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1、精品文档第四章习题试解第四章习题试解1.1.一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色散关系。散关系。解：设原子质量为m，周期为 a，第 n 个原子偏离平衡位置的位移为n，第 n-k 及 n+k 个原子偏离平衡位置的位移分别为n-k，n+k，其与第 n 个原子间的弹性恢复力系数为-k，k。n-kn-1nn+1n+k显然：kk第 n 个原子受 n-k 和 n+k 原子的合力为：fnkk(nkn)k(nnk)k(nknk2n)第 n 个原子受所有原子的合力为：fnk(nknk2n)k振动的
2、运动学方程可写为：mkk(nknk2n)k代入振动的格波形式的解有m(i)Ae色散关系即为.2i(qnat)nq Aei(qnat)kk(Aeiq(nk)at Aeiq(nk)at2Aei(qnat)m2k(eiqkaeiqka2)2k(cosqka 1)kk2k2k4qka(1cosqka)ksin2mmk2精品文档2.聚乙烯链聚乙烯链CHCHCHCHCHCHCHCH的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描述，的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描述，原胞两原子质量均为原胞两原子质量均为 MM，但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为，但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为 1 1和和 2 2，
3、原子链的，原子链的周期为周期为 a a。证明振动频率为。证明振动频率为2qa4 sin1121222)21(1M(12)2证：如图，任意两个 A 原子（或 B 原子）之间的距离为 a，设双键距离 b2，单键距离 b1CHCHCHCHCHCHCHCHCHCH2n-22n-12n2n+1 2n+2ABAb2b1只考虑近邻作用的 A，B 两原子的运动方程为A：M2n2(2n12n)1(2n2n1)B：M2n11(2n22n1)2(2n12n)将格波解2n Aei(qnat)和2n1 Beiq(nab)t代入以上运动方程，有2MAe2iqnati(qnab2)tiqnat1AeiqnatBei(qna
4、b1)t2Be Aeiqb12化简得：(12 M)A(1e2eiqb2)B 0同理：(1eiqb12eiqb2)A(12 M2)B 0化为以 A、B 为未知数的线性齐次方程组，它的有解条件是从而得到(12)M2(1eiqb12eiqb2)(1eiqb12eiqb2)M2(12)0(12)M2122212eiq(b1b2)12eiq(b1b2)12e2122iqae212cos(qa)iqa2122qa qa2122221212sin2()12412sin2()2212qa2412sin2221112M(12).精品文档3.求一维单原子链的振动模式密度求一维单原子链的振动模式密度 g()g()，
5、若格波的色散可以忽略，若格波的色散可以忽略，其其 g()g()具有什么形式，具有什么形式，比较这两者的比较这两者的 g()g()曲线。曲线。解：一维情况 q 空间的密度约化为 L/2，L=Na 为单原子链的长度，其中 a 为原子间距，N为原子数目。则在 dq 间隔内的振动模式数目为Ldq。d 频率间隔内的振动模式数目为2n 2Ldqd2d等式右边的因子 2 来源于（q）具有中心反演对称，q0 和 q0 区间是完全等价的。从而有g()L 1ddq对于一维单原子链，只计入最近邻原子之间的相互作用时，有(q)411sinqa msinqam221d1aa222mcos(qa)mdq222其中 m为最
6、大频率。代入 g()得g()考虑=cq（德拜近似）由 q0（德拜近似下）,有2N()2m212(q)14111sinqa mqa maq即c ma2m222则有：d1madq2g()Na11am22N1m（常数）考虑=0（爱因斯坦近似）显然有g000.精品文档4.金刚石（碳原子量为金刚石（碳原子量为 1212）的杨氏模量为）的杨氏模量为 10101212NNmm-2-2，密度，密度=3.5gcm=3.5gcm-3-3。试估算它的德。试估算它的德拜温度拜温度 D D=？解：德拜温度DDkBgj()V12V3V224()，g()32323(2)cc2c2cm0g()d3ND C62()1/3杨氏模
7、量近似看作弹性介质时，C 密度m1/2NV1012N m2=1.69104m/s333.510 kgm每摩尔原子数目为 N=6.021023，摩尔质量 m=12g，则摩尔体积V=3.43cm3代入，得m=57.971013最后得D=4427K5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。解：根据量子理论，各简谐振动的零点能为德拜近似下12g()E m3V2232C1g()d2总零点能为03 V234Cm03 V143d23m4C 4由自由度确定的m C62()1/3代回上式中NVE 6 3 N1418N1418N14m3m6 42C3N 462C3N 16m16mVV.9Nm8精品文档6.
8、一根直径为 3mm 的人造蓝宝石晶体的热导率，在 30K 的温度达到一个锐的极大值，试估计此极大值。（蓝宝石在 TD=1000K 时，cV=10-1T3Jm-3K-1）解：D此时声速v mkBm=1.311014在 与晶格常数 10-10m 近似时约为 2.09103，近似作为平均声速代入2热导率cl 5.643103137.NaNa 和和 ClCl 的原子量分别为的原子量分别为 2323 和和 3737。氯化钠立方晶胞边长为。氯化钠立方晶胞边长为 0.56nm0.56nm，在，在100100方向可以方向可以看做是一组平行的离子链。离子间距看做是一组平行的离子链。离子间距d=0.28nmd=0
9、.28nm。NaClNaCl 晶体的杨氏模量为晶体的杨氏模量为 5510101010NNmm-2-2，如果全反射的光频率与如果全反射的光频率与 q=0q=0 的光频模频率相等，求对应的光波波长。的光频模频率相等，求对应的光波波长。解：当 q=0 时，光频支频率为2mM()m M9杨氏模量a 510，且a 0.2810m故1.7910，再同两原子质量一同代入频率式20103.5710201.2310232.361026则波长2c0=1.5310-14m8.立方晶体有三个弹性模量立方晶体有三个弹性模量 C C1111，C C1212和和 C C4444。铝的铝的 C C1111=10.82=10.8210101010NNmm-2-2，C C4444=2.85=2.8510101010NNmm-2-2，铝沿铝沿100100方向传播的弹性波纵波速度方向传播的弹性波纵波速度lC11，横波速度，横波速度tC44，AlAl 的密度的密度=2.7010=2.70103 3kgkgmm-3-3。求德拜模型中铝的振动模式密度。求德拜模型中铝的振动模式密度 g()g()。33解：由题条件知l 6.3310，t 3.251011211()1.11033l3t3若所考虑的晶体体积为V，则1g()3V2 5.31012V232.