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1、三角函数诱导公式、万能公式、三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、和差化积公式、倍角公式等公式倍角公式等公式总结及其推导总结及其推导三角函数诱导公式：三角函数诱导公式：诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。“奇、偶”指的是“奇、偶”指的是/2/2 的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角象限”的含义是：把角 看做锐角，不考虑看做锐角，不
2、考虑 角所在象限，看角所在象限，看n n(/2)/2)是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。符号判断口诀：符号判断口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“”；“+”，其余全部是“”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“”；“”；第四象限内只有余弦
3、是“+”，其余全部是“”。第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“”。“ASCT”反“ASCT”反 Z Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母字母 Z Z 反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。三角函数诱导公式三角函数诱导公式-其他三角函数知识其他三角函数知识同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式倒数关系倒数关系tantan cotcot=1=1sinsin csccsc=1=1coscos secsec=1=1商的关系商的关系sinsin
4、/cos/cos=tan=tan=sec=sec/csc/csccoscos/sin/sin=cot=cot=csc=csc/sec/sec平方关系平方关系sin2(sin2()+cos2()+cos2()=1)=11+tan2(1+tan2()=sec2()=sec2()1+cot2(1+cot2()=csc2()=csc2()同角三角函数关系六角形记忆法同角三角函数关系六角形记忆法构造以构造以 上弦、中切、下割；左正、右余、中间上弦、中切、下割；左正、右余、中间 11的正六边形为模型。的正六边形为模型。倒数关系倒数关系对角线上两个函数互为倒数；对角线上两个函数互为倒数；商数关系商数关系六边
5、形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面 4 4 个也存在这种关系。）。个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。由此，可得商数关系式。平方关系平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式两角和差公式sinsin（+）=sincos+cossin（+）=sincos
6、+cossinsinsin（）=sincos（）=sincos-cossincossincoscos（+）=coscos（+）=coscos-sinsinsinsincoscos（）=coscos+sinsin（）=coscos+sinsintantan（+）=(tan+tan)/(1tan（+）=(tan+tan)/(1tan tan)tan)tantan（）=(tantan)/(1+tan（）=(tantan)/(1+tan tan)tan)二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2=2sincossin2=2sincoscos2=cos2()sin2()=2cos2
7、()cos2=cos2()sin2()=2cos2()1=11=12sin2()2sin2()tan2=2tan/(1tan2()tan2=2tan/(1tan2()半角的正弦、余弦和正切公式半角的正弦、余弦和正切公式sin2(/2)=(1cos)/2sin2(/2)=(1cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2tan2(/2)=(1cos)/(1+cos)tan2(/2)=(1cos)/(1+cos)tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+costan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos万能公式万能公式sin=2tan(/2
8、)/(1+tan2(/2)sin=2tan(/2)/(1+tan2(/2)cos=(1tan2(/2)/(1+tan2(/2)cos=(1tan2(/2)/(1+tan2(/2)tan=(2tan(/2)/(1tan2(/2)tan=(2tan(/2)/(1tan2(/2)三倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3=3sin4sin3()sin3=3sin4sin3()cos3=4cos3()3coscos3=4cos3()3costan3tan3=(3tantan3()/(13tan2()=(3tantan3()/(13tan2()三角函数的和差化积公式三角函数的和差化
9、积公式sinsin+sin+sin=2sin(=2sin(+)/2)/2)cos(cos()/2)/2)sinsinsinsin=2cos(=2cos(+)/2)/2)sin(sin()/2)/2)coscos+cos+cos=2cos(=2cos(+)/2)/2)cos(cos()/2)/2)coscoscoscos=2sin(2sin(+)/2)/2)sin(sin()/2)/2)三角函数的积化和差公式三角函数的积化和差公式=2sin=2sin2sin3(2sin3()+sin)+sin2sin3(2sin3()=3sin=3sin4sin3(4sin3()cos3cos3=cos(2=c
10、os(2+)=cos2)=cos2coscossin2sin2sinsin=(2cos2(=(2cos2()1)cos1)cos2cos2cossin2(sin2()=2cos3(=2cos3()coscos+(2cos+(2cos2cos3(2cos3()=4cos3(=4cos3()3cos3cos即即sin3sin3=3sin=3sin4sin3(4sin3()cos3cos3=4cos3(=4cos3()3cos3cos和差化积公式推导和差化积公式推导首先首先,我们知道我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*si
11、nbsin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosbsin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理同理,若把两式相减若把两式相减,就得到就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的同样的,我们还知道我
12、们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinbcos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以所以,把两式相加把两式相加,我们就可以得到我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosbcos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理同理,两式相减我们就得到两式相减我
13、们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样这样,我们就得到了积化和差的四个公式我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a
14、+b)-cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好好,有了积化和差的四个公式以后有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形我们只需一个变形,就可以得到和差化就可以得到和差化积的四个公式积的四个公式.我们把上述四个公式中的我们把上述四个公式中的 a+ba+b设为设为x,a-bx,a-b设为设为y,y,那么那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把把 a,ba,b 分别用分别用 x,yx,y 表示就可以得到和差化积的四个公式表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)