D，如果 ABAC，求点 D 的坐标 第4页（共19页）22图（1）为钓鱼竿安置于湖边的示意图，钓鱼竿有两部分组成，一部分为支架，另一部分为钓竿，图（2）是
6、钓鱼竿装置的平面图，NFMB，NFMN，支架中的 MNAM20 厘米，AC50 厘米，CAB37，AB 可以伸缩，长度调节范围为 65cmAB180cm，钓竿 EF 放在支架的支点 B、C 上，并使钓竿的一个端点 F 恰好碰到水面（1）当 AB 的长度越 （填“长”或“短”）时，钓竿的端点 F 与点 N 之间的距离越远；（2）冬季的鱼喜欢远离岸边活动，为了提高钓鱼的成功率，可适当调节 AB 的长度，使钓竿的端点 F 与点 N 之间的距离最远，请直接写出你选择的 AB 的长度，并求出此时钓竿的端点 F 与点 N 之间的距离（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75）23（
7、已知：如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，BDDC，BDBCBEAC（1）求证：ABEDEB；（2）延长 BA、ED 交于点 F，求证：24 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+1 交于点 A（m，0），B（3，n），第5页（共19页）与 y 轴交于点 C，联结 AC（1）求 m、n 的值和抛物线的表达式；（2）点 D 在抛物线 yx2+bx+c 的对称轴上，当ACD90时，求点 D 的坐标；（3）将AOC 平移，平移后点 A 仍在抛物线上，记作点 P，此时点 C 恰好落在直线 AB 上，求点 P 的坐标 25如图，在ABC 中
8、，边 BC 上的高 AD2，tanB2，直线 l 平行于 BC，分别交线段 AB，AC，AD 于点 E、F、G，直线 l 与直线 BC 之间的距离为 m（1）当 EFCD3 时，求 m 的值；（2）将AEF 沿着 EF 翻折，点 A 落在两平行直线 l 与 BC 之间的点 P 处，延长 EP 交线段 CD 于点 Q 当点 P 恰好为ABC 的重心时，求此时 CQ 的长；联结 BP，在CBPBAD 的条件下，如果BPQ 与AEF 相似，试用 m 的代数式表示线段 CD 的长 第6页（共19页）参考答案 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1解：A、将 x0 代入，得 y
9、0，所以该抛物线经过原点，本选项符合题意；B、将 x0 代入，得 y4，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；C、将 x0 代入，得 y2，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；D、将 x0 代入，得 y2，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；故选：A 2解：sinAcos（90A），sinAcosB，sinA，cosB，故选：B 3解：ADBECF，AB：BC2：3，故选项 A、B、D 结论正确，不符合题意；连接 AF，交 BE 于 H，BEDF，ABHACF，选项 C 结论错误，符合题意；故选：C 4解：ABEF，BF，第7页（共19页）ACDE，ACBEDF，在ABC 和E
10、FD 中，ABCEFD（AAS），BCFD，BCDCFDDC，BDFC，BD（BFDC）（63）故选：B 5解：A、由 与 是非零向量，且|3|知，与 3 只是模相等，方向不一定相同，不一定成立，故不符合题意；B、由 与 是非零向量，且|3|知，与 3 只是模相等，方向不一定相反，即不一定成立，故不符合题意；C、由 与 是非零向量，且|3|知，与 3 只是模相等，不一定共线，故不符合题意；D、由 与 是非零向量，且|3|知，3，符合题意 故选：D 6解：在ABC 中，C90，AC，BC2，AB，DEF 与ABC 相似，DF2，则DEF 第三条边的长为 2，故选：C 二、填空题（本大题共 12
11、题，每题 4 分，渶分 48 分）第8页（共19页）7解：设k，则 x5k，y3k，故答案为：8解：函数 y的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，k+10，解得：k1，故答案为：k1 9解：f（3）3233+11，故答案为 1 10解：满足题意的抛物线解析式为：yx2+2 本题答案不唯一 故答案为：yx2+2答案不唯一 11解：是单位向量，与 方向相反，且长度为 6，6，故答案为：6 12解：二次函数 ya（x+1）2+c（a0），抛物线的对称轴为直线 x1，点 A（2，4）、B（m，4）都在抛物线上，点 A、B 关于直线 x1 对称，1，m4 故答案为：4 13
12、解：B80，C40，第9页（共19页）BAC180BC60，AD 平分BAC，BADBAC30，ADCB+BAD110 故答案为：110 14解：在梯形 ABCD 中，ADBC，SAOB2a，SBOC4a，SAOB：SBOC1：2，AO：OC1：2；ADBC，AODBOC，AD：BC1：2，SAOD：SBOC1：4，SAODa，SCOD2a，SADCSAOD+SDOC3a 故答案为：3a 15解：某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金分割点，故答案为：16解：在ABC 中，A90，cosB，AB7，BCABcosB78，斜边 BC 的垂直平分线分别交 AB、BC 交于点 D、E，B
13、EBC4，CDBDBEcosB4，故答案为：17解：DFBEFC，BC，DBFECF，第10页（共19页），BC，AA，ABEACD，AB6，AC4，设 CEx，则 BD4x，AEACCE4x，ADABBD64x，x1 AD2 故答案为：2 18解：如图，过点 F 作 FGAD 于点 G，将ABC 绕点 C 旋转，点 B 落在线段 AD 上的点 E 处，点 A 落在点 F 处，CEBC4，CFEFABAC5，ABAC，AD 是边 BC 上的高，BDCD2，cosECD，ECD60，DECEsinECD4sin602，ACFECD60，ACF 是等边三角形，AFEF5，在 RtACD 中，AD，
14、AEADDE2，AFEF，FGAD，AGEG，cosFAD，第11页（共19页）故答案为：三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19解：原式 20解：（1）ABCD，EABEDC，ABEDCE，ABEDCE，CE3BE，EFCD，BEFBCD，BB，BEFBCD，BCBE+CEBE+3BE4BE，；（2）由（1）知：EFCD，第12页（共19页）+，AB：CD1：3，ABCD，+故答案为：，21解：（1）把 x1 代入 y2x 得：y2，A 的坐标为（1，2），把 A 的坐标代入 y（k0）得：k122，即反比例函数的表达式为 y；（2）过 A 作 AEBC 于 E，BCx 轴，AEx
15、 轴，A（1，2），CE2，ACAB，AEBC，CEBE2，B 点的纵坐标为 4，把 y4 代入 y2x 得：42x，解得 x2，即 B 点的坐标为（2，4），D 点的横坐标为 2，把 x2 代入 y得，y1，D（2，1）第13页（共19页）22解：（1）观察图象可知，当 AB 的长度越长时，钓竿的端点 F 与点 N 之间的距离越远，故答案为：长；（2）如图（2）中，过点 C 作 CKAB 于点 K，过点 A 作 AHFN 于点 H，过点 B 作 BJFN 于点 J，则四边形MNHA，四边形 AHJB 都是矩形 MNAHBJ20 厘米，AMNH20 厘米，ABHJ180 厘米，在 RtACK
16、中，CKACsin3730（厘米），AKACcos3740（厘米），BKABAK18040140（厘米），BMFN，CBKF，tanCBKtanF，FJ93（厘米），FNNH+NJ+FJ20+180+93293（厘米），答：AB 的长度是 180 厘米，此时钓竿的端点 F 与点 N 之间的距离约为 293 厘米 23证明：（1）BDDC，DBCC，第14页（共19页）BDBCBEAC，ABCDEB，ABCDEB，即ABEDEB；（2）如图所示：ABCDEB，CABBDE，FADFDB，FF，FADFDB，ABEDEB，FBFE，又BDDC，24解：（1）将 A（m，0）代入 yx+1，解得 m
17、3，A（3，0），将 B（3，n）代入 yx+1，解得 n2，第15页（共19页）B（3，2），把 A（3，0），B（3，2）代入 yx2+bx+c 中，得，解得，抛物线的解析式为 yx2x2（2）如图 1，过点 D 作 DHy 轴于点 H，抛物线的解析式为 yx2x2 抛物线的对称轴为 x，DH，ACD90，ACO+DCH90，又DCH+CDH90，ACOCDH，tanACOtanCDH，由（1）可知 OA3，OC2，第16页（共19页），CH，D（，）；（3）如图 2，若平移后的三角形为PMN，则 MNOC2，PMOA3，设 P（t，t2），N（t3，t22），点 N 在直线 yx+1 上
18、，（t3）+1，t3或 t3，P（3，4）或 P（3，4+）25解：（1）如图 1，在ABC 中，边 BC 上的高 AD2，tanB2，tanB2，BD1，EFCD3，DGm，BCBD+CD4，AGADDG2m，EFBC，第17页（共19页），即，解得：m，m 的值为；（2）如图 2，将AEF 沿着 EF 翻折，点 A 落在ABC 的重心点 P 处，BDCD1，AP2PD，即 PDAD，APAD，AGGPAP，DPGP，EFBC，PGEPDQ90，AEGABD，即，EG，在PQD 和PEG 中，PQDPEG（ASA），DQEG，CQCDDQ1，此时 CQ 的长为；在 RtABD 中，AB，将A
19、EF 沿着 EF 翻折，点 A 落在两平行直线 l 与 BC 之间的点 P 处，PBQABD，EFBC，AEFABD，PBQAEF，CBPBAD，BADPBQAEF，GPAG2m，DGm，第18页（共19页）DPDGGPm（2m）2m2，m1，1m2，AEFABD，tanAEFtanABD2，2，EG，EFBC，PEGPQD，即，DQm1，BQBD+DQm，AEFPEGBQP，PBQAEF，BPQ 与AEF 相似，则BPQFAE 或BPQAFE，当BPQFAE 时，FAECAB，BPQCAB，即，BC，CDBCBD1；当BPQAFE 时，AFEACB，BPQACB，即，BC，CDBCBD1，综上，线段 CD 的长为或 第19页（共19页）