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1、2023 年高考数学模拟试卷 考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数()4sin(0)3f xx的最小正周期是3，则其图象向左平移6个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）A4x B3x C56x D1912x 2设2log 3a，4log
2、 6b，0.15c，则（）Aabc Bbac Ccab Dcba 3设直线l的方程为20()xymmR，圆的方程为22(1)(1)25xy，若直线l被圆所截得的弦长为2 5，则实数m的取值为 A9或 11 B7或 11 C7 D9 4做抛掷一枚骰子的试验，当出现 1 点或 2 点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在 3 次这样的试验中成功次数 X 的期望为（）A B C1 D2 5 周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“-”当作数字“1”，把阴爻“
3、-”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑 011 3 依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A18 B17 C16 D15 6某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A8 种 B12 种 C16 种 D20 种 7若函数2sin(2)yx的图象过点(,1)6，则它的一条对
4、称轴方程可能是（）A6x B3x C12x D512x 8在区间3,3上随机取一个数x，使得301xx成立的概率为等差数列 na的公差，且264aa，若0na，则n的最小值为（）A8 B9 C10 D11 9已知x，y满足2yxxyxa，且2zxy的最大值是最小值的 4 倍，则a的值是（）A4 B34 C211 D14 10复数21 i(i 为虚数单位)的共轭复数是 A1+i B1i C1+i D1i 11正ABC的边长为 2，将它沿BC边上的高AD翻折，使点B与点C间的距离为3，此时四面体ABCD的外接球表面积为（）A103 B4 C133 D7 12如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：
5、万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A2014 年我国入境游客万人次最少 B后 4 年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 C这 6 年我国入境游客万人次的中位数大于 13340 万人次 D前 3 年我国入境游客万人次数据的方差小于后 3 年我国入境游客万人次数据的方差 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知等差数列 na的前 n 项和为 Sn，若366,8SS，则9S _.14在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:(1)1C xy及点(3,0)A，设点P是圆C上的动点，在ACP中，若ACP的角平分线与AP相交于点(,)Q m n，则22mn的取值范围是_.15
6、在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 为 x 轴正半轴上的两个动点，P（异于原点 O）为 y 轴上的一个定点若以 AB为直径的圆与圆 x2(y2)21 相外切，且APB 的大小恒为定值，则线段 OP 的长为_ 16已知1121011012101112xaa xa xa xa x，则12101121011aaaa_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知函数2()ln()f xxxax aR.（1）若()0f x 恒成立，求a的取值范围；（2）设函数()f x的极值点为0 x，当a变化时，点00(,()xf x构成曲线M，证明：过原点的任意直线yk
7、x与曲线M有且仅有一个公共点.18（12 分）已知矩阵122Ma的一个特征值为 3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.19（12 分）已知函数()(1)1xf xxe.（）求()f x在点(1,(1)f处的切线方程；（）已知()f xax在R上恒成立，求a的值.（）若方程()f xb有两个实数根12,x x，且12xx，证明：2111ebxxbe.20（12 分）已知倾斜角为4的直线经过抛物线2:2(0)C xpy p的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点，且|8AB.（1）求抛物线C的方程；（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线1l、2l，交抛物线C于另两点
8、C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为，直线CD的倾斜角为，求证：与互补.21（12 分）如图，90,1,BCDBCCDAB平面,60,BCDADBE F分别是,AC AD上的动点，且AEAFACAD.（1）若平面BEF与平面BCD的交线为l，求证：/EFl；（2）当平面BEF 平面ACD时，求平面BEF与BCD平面所成的二面角的余弦值.22（10 分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案 a规定每日底薪 100 元，外卖业务每完成一单提成 2 元；方案 b规定每日底薪 150 元，外卖业务的前 54 单没有提成，从第 55 单开始，每完
9、成一单提成 5 元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取 100 天的数据，将样本数据分为25 3535 4545 5555 6565 75758585 95，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于 65 单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案 a的概率为13，选择方案 b的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案 a的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组
10、区间的中点值代替）参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】由三角函数的周期可得23，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为244sin39yx，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数()4sin(0)3f xx的最小正周期是3，则函数2()4sin33f xx，经过平移后得到函数解析式为2244sin4sin36339yxx，由24()392xkkZ，得3()212xkkZ，当1k 时，1912x.故选 D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.2A【解析】先利用
11、换底公式将对数都化为以 2 为底,利用对数函数单调性可比较,a b,再由中间值 1 可得三者的大小关系.【详解】2log 31,2a，422log 6log61,log 3b，0.150,1c，因此abc，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.3A【解析】圆22(1)(1)25xy的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l的距离|1|5md，结合弦长公式得2|1|2 25()2 55m，解得9m 或11m，故选 A 4C【解析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：.【点睛】本题考查了二项分
12、布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.5B【解析】由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字 010001，将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字 010001，转化为十进制数的计算为 120+124=1 故选：B【点睛】本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6C【解析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C 种组合；若一名学生物理和历史都选，则有144C 种组合；因此共
13、有12416种组合.故选 C【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.7B【解析】把已知点坐标代入求出，然后验证各选项【详解】由题意2sin()13，1sin()32，26k或22k，kZ，不妨取6 或2，若2，则函数为sin(2)cos22yxx，四个选项都不合题意，若6，则函数为2sin(2)6yx，只有3x时，sin(2)136，即3x是对称轴 故选：B【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键 8D【解析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数
14、列的公差，利用条件2642aaa，求得42a ，从而求得1033nna ，解不等式求得结果.【详解】由题意，本题符合几何概型，区间3,3长度为 6，使得301xx成立的x的范围为1,3，区间长度为 2，故使得301xx成立的概率为2163d，又26442aaa ，42a，11024333nnan ，令0na，则有10n，故n的最小值为 11，故选：D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.9D【解析】试题分析：先画出可行域如图：由2yxxy，得(1,1)B，由xayx，得(,)C a a，当直线2zxy过点
15、(1,1)B时，目标函数2zxy取得最大值，最大值为 3；当直线2zxy过点(,)C a a时，目标函数2zxy取得最小值，最小值为 3a；由条件得34 3a，所以14a，故选 D.考点：线性规划.10B【解析】分析：化简已知复数 z，由共轭复数的定义可得 详解：化简可得 z=21 i2 1+=111iiii z 的共轭复数为 1i.故选 B 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题 11D【解析】如图所示，设AD的中点为2O，BCD的外接圆的圆心为1O，四面体ABCD的外接球的球心为O，连接12,OO OO OD，利用正弦定理可得11DO，利用球心的性质和线面垂直的性质可得
16、四边形21OO DO为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD的中点为2O，BCD外接圆的圆心为1O，四面体ABCD的外接球的球心为O，连接12,OO OO OD，则1OO 平面BCD，2OOAD.因为1,3CDBDBC，故231cos2 1 12BDC ，因为0,BDC，故23BDC.由正弦定理可得13222sin3DO，故11DO，又因为3AD，故232DO.因为,ADDB ADCD DBCDD，故AD平面BCD，所以1/OOAD，因为AD平面BCD，1DO 平面BCD，故1ADDO，故21/OODO，所以四边形21OO DO为平行四边
17、形，所以1232OODO，所以37142OD ，故外接球的半径为72，外接球的表面积为74=74.故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.12D【解析】ABD 可通过统计图直接分析得出结论，C 可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A由统计图可知：2014 年入境游客万人次最少，故正确；B由统计图可知：后 4 年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C入境游客万人次的中位数应为13340.13与1
18、3604.33的平均数，大于13340万次，故正确；D由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1342【解析】由3S，63SS，96SS成等差数列，代入366,8SS 可得9S的值.【详解】解：由等差数列的性质可得：3S，63SS，96SS成等差数列，可得：633962()SSSSS，代入366,8SS，可得：942S ，故答
19、案为：42.【点睛】本题主要考查等差数列前 n 项和的性质，相对不难.147272,33【解析】由角平分线成比例定理推理可得2AQPQ，进而设点表示向量构建方程组表示点 P 坐标，代入圆 C 方程即可表示动点 Q 的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.【详解】由题可构建如图所示的图形，因为 AQ 是ACP的角平分线，由角平分线成比例定理可知221ACAQAQPQAPPQ,所以2AQPQ.设点,Q m n，点,P x y，即3,AQmnPQxm yn，则3,2,mnxm yn，所以33322232mxmxmnynny.又因为点P是圆22:(1)
20、1C xy上的动点，则222224(1)1(3333)32239mnmn，故点 Q 的运功轨迹是以3332,M为圆心23为半径的圆，又22mn即为该圆上的点与原点间的距离，因为22332733MOd，所以2272723333mn 故答案为：7272,33【点睛】本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.153【解析】分析：设 O2（a，0），圆 O2的半径为 r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以 AB 为直径的圆与圆 x2+（y-2）2=1 相外切且APB 的大小恒为定值，即可求出线段 OP 的长 详解：设 O2（
21、a，0），圆 O2的半径为 r（变量），OP=t（常数），则 222222221)222tan,tan,2tan141,(4,22tan3232rararOPAOPBttararrtttAPBartartararttAPBttrr APB 的大小恒为定值，t3，|OP|=3 故答案为3 点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题 1622【解析】对原方程两边求导，然后令1x 求得表达式的值.【详解】对等式112012(12)xaa xa x10111011a xa x两边求导，得101222(12)2xaa x91010111011a xa x，令1x，
22、则1210112101122aaaa.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）1a；（2）证明见解析【解析】（1）由()0f x 恒成立，可得ln xaxx恒成立，进而构造函数ln()xg xxx，求导可判断出()g x的单调性，进而可求出()g x的最小值min()g x，令min()ag x即可；（2）由221()xaxfxx，可知存在唯一的0(0,)x，使得0()0fx，则200210 xax，0012axx，进而可得2000()ln1f xxx，即曲线M的方程为2l
23、n1yxx，进而只需证明对任意kR，方程2ln1xxkx 有唯一解，然后构造函数2()ln1F xxxkx，分0k、02 2k和2 2k 三种情况，分别证明函数()F x在(0,)上有唯一的零点，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意，可知0 x，由()0f x 恒成立，可得ln xaxx恒成立.令ln()xg xxx，则221ln()xxg xx.令2()1lnh xxx，则1()2h xxx，0 x，()0h x，2()1 lnh xxx 在(0,)上单调递增，又(1)0h，(0,1)x 时，()0h x；(1,)x时，()0h x，即(0,1)x时，()0g x；(1,)x时，()0g
24、x，(0,1)x 时，()g x单调递减；(1,)x时，()g x单调递增，1x 时，()g x取最小值(1)1g，1a.（2）证明：由2121()2xaxfxxaxx，令22(1)xaTxx，由1(0)0T，结合二次函数性质可知，存在唯一的0(0,)x，使得0()0fx，故()f x存在唯一的极值点0 x，则200210 xax，0012axx，22000000()lnln1f xxxaxxx，曲线M的方程为2ln1yxx.故只需证明对任意kR，方程2ln1xxkx 有唯一解.令2()ln1F xxxkx，则2121()2xkxF xxkxx，当0k 时，()0F x恒成立，()F x在(0
25、,)上单调递增.21,ee1kk，22(e)ee1(1e)e10kkkkkFkkk ，(1)0Fk ，存在t满足e1kt 时，使得()0F t.又()F x单调递增，所以xt为唯一解.当02 2k时，二次函数221xxyk，满足280k，则()0F x恒成立，()F x在(0,)上单调递增.(1)0Fk ，333263(e)3ee1(e)22e)0(2kFk，存在3(1,e)t使得()0F t，又()F x在(0,)上单调递增，xt 为唯一解.当2 2k 时，二次函数221xxyk，满足280k，此时()0F x有两个不同的解12,x x，不妨设12xx，1212xx，12202xx，列表如下
26、：x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x ()F x 0 0 ()F x 极大值 极小值 由表可知，当1xx时，()F x的极大值为21111()ln1F xxxkx.211210 xkx，2111()ln2F xxx，1202x，211ln2xx，2111()ln20F xxx，21()()0F xF x.22222222(e)ee1(e)e1kkkkkFkkkk.下面来证明2e0kk，构造函数2()ln(2 2)m xxx x，则2121()2xm xxxx，当(2 2,)x时，()0m x，此时()m x单调递增，3()(2 2)8ln202m xm，(2 2,)x时
27、，2lnxx，2lneexxx，故2e0kk成立.2222(e)(e)e10kkkFkk，存在22(,e)ktx，使得()0F t.又()F x在2(,)x 单调递增，xt 为唯一解.所以，对任意kR，方程2ln1xxkx 有唯一解，即过原点任意的直线ykx与曲线M有且仅有一个公共点.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.18另一个特征值为1，对应的一个特征向量11【解析】根据特征多项式的一个零点为 3，可得1a，再回代到方程 0f 即可解出另一个特征值为21，最后利用求特征向量的一般
28、步骤，可求出其对应的一个特征向量.【详解】矩阵M的特征多项式为：12142faa，13是方程 0f 的一个根，3 1 340a，解得1a，即1221M 方程 0f 即1140，2230，可得另一个特征值为：21，设21 对应的一个特征向量为：xy 则由2M，得220220 xyxy得xy，令1x，则1y ，所以矩阵M另一个特征值为1，对应的一个特征向量11【点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.19（）11eyxe；（）1a；（）证明见解析【解析】（）根据导数的几何意义求解即可.（）求导分析函数的单调性,并构造函数 h xf xax根据单调性分析可得
29、 h x只能在0 x 处取得最小值求解即可.（）根据（）（）的结论可知 11ef xxe,f xx在R上恒成立,再分别设11ebxe bx的解为3x、4x.再根据不等式的性质证明即可.【详解】（）由题()11xxfxeex,故1(1)111efe.且(1)0f.故()f x在点(1,(1)f处的切线方程为11eyxe.（）设 110 xh xf xaxxeax恒成立,故 21xhxxea.设函数 2xxxe则 3xxxe,故 2xxxe在,3 上单调递减且 0 x,又 x在3,上单调递增.又 02,即 01ha 且 00h,故 h x只能在0 x 处取得最小值,当1a 时，此时 22xhxxe
30、,且在,0上 0h x,h x单调递减.在0,上 0h x,h x单调递增.故 00h xh,满足题意；当1a 时，此时 21xxxea有解00 x,且 h x在00,x上单调递减,与(0)h xh矛盾；当1a 时，此时 21xxxea有解030 x,且 h x在0,0 x上单调递减,与(0)h xh矛盾；故1a （）()2111xxxexfxxee.由（）,2()1xxfxe在,3 上单调递减且()0fx,又()fx在3,上单调递增,故()0fx 最多一根.又因为111(1110)2fee ,002(010)1fe,故设()0fx 的解为xt,因为 1 00ff,故1,0t.所以 f x在,
31、t递减,在,t 递增.因为方程()f xb有两个实数根12,x x,故 bf t.结合（）（）有 11ef xxe,f xx在R上恒成立.设11ebxe 的解为3x,则31xx；设bx的解为4x,则42xx.故311ebxe,4xb.故214311ebxxxxbe,得证.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.20（1）24xy（2）证明见解析【解析】（1）根据题意，设直线方程为2pyx，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论；（2）根据题意，设1l的方程为2004xyk xx，联立方程得04
32、Cxxk，同理可得04Dxxk，进而得到02CDxxx，再利用点差法得直线CD的斜率，利用切线与导数的关系得直线l的斜率，进而可得与互补.【详解】（1）由题意设直线AB的方程为2pyx，令11(,)A x y、22(,)B xy，联立222pyxxpy，得22304pypy 123yyp，根据抛物线的定义得124AByypp，又8AB，48,2pp 故所求抛物线方程为24xy.（2）依题意，设200(,)4xP x，2(,)4CCxC x，2(,)4DDxD x 设1l的方程为200()4xyk xx，与24xy联立消去y得2200440 xkxkxx，04Cxxk，同理04Dxxk 02CD
33、xxx，直线CD的斜率2221214()CDxxkxx=1()4CDxx012x 切线l的斜率0012lx xkyx，由0lCDkk，即与互补.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题 21（1）见解析；（2）427【解析】（1）首先由线面平行的判定定理可得/EF平面BCD，再由线面平行的性质定理即可得证；（2）以点B为坐标原点，BD，BA所在的直线分别为,y z轴，以过点B且垂直于BD的直线为x轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】解：（1）由AEAFACAD，/EF CD 又EF 平面BCD，CD 平
34、面BCD，所以/EF平面BCD.又EF 平面BEF，且平面BCD平面BEFl，故/EF l.（2）因为AB 平面BCD，所以ABCD，又DCBC，所以DC 平面ABC，所以DCBE，又/EFCD，所以BEEF.若平面BEF 平面ACD，则BE平面ACD，所以BEAC，由1BCCD且902BCDBD，又60ADB，所以AB6.以点B为坐标原点，BD，BA所在的直线分别为,y z轴，以过点B且垂直于BD的直线为x轴建立空间直角坐标系，则(0,0,6)A，22(0,0,0),(,0)22BC，设(,)E a a b 则22(,),(,6),(,6)22BEa a bACAEa a b 由0/BE A
35、CACAE，可得2260222626aabab，3 2767ab，即3 2 3 26(,)777E，所以可得6 26(0,)77F，所以3 2 3 266 26(,),(0,)77777BEBF，设平面BEF的一个法向量为(,)mx y z，则 00m BEm BF，3 23 2607776 26077xyzyz，3302 30 xyzyz，取2 3z，得1,1xy 所以(1,1,2 3)m 易知平面BCD的法向量为(0,0,1)n，设平面BEF与平面BCD所成的二面角为，则2222 342cos7(1)(1)(2 3)m nm n，结合图形可知平面BEF与平面BCD所成的二面角的余弦值为42
36、7.【点睛】本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，利用空间向量法求二面角，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题 22（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案 a，理由见解析【解析】（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于 65 单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有 0 人、1 人选择方案 a的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案 a的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X件，分别表示出方案 a的日工资和方案 b的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作
37、出选择.【详解】（1）设事件A为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于 65 单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于 65 单的频率分别为0.2,0.15,0.05，0 20150050 4，P A估计为 0.4.（2）设事件为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案 a”，设事件iC，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有01234i i ，人选择方案 a”，则 413010144212163211111333818127P BP CP CCC ，所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案 a的概率为1127.（3）设骑手每日完成外卖业务量为X件，方案
38、a的日工资11002,*YXXN，方案 b的日工资215054*15055454*XXNYXXXN，所以随机变量1Y的分布列为 1Y 160 180 200 220 240 260 280 P 0.05 0.05 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05 1160 005 180 005 200 02 220 03 240 02 260 015 280 005224E Y；同理，随机变量2Y的分布列为 2Y 150 180 230 280 330 P 0.3 0.3 0.2 0.15 0.05 2150 03 180 03 230 02 280 015 330 0052035E Y.21E YE Y，建议骑手应选择方案 a.【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.