《2023届高考数学专项练习导数解密36专题g专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二)含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习导数解密36专题g专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二)含答案.docx（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高考数学专项练习导数解密36专题07构造函数法解决导数不等式问题(二)考点四构造F(x)f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)，F(x)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)f(x)axnb，则F(x)f(x)naxn1；(2)若F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)；(3)若F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(4)若F(x)，则F(x)由此得到结论：(1)出现f(x)naxn1形式，构造函数F(x)f(x)axnb；(2)出现f(x)g(x)形式，构造函数F(x)f(x)g(x)；(3)出现f(x)g(x)f(x)g(x)形
2、式，构造函数F(x)f(x)g(x)；(4)出现f(x)g(x)f(x)g(x)形式，构造函数F(x)【例题选讲】例1(1)函数f(x)的定义域为R，f(1)3，对任意xR，f(x)3x6的解集为()Ax|1x1Cx|x1DR答案C解析设g(x)f(x)(3x6)，则g(x)f(x)30的解集是x|x1，当x时，不等式f(2cos x)2sin2的解集为()ABCD答案D解析令g(x)f(x)，则g(x)f(x)0，g(x)在R上单调递增，且g(1)f(1)0，f(2cos x)2sin2f(2cos x)g(2cos x)，f(2cos x)2sin2，即g(2cos x)0，2cos x1
3、，又x，x(4)f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x若f(a2)f(a)44a，则实数a的取值范围是()A(，1B1，)C(，2D2，)答案A解析令G(x)f(x)x2，则G(x)f(x)2x当x0，)时，G(x)f(x)2x0，G(x)在0，)上是增函数由f(a2)f(a)44a，得f(a2)(a2)2f(a)a2，即G(a2)G(a)，又f(x)是定义在R上的偶函数，知G(x)是偶函数故|a2|a|，解得a1(5)已知f(x)是函数f(x)的导数，且f(x)f(x)，当x0时，f(x)3x，则不等式f(x)f(x1)3x，所以当x0时，g(x)f(x)3x0，即g(x)在0
4、，)上单调递增因为f(x)f(x)，所以g(x)f(x)x2f(x)x2g(x)，所以g(x)是偶函数因为f(x)f(x1)3x，所以f(x)x2f(x1)(x1)2，即g(x)g(x1)，所以g(|x|)g(|x1|)，则|x|x1|，解得x0时，f(x)f(x)xlnx0的解集为_答案(0，1)解析由于函数yf(x)为R上的奇函数，则f(0)0当x0时，f(x)f(x)xlnx0，则f(1)0时，构造函数g(x)f(x)lnx，则g(x)f(x)lnxf(x)0，所以函数yg(x)在区间(0，)上单调递减，且g(1)0当0x1时，lnxg(1)0，即f(x)lnx0，此时f(x)1时，ln
5、x0，g(x)g(1)0，即f(x)lnx0，此时f(x)0又f(1)0时，f(x)0由于函数yf(x)为R上的奇函数，当x0对于不等式(x1)f(x)0，当x0时，x10，则f(x)0，不符合题意；当0x1时，x10，则f(x)1时，x10，则f(x)0，不符合题意综上所述，不等式(x1)f(x)0的解集为(0，1)(7)(多选)定义在(0，)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x1)f(x)f(x)x22x对任意x(0，)恒成立下列结论正确的是()2A2f(2)3f(1)5B若f(1)2，x1，则f(x)x2xCf(3)2f(1)7D若f(1)2，0x1，则f(x)x2x解析CD答案设
6、函数g(x)，则g(x)因为(x1)f(x)f(x)x22x对任意x(0，)恒成立，所以g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递减，从而g(1)g(2)g(3)，整理得2f(2)3f(1)5，f(3)2f(1)7，故A错误，C正确当0x1时，若f(1)2，因为g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(1)，即，即f(x)x2x，故D正确，从而B不正确即结论正确的是CD(8)已知函数f(x)，对xR，都有f(x)f(x)x2，在(0，)上，f(x)0时，g(x)f (x)x0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析依题意，记g(x)xf(x)，则g(x)xf
7、(x)f(x)，g(0)0，当x0时，g(x)xf(x)0，g(x)是增函数，g(x)0；当x0时，g(x)xf(x)0在同一坐标系内画出函数yg(x)与y的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)xf(x)的零点个数是1(10)函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，当x0时，f(x)的极值状态是_答案没有极大值也没有极小值解析因为x2f(x)2xf(x)3，关键因为等式右边函数的原函数不容易找出，因此把等式左边函数的原函数找出来，设h(x)x2f(x)，则h(x)，且h(2)，因为x2f(x)2xf(x)，则f(x)，判断f(x)的极值状态就是判断f(x)的
8、正负，设g(x)ex2h(x)，则g(x)ex2h(x)ex2ex，这里涉及二阶导，g(x)在x2处取得最小值0，因此g(x) 0，则f(x)0，故f(x)没有极大值也没有极小值(有难度，但不失为好题目)【对点训练】1已知函数f(x)的定义域为R，f(1)2，且对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1，1)B(1，)C(，1)D(，)1答案B解析由f(x)2x4，得f(x)2x40设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增又F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1
9、)，所以x1，故选B2已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为 2答案x|x1解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x13已知定义域为R的函数f(x)的导数为f(x)，且满足f(x)x21的解集是()A(，1)B(1，)C(2，)D(，2)3答案D解析令g(x)f(x)x2，则g(x)f(x)2xx21可化为f(x)x21，而g(2)f(2)22341，所以不等式可化为g(x)g(2)，故不等式的解集为(，2)故选D
10、4定义在(0，)上的函数f(x)满足x2f(x)10，f(1)4，则不等式f(x)3的解集为_4解析(1，)答案由x2f(x)10得f(x)0，构造函数g(x)f(x)3，则g(x)f(x)0，即g(x)在(0，)上是增函数又f(1)4，则g(1)f(1)130，从而g(x)0的解集为(1，)，即f(x)3的解集为(1，)5设f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)cosx0，则不等式f(x)sinx的解集为 5答案(0，)解析令(x)f(x)sinx，当x0时，(x)f(x)cosx0，(x)在0，)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，(x)为R上的奇函数，(x)在(，0上单调递减，故(
11、x)在R4上单调递减且(0)0，不等式f(x)sinx可化为f(x)sinx0，即(x)0，即(x)0，原不等式的解集为(0，)6设f(x)和g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)，g(x)分别为其导数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3，0)(3，)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，)D(，3)(0，3)6答案D解析令h(x)f(x)g(x)，当x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，则h(x)在(，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以
12、h(x)在(0，)上单调递增又由g(3)0，可得h(3)h(3)0，所以当x3或0x3时，h(x)0，故选D7设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axb时，有()Af(x)g(x)f(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)7解析C答案令F(x)，则F(x)0，所以F(x)在R上单调递减又axb，所以又f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)8设函数f(x)在R上存在导数f(x)，对任意xR，都有f(x)f(x)x2，在(0，)上f(x)x，
13、若f(2m)f(m)m22m20，则实数m的取值范围为_8答案1，)解析令g(x)f(x)，则g(x)g(x)0，g(x)是R上的奇函数又当x(0，)时，g(x)f(x)x0，所以g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)是R上的单调减函数原不等式等价于g(2m)g(m)0，g(2m)g(m)g(m)，所以2mm，m19已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f(x)满足x1，则下列结论正确的是()A对于任意xR，f(x)0C当且仅当x(，1)，f(x)09答案B解析x1，f(x)是定义在R上的减函数，f(x)f(x)，f(x)(x1)f(x)0，(x1)f(x)0，函数y(x1)f(x)在
14、R上单调递增，而x1时，y0，则x1时，y0x1时，x10，y0，故f(x)0，f(x)0对任意xR成立，故选B10已知yf(x)为R上的可导函数，当x0时，f(x)0，若g(x)f(x)，则函数g(x)的零点个数为()A1B2C0D0或2510答案C解析令h(x)xf(x)，因为当x0时，0，所以0，因此当x0时，h(x)0，当x0时，h(x)0，又h(0)0，易知当x0时，h(x)0，又g(x)，所以g(x)0，故函数g(x)的零点个数为0考点五构造具体函数关系式【方法总结】这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题【例题选讲】例1 (1) (2020
15、全国)若2alog2a4b2log4b，则()Aa2bBab2Dab2答案B解析由指数和对数的运算性质得2alog2a4b2log4b22blog2b令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增又22blog2b22blog2b122blog2(2b)，2alog2a22blog2(2b)，即f(a)f(2b)，a2b故选B(2)已知，且sinsin0，则下列结论正确的是()AB22CD0答案B解析构造函数f(x)xsinx，则f(x)sinxxcosx当x时，f(x)0，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是减函数，又f(x)为偶函数，sinsin0sinsinf()f
16、()f(|)f(|)|22，故选B(3)(多选)若0x1x2x2lnx1Bx1lnx2D答案AC解析令f(x)xlnx，f(x)1，当0x1时，f(x)0，f(x)在(0，1)上单调递减0x1x21，f(x2)f(x1)，即x2lnx2x2lnx1设g(x)，则g(x)当0x1时，g(x)0，即g(x)在(0，1)上单调递减，0x1x21，g(x2)g(x1)，即，故选AC(4)已知函数f(x)ax，x(0，)，当x2x1时，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是()6A(，eB(，e)C(，)D(，答案D解析由0，得x1f(x1) (a2)a1Bloga(a1)loga1(a2)Cloga(a
17、1) Dloga1(a2)(a2)a1，两边取自然对数，得(a2)ln(a1)(a1)ln(a2)，因为a2，所以令f(x)，则x3，f(x)，故A成立；若B成立，则loga(a1)loga1(a2)，即，设g(x)，x2，则g(x)，令h(x)x lnx，x2，则h(x)lnx10，故h(x)在2，)上单调递增，所以x lnx(x1)ln(x1)0，所以g(x)，故B成立；若C成立，则loga(a1)，即，由A知f(x)在2，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，取a2，故C不成立；若D成立，则loga1(a2)，即，由A知D成立故选ABD(6) (2021全国乙)设a2ln1.01，bln
18、1.02，c1，则()AabcBbcaCbacDca0时，x1，故当x0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递减，所以f(0.02)f(0)0，即bcac2ln 1.011，设g(x)2ln(x1)1，则acg(0.01)，g(x)，当0xx1，故当0x0，所以g(x)在(0，2)上单调递增，所以g(0.01)g(0)0，故ca，从而有bca，故选B7(7)已知函数f(x)的定义域为(0，)，导函数为f(x)，若xf(x)f(x)xlnx，且f，则()Af0Bf(x)在x处取得极大值C0f(1)1Df(x)在(0，)上单调递增答案ACD解析由题知函数f(x)的定义域为(0，)，导函数为
19、f(x)，xf(x)f(x)xlnx，即满足因为，所以，所以可设ln2xb(b为常数)，所以f(x)xln2xbx因为fln2，解得b，所以f(x)xln2xx，所以f(1)，满足0f(1)1，所以C正确；因为f(x)ln2xlnx(lnx1)20，且仅有f0，所以B错误，A，D正确故选ACD【对点训练】1若a，b，c，则()AabcBcbaCcabDbac1答案C解析设f(x)，则f(x)，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，即有f(6)f(4)f(3)，所以，故ca0，则“ab”是“aabb”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2答案
20、D解析因为a，b0，由aabb可得aln abln b设函数f(x)xln x，则f(x)ln x1，由f(x)0可得x，所以函数f(x)xlnx在上单调递减，在上单调递增，所以ab不一定有aln ablnb，即aabb，所以充分性不成立；当aabb，即aln abln b时，不一定有ab，所以必要性不成立，所以“ab”是“aabb”的既不充分也不必要条件，故选D3已知0x1x2Bx1ln x2Dx2ln x10，得x，所以函数f(x)在上单调递增；由f(x)0，得0x0，得0xe8，即函数g(x)在(0，e)上单调递增，故函数g(x)在(0，1)上单调递增，所以g(x1)g(x2)，即，所以
21、x2ln x1b0，abba，有如下四个结论：(1)be；(3)存在a，b满足abe2，则正确结论的序号是()A(1)(3)B(2)(3)C(1)(4)D(2)(4)4答案C解析由abba两边取对数得bln aaln b对于y，由图象易知当bee，be2，故(4)正确，(3)错误因此，选C5设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x1)，两边取对数得xlog2t，ylog3t，zlog5t，从而2xln t，3yln t，5zln t由t1知，要比较三者大小，只需比较，的大小又，e34，从而，3y2x5z，故选D6已知a5且ae55ea，b4
22、且be44eb，c3且ce33ec，则()AcbaBbcaCacbDabc6答案D解析方法一由已知，设f(x)，则f(x)，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(3)f(4)f(5)，f(c)f(b)f(a)，所以ab，由图可知abc7若0x1x2a，都有x2lnx1x1lnx2x1x2成立，则a的最大值为()AB1CeD2e7答案B解析，即，令f(x)，则f(x)在(0，a)上为增函数，所以f(x)0在(0，a)上恒成立，f(x)，令f(x)0，解得x1，所以f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，所以a1，所以a的最大值为1，选B8下列四个命题：l
23、n 5；4其中真命题的个数是()A1B2C3D48答案B解析构造函数f(x)，则f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减ln 5ln 22lnln 2，又22ln，又e，故正确11ln 2ln 112lne，故正确3eln 242，显然错误因此选B9已知函数f(x)exmlnx(xR)，若对任意正数x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)x1x2成立，则实数m的取值范围是_9答案m0解析由f(x1)f(x2)x1x2得，f(x1)x1f(x2)x2，令g(x)f(x)x，所以g(x1)g(x2)，所以g(x)在(0，)单调
24、递增，又g(x)f(x)xexmlnxx，所以g(x)ex10，在(0，) 上恒成立，即m(1ex)x，令h(x)(1ex)x，则h(x)ex(x1)10，所以h(x)在(0，)单调递减，所以h(x)min0(但取不到)所以m010若实数a，b满足2a3a3b2b，则下列关系式中可能成立的是()10A0ab1Bba0C1abDab10答案ABD解析因为实数a，b满足2a3a3b2b，所以设f(x)2x3x，g(x)3x2x，在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象如图所示由图象可知：当x0 时，f(x)g(x)，所以当2a3a3b2b时，ba0，故B正确；当x0或1时，f(x)g(x
25、)，所以当2a3a3b2b时，ab0或ab1，故D正确；当0xg(x)，所以当2a3a3b2b时，0ab1 时，f(x)g(x)，所以当2a3a3b2b时，1bx1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为()A(，e B(，e) CD11答案D解析因为x(0，)，所以x1f(x1)x2f(x2)，即函数g(x)xf(x)exax2在x(0，)上是单调增函数，则g(x)ex2ax0在x(0，)上恒成立，所以2a在x(0，)上恒成立令m(x)，则m(x)，当x(0，1)时，m(x)0，m(x)单调递增，所以2am(x)minm(1)e，所以a故选D12设f(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f(x
26、)xf(x)lnx，f(e)，则下列结论正确的是()Af(x)在(0，)单调递增 Bf(x)在(0，)单调递减 Cf(x)在(0，)上有极大值Df(x)在(0，)上有极小值12答案B解析由x2f(x)xf(x)lnx，得xf(x)f(x)，构造F(x)xf(x)f(x)，F(x)xf(x)m，当xe时，xf(x)m，又e f(e)m，所以m，所以f(x)，所以f(x)0，f(x)在(0，)单调递减，选B13(多选)下列不等式中恒成立的有()Aln(x1)，x1Bln x，x011Cexx1Dcos x1x213答案ACD解析A选项，因为x1，令tx10，f(t)ln t1，则f(t)，所以当0
27、t1时，f(t)1时，f(t)0，即f(t)单调递增，所以f(t)minf(1)0，即f(t)ln t10，即ln t，即ln(x1)，x1恒成立，故A正确；B选项，令f(x)ln x，x0，则f(x)0显然恒成立，所以f(x)ln x在x0上单调递减，又f(1)0，所以当x(0，1)时，f(x)f(1)0，即ln x，故B错；C选项，令f(x)exx1，则f(x)ex1，当x0时，f(x)ex10，所以f(x)单调递增；当x0时，f(x)ex10时，f(x)0，即f(x)cos x1x2单调递增；当x0时，f(x)0，即f(x)cos x1x2单调递减，所以f(x)minf(0)0，因此co
28、s x1x2恒成立，故D正确12专题08函数的极值1函数的极小值：函数yf(x)在点xx0的函数值f(x0)比它在点xx0附近其他点的函数值都小，f(x0)0；而且在点xx0附近的左侧f(x)0则x0叫做函数yf(x)的极小值点，f(x0)叫做函数yf(x)的极小值如图1图1图22函数的极大值：函数yf(x)在点xx0的函数值f(x0)比它在点xx0附近其他点的函数值都大，f(x0)0；而且在点xx0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0则x0叫做函数yf(x)的极大值点，f(x0)叫做函数yf(x)的极大值如图23极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值对极值的深层理解：(1)
29、极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点xi是区间a，b内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大
30、值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f(x)0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点驻点可能是极值点，也可能不是极值点例如f(x)x3的导数f(x)3x2在点x0处有f(0)0，即x0是f(x)x3的驻点，但从f(x)在(，)上为增函数可知，x0不是f(x)的极值点因此若f(x0)0，则x0不一定是极值点，即f(x0)0是f(x)在xx0处取到极值的必要不充分条件，函数yf(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在a，b上有极值，极值也不一定不唯一它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值
31、点一般地，当函数f(x)在a，b上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在a，b内的极大值点、极小值点是交替出现的考点一根据函数图象判断极值【方法总结】由图象判断函数yf(x)的极值(1)yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标为x0，可得函数yf(x)的可能极值点x0；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值【例题选讲】例1(1)函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D
32、有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4当xx1时，f(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点，故选C(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0由此可以得