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1、-5.5.角平分线、垂直平分线角平分线、垂直平分线知识考点：知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：精典例题：【例题】如图，已知在ABC中，ABAC，B300，AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，求证：CF2BF。分析一：要证明 CF2BF，由于 BF 与 CF 没有直接联系，联想题设中 EF 是中垂线，根据其性质可连结 AF，则BFAF。问题转化为证CF2AF，又BC300，这就等价于要证CAF900，则根据含 300角的直角三角形的性质可得CF2AF2BF。分析二：要证明 CF2BF，联想B300，EF 是 AB 的
2、中垂线，可过点 A 作 AGEF交 FC 于 G 后，得到含 300角的 RtABG，且 EF 是 RtABG 的中位线，因此 BG2BF2AG，再设法证明 AGGC，即有 BFFGGC。分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作ADBC 于 D，则 BDCD，考虑到B300，不妨设 EF1，再用勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。探索与创新：探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，ABC中，AD 是角平分线。求证：分析：要证BDAB。DCACBDAB，一般只要证BD、
3、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所在DCACBDAB中，AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项，DCAC三角形相似，现在 B、D、C 在同一条直线上，ABD 与ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式所以考虑过 C 作 CEAD 交 BA 的延长线于 E，从而得到BD、CD、AB 的第四比例项 AE，这样，证明BDAB就可以转化为证 AEAC。DCACE3AEAC证明：过 C 作 CEAD 交 BA 的延长线于 E1 2CEAD2 31 ECEADBDABBDABDCAEDCAC（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分
4、析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（）数形结合思想转化思想分类讨论思想答案：转化思想（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知 AD 是ABC 中BAC 的角平分线，AB5 cm，AC4 cm，BC7 cm，求 BD 的长。.z.第 3 题图-答案：359cm评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：跟踪训练：中垂线、中线、角平分线一、填空题：一、填空题：1、如图，A520，O 是 AB、AC 的垂直平分线的交点，则OCB。2、如图，已知 ABAC，A440，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则DBC。B B3、如图，在ABC 中，C9
5、00，BE ED D150，AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D点，E 为垂足，若 BD8，则 AC。A AC C4、如图，在ABC 中，ABAC，DE 是AB 的垂直平分线，BCE 的周长为 24，BC10，则 AB。5、如图，EG、FG 分别是MEF 和NFE 的角平分线，交点是G，BP、CP 分别是MBC和NCB 的角平分线，交点是P，F、C 在 AN 上，B、E 在 AM 上，若G680，则P。NACCA AE EFGDPFED1234BABABEMC选择第 1 题图选择第 2 题图B BF FC CD D填空第 5 题图选择第三题二、选择题：二、选择题：1、如图，ABC 的角平分线
6、 CD、BE 相交于点 F，且A600，则BFC 等于（）A、800B、1000 C、1200D、14002、如图，ABC 中，12，34，若D360，则C 的度数为（）A、820B、720C、620D、5203、如图ABC 的外角平分线 CEAB，中线AF 分ABC 的周长为 23 两部分，若ABC的周长为 30cm，则它的三边长分别是（）A、8 cm、8 cm、14cmB、12 cm、12 cm、6cmC、8 cm、8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm、6cmD、以上答案都不对.z.-4、如图，RtABC 中，C900，CD 是 AB 边上的高，CE 是中线，CF 是ACB 的平
7、分线，图中相等的锐角为一组，则共有（）A、0 组 B、2 组 C、3 组D、4 组AECF DB选择第 4 题图5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定三、解答题：三、解答题：1、如图，RtABC 的A 的平分线与过斜边中点 M 的垂线交于点 D，求证：MAMD。2、在ABC 中，ABAC，D、E 在 BC 上，且 DEEC，过 D 作DFBA 交 AE 于点 F，DFAC，求证：AE 平分BAC。3、如图，在ABC 中，B22.5，C60，AB 的垂直平分线00DBMA第 1 题图ACF交 BC 于点 D，BD6
8、 2，AEBC 于点 E，求 EC 的长。4、如图，在 RtABC 中，ACB900，ACBC，D 为 BC的中点，CEAD，垂足为 E，BFAC 交 CE 的延长线于点 F，求证 AB 垂直平分 DF。BABADECF第 2 题图DEDECCB第 3 题图F参考答案参考答案一、填空题：一、填空题：第 4 题图1、380；2、240；3、4；4、14；5、680二、选择题：二、选择题：CBCDB三、解答题：三、解答题：1、证明：过 A 作 ANBC 于 N，则B+C=B+BAN=90C=BANM 是 BC 的中点AM=CMCAM=C=BANAD 是A 的平分线BAD=CADDAN=MADAN/DM.z.-ADM=DAN=MADMA=MD2、证明：延长 FE 到 G，使 EGEF，连结 CG，DEF=CEG，DE=CEDEFCEGDF=CG，DFG=GDFACAC=CGCAG=G=DFGDFBABAG=DFG=CAGAE 平分BAC3、连结 AD，DF 为 AB 的垂直平分线，ADBD6 2，BDAB22.50ADE450，AE226 26AD22又C600ECAE3632 34、证明：CAD+ADC=BCF+ADC=90CAD=BCFACD=CBF=90，AC=BCACDCBFCD=BFCD=BDBD=BFDBA=ABF=45AB 垂直平分 DF.z.