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1、 第 1 页 共 9 页 高三四校联考 数学试题（理）本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集,|(3)0,|1,UR Ax x xBx x 则图中 阴影部分表示的集合为（）A.(1,0)B(3,1)C 1,0)D(,1)2已知函数3log,0()2,0 xx xf xx，则1()9f f()A4 B14 C4 D14 3.集合2010 xxC中元素个数为（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 4以下有关命题的说法错误的是（）A命题“若23201xxx则”的逆
2、否命题为“若21,320 xxx则”B若pq为假命题，则 p、q 均为假命题 C“1x”是“2320 xx”的充分不必要条件 D对于命题2:10,:pxRxxpxR 使得则，均有210 xx 5函数11ln)(xxxf的零点的个数是()A0 B1 C3 D.2 6函数lg(1)yx的大致图像是()O x y A-2 O x y B O x y 2 C O x y 1 D 第 2 页 共 9 页 7.下列函数中，周期为，且在2,4上为减函数的是（）A)22sin(xy B)22cos(xy C)2sin(xy D)2cos(xy 8.函数)(xf在定义域 R 内可导，若)4()(xfxf，且0)
3、()2(xfx，记),3(),21(),0(fcfbfa则cba,的大小关系是（）Abca Babc Ccba D bac 9.已知直线422yxayx与圆交于 A、B 两点，且|OBOAOBOA，其中 O 为原点，则实数 a 的值为（）A2 B4 C2 D4 10.已知定义在 R 上的偶函数)(xf，满足)4()(xfxf，且当)4,2x时，)1(log)(2xxf，则)2011()2010(ff的值为()A2 B1 C2 D1 11.函数tan()42yx的部分图象如图所示，则()OAOBAB （）A6 B4 C4 D6 12.设()f x和()g x是定义在同一区间,a b上的两个函数，
4、若对任意的,xa b，都有|()()|1f xg x，则称()f x和()g x在,a b上是“密切函数”，,a b称为“密切区间”，设 2()34f xxx与()23g xx在,a b上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是 （）.A 1,4 .B 2,4 .C 3,4 .D2,3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在横线上 13.函数12xy的定义域是5,21,，则其值域是 。14在ABC中，若acbca3222，则角 B 的值为 。OxyAB1 第 3 页 共 9 页 15已知函数0,20,2)(xxxxxf，则不等式2)(xxf的解集为 。16已知
5、1lg(2)(lglg)2xyxy，则xy=_。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）已知等差数列na满足.8,252aa （1）求数列na的通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列nb的前 n 项和为 Tn若,7,333Tab求nT 18（本小题满分 12 分）某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮北偏东75，距离为12 6n mile；在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西30，距离为8 3n mile.货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔B 在东偏南30，求：（）A 处与 D 处之间的距离；（）灯塔 C 与
6、D 处之间的距离.19（本小题满分 12 分）已知向量xxxacossin,2sin1，xxbcossin,1，函数()f xa b（1）求()f x的最大值及相应的x的值；（2）若58)(f，求cos224的值 20（本小题满分 12 分）已知函数,)(,2)(223axxxgxxxxf若函数)()(xgyxfy与的图像有三个不同的交点，求实数 a 的取值范围。21（本小题满分 12 分）已知aR，函数 2f xxxa 第 4 页 共 9 页（1）若函数 xf在区间20,3内是减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数 f x在区间 1,2上的最小值 h a；（3）对（2）中的 h a，若关于
7、a的方程 12h am a有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围 选考题：（本小题满分 10 分）请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分 10 分）椭圆 C：)0(12222babyax的两个焦点为1F、2F，点P在椭圆 C 上，且211FFPF，341PF，3142PF.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线l过圆02422yxyx的圆心M，交椭圆 C 于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.23.（本小题满分 10 分）如图所示，四边形 ABCD 是矩形，2，平面BCEBAEABEAD，F 为 CE上的点，且 BF平
8、面 ACE，AC 与 BD 交于点 G（1）求证：AE平面 BCE（2）求证：AE/平面 BFD 24（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，BA 是O 的直径，AD 是切线，BF、BD 是割线，求证：BEBF=BCBD B A C F D O E 第 5 页 共 9 页 答案（理）一 BBCB DCAC CDAD 二13.2,210,146 15.-1，1 16.4 三17解：（I）设等差数列na的公差为 d。.2084,2,8,211152dadadaaa解得 4 分 数列na的通项公式.22)1(1ndnaan 6 分 （II）设各项均为正数的等比数列nb的公比为)0(q
9、q由（I）知,4,223anan1,7,4333qTab又 .9,321,2.71)1(4113121bqbqqqbqb或解得（舍）10 分.12,21nnnnTb 12 分 18解：（）在ABD 中，由已知得 ADB=60，B=45 由正弦定理得212 6sin224sin32ABBADADB6 分（）在ADC 中，由余弦定理得 2222cos30CDADACAD AC，解得 CD=8 3.所以 A 处与 D 处之间的距离为 24 n mile，灯塔 C 与 D 处之间的距离为8 3n mile.12 分 19解：（1）因为(1sin2,sincos)axxx，(1,sincos)bxx，所
10、以22()1sin2sincos1sin2cos2f xxxxxx 第 6 页 共 9 页 2sin 214x 4 分 因此，当22 42xk，即38xk（kZ）时，()f x取得最大值21；6 分（2）由()1sin2cos2f 及8()5f得3sin2cos25，两边平方得 91 sin425，即16sin425 10 分 因此，16cos22cos4sin44225 12 分 20解：函数)()(xgyxf与的图像有三个不同的交点等价于方程 axxxxx2232有三个不同的实数根。即关于 x 的方程0323axx有三个不同的实数根。3 分 令,3)(23axxxh则0)(,63)(2xh
11、xxxh令，解得,20 x 令0)(xh，解得20 xx或。所以)(xh在),2(),0,(上为增函数，在（0，2）上为减函数。8 分 所以)0(h为极大值，h（2）为极小值。从而),0(0)2(hh解得04a 12 分 21（1）解：32f xxax，232fxxax.函数 xf在区间20,3内是减函数，2320fxxax在20,3上恒成立2 分 即32xa 在20,3上恒成立，第 7 页 共 9 页 3321223x，1a 故实数a的取值范围为1,3 分（2）解：233fxx xa，令 0fx 得203xa 或4 分 若0a，则当12x时，0fx，所以 f x在区间 1,2上是增函数，所以
12、 11h afa 5 分 若302a，即2013a，则当12x时，0fx，所以 f x在区间 1,2上是增函数，所以 11h afa 6 分 若332a，即2123a，则当213xa时，0fx；当223ax时，0fx 所以 f x在区间21,3a上是减函数，在区间2,23a上是增函数 所以 324327h afaa 7 分 若3a，即223a，则当12x时，0fx，所以 f x在区间 1,2上是减函数所以 284h afa 8 分 综上所述，函数 f x在区间 1,2的最小值 331,243,3,27284,3.aah aaaaa 9 分 （3）解：由题意 12h am a有两个不相等的实数解
13、，第 8 页 共 9 页 即（2）中函数 h a的图像与直线12ym a有两个 不同的交点11 分 而直线12ym a恒过定点1,02，由右图知实数m的取值范围是4,112 分 22(本小题满分10分)解：(1)6221PFPFa 3a 1 分 又202122221PFPFFF cFF25221 5c 3 分 故4222cab 4 分 椭圆 C 的方程为14922yx 5 分(2)圆的方程可化为：5)1()2(22yx，故圆心)1,2(M 所求直线方程为1)2(xky 6 分 联立椭圆方程，消去y，得 0273636)1836()94(2222kkxkkxk 7 分 A、B关于M对称 2949
14、1822221kkkxx 8 分 98k :89250lxy10 分 23解：（1）ABEAD平面 又知四边形 ABCD 是矩形，故 AD/BC O a y 1,021k 4k 第 9 页 共 9 页 ABEBC平面 故可知 AEBC 1 分 BF平面 ACE BF AE 2 分 又 BCEBFBCEBCBBFBC平面，平面,AE平面 BCE 5 分 （2）依题意，易知 G 为 AC 的中点 又 BF平面 ACE 所以可知 BFEC，又 BEEC 可知 F 为 CE 的中点6 分 故可知 GF/AE 7 分 又可知 BFDAEBFDGF平面，平面 AE/平面 BFD.10 分 24.证法一：连接 CE，过 B 作O 的切线 BG，则 BGAD GBC=FDB，又GBC=CEB CEB=FDB 又CBE 是BCE 和BDF 的公共角 5 分 BCEBDF BDBEBFBC，即 BEBF=BCBD 10 分 证法二：连续 AC、AE，AB 是直径，AC 是切线 ABAD，ACBD，AEBF 由射线定理有 AB2=BCBD，AB2=BEBF BEBF=BCBD B A C F D O E