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1、高等数学（一）高等数学（一）、（二）（二）（上）试题（上）试题（A A）评分标准与分工评分标准与分工一、一、填填空题空题（每小题 4 分,共 24 分）1e.2a.3(2,2ln4).4.5y (C1C2x)ex）.6.12注：该题评分原则是非对即错非对即错二、选择题选择题(每小题 4 分,共 20 分)D C BB C三、三、（5 5 分）分）解:limsin x tan xsin x tan x limx0 x0sin x3x31x2cos x 11 lim3sin x lim22-5 分x0 x cos xx02x注：该题评分原则体现方法体现方法 3 3 分、结果正确分、结果正确 2 2
2、 分分；主要有以下几种方法1）洛必达法则、2）等价无穷小替换、3）其他四、（8 8 分）分）解:dydydtdydxdxdtdxdtdt(11)21t2t1t2t；-4 分2d2yd dyd t dx1t2.-4 分 2dx dxdt2dt4tdxdxdex五、（8 8 分）分）1）x-4 分x2xe e1 ex arctane C-4 分221 cos2x2122dx x dx x cos2xdx2 分2）.解:x cos xdx x000220（第一个积分 1 分；第二个积分 3 分）0 x2cos2xdx 1202x2d sin2x 1x sin2x|20023 分1sin2xdx20=
3、10 xd cos2x 1xcos2x|10cos2xdx 222233 分原式 164注：本题主要考察学生对分部积分的内容的掌握情况。六、六、（1010 分）解：分）解：，两曲线交点为(1,1);(3,9)，-2设平面图形 D 的面积为 A，则dA 2x 3 x dxA 2x1,3312x 3 x2dx-432-43七、七、（1212 分）解：分）解：点P(x,y)直线 OP 斜率为yy，由题意得xy x为一阶非齐次线性微分方程-2xxdx11）曲线 L 的方程为：y exe2xdx1dx C-2 x Cx-2注意：可直接用常数变易法求解此结果：解齐次方程解齐次方程 2 2 分、非齐次次分、
4、非齐次次 2 2 分分2 2）设）设x0,1时曲线与轴围成的面积绕轴旋转体积为V，则V(C)(x012Cx)dx-22C2C1)-1(325令V(C)0得惟一驻点C y x 23为体积最小值点，所以所求曲线为43x-243C2C1)最小体积为V()(-13C43258042x八、八、（5 5 分）分）证：令F(x)tf(t)dt xf(t)dt，x 0，则F(0)0-103012x由于F(x)xf(x)f(t)dt且F(0)0.（1）330 x1F(x)f(x)f(x)且F(0)0.（2）33xF(x)f(x)0.（3）-23所以，当x 0时由（3）知F(x)单增，故有F(x)F(0)0；由此
5、知F(x)单增，F(x)F(0)0从而F(x)单增，所以F(x)F(0)0 x2xtf(t)dt xf(t)dt成立-2 证毕即：030 x注意：本题考察导数应用：用函数单调性证明不等式。遇有其他情况可参考给分（泉：七、七、（1212 分）解：分）解：点P(x,y)直线 OP 斜率为yy，由题意得xy x为一阶非齐次线性微分方程-2 分xxdx11）曲线 L 的方程为：y exe2xdx1dx C-2 分 x Cx-2分代入点M(1,0)得y x2 x-1分2 2）设）设x0,1时曲线与轴围成的面积绕轴旋转体积为V，则V 12(x02 x)dx-2 分-3 分30泉：八、八、（5 5 分）分）证：设F(x)xf(x)f(x)且F(0)0-1F(x)xf(x)0-2由上知F(x)单增，所以，当x 0时F(x)F(0)0即：xf(x)f(x)成立-2）