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1、巧巧算算气气体体做做功功之之图图像像法法 Revised at 2 pm on December 25,2020.巧巧 算算 气气 体体 做做 功功之之“图图 像像 法法”前面已经介绍了对于包含有特殊热力学过程时可以用特殊的公式直接计算气体对外界所做的功。但是我们遇到的题目有很多不是发生特殊的热力学过程，而是一般的变化过程，没有使用现成的公式。也有的题目是选择性题目，只需判断做功的正负而不需要计算，如果采用公式法计算较为麻烦。还有一些题目是以气体状态变化图像出现的，要转化为用公式计算比较麻烦。那么我们该怎么办呢？别急，这里我们就介绍一种使用气体状态变化图像进行判断和计算热力学过程中气体所做的功
2、的方法，由于采用气体状态变化图像来解决问题，我们就叫它图像法。使用图像法解题，比较直观，有时候一眼就能看出气体是做正功还是负功。下面我们来看看这个方便的招。大思路大思路我们常见的各状态变化图像可以按曲线的形状分为封闭形曲线和不封闭曲线。处理这两种图像时稍有不同。曲线封闭：曲线封闭：一般是循环过程，需要根据题目条件，获得变化过程的 PV 图。在 PV 图像中计算所围面积，就是该循环过程中气体所做的功。顺时针循环，做正功，；逆时针循环，做负功。曲线不封闭：曲线不封闭：若需要计算做功大小，也需根据题目条件获得 PV 图，然后计算曲线与横坐标轴（即 V 轴）所围的面积，这个面积就是这个过程中气体所做的
3、功。如果状态变化方向沿 V 轴正方向则做功为正，沿 V 轴反方向则功为负，如果垂直于 V 周则为零。如果我们只需判断气体是否做功，则可以根据任何自己熟悉的状态变化图像判断初始状态和末状态的体积关系。体积增加，做正功；体积减小，做负功；体积不变，不做功。好了，我们就去体验一下怎样使用图像法。经典体验（一）经典体验（一）如图，1mol 理想气体经历了一个在 TV 图上标31 的循环过程。其中,过程 12 的方程为为 12T 2T1(11BV)BV，过程 23 是经过原点的线段2段，过程 31 的方程为T T1B V，为常数。状的热力学温度为T1和34T1。求该气体在此循环中对外所做的功。22上的一
4、态和体验思路：体验思路：题目中的循环过程是一个复杂的热力学过程，不是特殊的热力学过程，所以不能使用公式法解决问题。题目给出了一个图，我们可以先将其装换为图，其 PV 图也为封闭曲线。计算图形面积即可得到功的大小。体验过程：体验过程：第一步，先按题意画出 PV 图；先确定各段曲线形式：BV)BV有12过程：由理想气体状态方程 PV=n RT 和已知的T 2T1(112P RB2T1V 2RBT1，因此 P 与 V 成正比，在 PV 图上是直线。23过程：符合等压过程 TV 曲线，故在 PV 上是水平线，P=P2。31过程：由 PV=n RT 及T T1B2V2有P RT1B2V，P 与 V 成正
5、比，在 PV 图上为直线。再确定 3 点的状态参数：1 点：（P1，V1，T1）BV)BV有V V1 2 点：当 T=T1时由公式T 2T1(112V V232B32V1。再由1；当T T 3T时B241P1V1T1P2V2T2有P211，因此2P2 点状态参数为33(1，11,4T1)。2V2P22 3 点：由题目有 P3=P2。由T T1B V有T3 T1B2V32，再由11P3V3T31P2V2T2有V3T32V1T1，结合两式有T3T1，V3V2V1，故 3 点状43211态参数为(1，11,4T1)。2V2P由此，可以画出 PV 图如右图。第二步，标出循环方向，即是图中 123向，由
6、于顺时针，故为正功；第三步，计算图像所围面积，转化为功；1 方 P2)(V2V3)1V1该循环过程中气体所做的总功为W 11112(P4P4RT1。小小结：结：这个例题只是在画 PV 图时稍微有些难度，但是能很好的反映使用图像法的关键画出PV 图，求面积。从上可以看出 PV 图上任意一条曲线与 V 轴的面积反映的就是该过程所做的功。对于一个循环过程，将各段累加起来，其所作的功为循环曲线所围面积，功的正负则与循环的方向有关。对于不封闭曲线的处理，则稍微简单一些，这里就不给例子了。经典体验（二）经典体验（二）如图所示，一定质量的理想气体从 A 经 ACDB循环过程后到达 B 状态，求在整个过程中气
7、体所做体验思路：体验思路：题目中的循环过程是一个复杂的热力学过程，其中压膨胀过程，CD 为等容过程，DB 为等压压缩过程。程所做的功都可以用上一专题所介绍的公式法分阶段PPP的一个ACD的功。AC 为等这些过计算功BOV1V2V的大小，然后相加就得到在整个过程中气体所做的功。但是在这里我们可以使用图像法求解此题。体验过程：体验过程：假设气体还继续发生了从 B 到 A 的过程，由于 B 状态下气体的体积和 A 状态下气体体积相同，故此过程气体不做功。则 ACDB 过程和 ACDBA 过程气体所做的功是相等的，故只需计算ACDBA 过程气体所做的功。ACDBA 过程气体 P-V 图为封闭曲线，面积
8、大小为（P1-P2）（V2-V1）。同时由于 ACDBA 为顺时针循环，故做正功，因此所求过程气体所做功为（P1-P2）（V2-V1）。小小结：结：由此题可以看出，在气体变化过程中，气体经过一系列变化，即经过一个复杂变化后，气体体积最终没有发生变化，但气体与外界却有机械功，而且功的正负与过程的方向有关。故有时候我们不能仅凭气体体积变化与否来判断气体是否对外界做功。提提示：示：好了，下面我们来试试两道题目，看看是不是真的好用。试一试试一试（1 1）如右图所示，已知一定质量的理想气体，从状态 1 变化到状态 2。问：在此过程中气体对外是否做功（2 2）（3 3）用 n mol 理想气体做热机的工作
9、物质，随着热机做功，气体状态变化完成一个循环，如图所示，过程 12 和 23 在图中是直线，23 是等容过程，过程 31 可以表达为且T 0.5T1(3bV)bV，b为常数。求气中所做的功。（4 4）一定质量的理想气体，由平衡状态 A经过一系列变化过程到达平衡状态 B，且有 VAVB。如图，如果气体变化按 AEDCB 的变化过程进行，求气体在这个变化过程中所做的总功。PP1BCP2A ED体在一个循环试一试答案试一试答案试一试（试一试（1 1）指点迷津指点迷津这是一个不封闭曲线，只需要判断是否对外做需要计算，因此只需判断 1、2 两状态的体积O V1V2V3 V功，而不即可。虽pT 图的直线才
10、来判断直线的V1，所然状态 1 和状态 2 在一条直线上，但并不是说上的所有直线都是等容线，只有延长线过原点表示一个等容过程。我们可以判断等容线斜率1、2 两状态下气体体积。实践略解实践略解分别做出过 1 和 2 的等容线和，由图可知，斜率大于直线的斜率，则 VV，即 V2以，从状态 1 变化到状态 2，气体膨胀对外做功了。试一试（试一试（2 2）指点迷津指点迷津此题与例题基本相同，画出 PV 图求面积即可。实践略解实践略解 画出的 PV 图如右图，为顺时针循环，求得功为W 12(P1P3)(V2V1)14nRT1。试一试（试一试（3 3）指点迷津指点迷津此题可以分为两个部分，其中一部分为 AE 段，为不封闭曲线，直接根据其与坐标轴所围面积以及曲线方向求解。另一段为 EDCB 段，此段与例题 2 所给的基本相似，从 B 到 E 体积相同，不做功，可以看作是一个封闭曲线来进行求解。两部分相加即得到结果。实践略解实践略解 AE 段：W1=P2(V2-V1)，EDCB 段：W2=-(P1-P2)(V3-V2)。因此总功为 W=W1+W2=P2(V2-V1)-(P1-P2)(V3-V2)。