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1、.(经典经典)最全余弦定理的最全余弦定理的 1010 种证明方法种证明方法王彦文王彦文青铜峡一中青铜峡一中一、余弦定理一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知AB c,BC a,CA b,则有a2 b2c22bccos A,b2 c2a22cacosB,c2 a2b22abcosC.二、定理证明二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC中,已知AB c,AC b,及角A,求证:a2 b2c22bccos A.uuu ruuu ruuu r证法一证法一:如图 1,在ABC中,由CB AB AC可得
2、:uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu rCBCB (AB AC)(AB AC)C Cuuu r2uuu r2uuu r uuu r AB AC 2AB AC b2c22bccos AA AB B图1即,a2 b2c22bccos A.证法二证法二:本方法要注意对A进行讨论.(1)当A是直角时,由b2c22bccos A b2c22bccos90 b2c2 a2知结论成立.(2)当A是锐角时,如图 2-1,过点C作CD AB,交AB于点D,则在RtACD中,AD bcosA,CD bsin A.从而,BD AB AD cbcosA.在RtBCD中,由勾股定理可得:BC2
3、BD2CD2(cbcos A)2(bsin A)2 c22cbcos Ab2A AD D图2-1B BC C.即,a2 b2c22bccos A.说明:图 2-1 中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.(3)当A是钝角时,如图 2-2,过点C作CD AB,交BA延长线于点D,则在RtACD中,AD bcos(A)bcos A,CD bsin(A)bsin A.从而,BD AB AD cbcosA.在RtBCD中,由勾股定理可得:C CBC BD CD(cbcos A)2(bsin A)2 c22cbcos A
4、b2D DA A图2-2B B222即,a b c 2bccos A.综上(1),(2),(3)可知,均有a2 b2c22bccos A成立.证法三证法三:过点A作AD BC,交BC于点D,则C CD D222BDAD在RtABD中,sin,cos.ccCDAD在RtACD中,sin,cos.bb由cos A cos()coscossinsin可得:A A 图3B Bcos A AD ADBD CDAD BDCDcbcbbc22AD22BDCDc2 BD2b2CD22BDCD2bc2bcb2c2(BDCD)2b2c2a22bc2bc整理可得a2 b2c22bccos A.证法四证法四:在ABC
5、中,由正弦定理可得abcc.sin Asin BsinCsin(A B)从而有bsin A asinB,csin A asin(A B)asin AcosBacos Asin B.将带入,整理可得acosB cbcos A.将,平方相加可得a2(cbcos A)2(bsin A)2 b2c22bccos A.即,a2 b2c22bccos A.证法五证法五:建立平面直角坐标系(如图 4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcos A,bsin A),再由两点间距离公式可得a2(cbcos A)2(bsin A)2 c22cbcos Ab2.即,a2 b2c22bccos A.A(
6、O)A(O)图4B Bx xy yC C证法六证法六:在ABC中,由正弦定理可得a 2Rsin A,b 2RsinB,c 2RsinC.于是,a2 4R2sin2A 4R2sin2(B C)4R2(sin2Bcos2C cos2Bsin2C 2sin BsinCcosBcosC)4R2(sin2Bsin2C 2sin2Bsin2C 2sin BsinCcosBcosC)4R2(sin2Bsin2C 2sin BsinCcos(B C)4R2(sin2Bsin2C 2sin BsinCcos A)(2Rsin B)2(2RsinC)22(2Rsin B)(2Rsin B)cos A b2c22b
7、ccos A即,结论成立.证法七证法七:在ABC中,由正弦定理可得a 2Rsin A,b 2RsinB,c 2RsinC.于是,a2 b2c22bccos A 4R2sin2A 4R2sin2B4R2sin2C 8R2sin BsinCcos A 2sin2A 2sin2B2sin2C 4sin BsinCcos A 2sin2A 2cos2Bcos2C 4sin BsinCcos A 22cos2A 22cos(BC)cos(BC)4sin BsinCcos A由于cos(BC)cos(A)cos A,因此 cos2A cos(BC)cos(BC)2sin BsinCcos A.cos A
8、cos(BC)2sin BsinC cos A cosBcosC sin BsinC cos(BC).这,显然成立.即,结论成立.证法八证法八:如图 5,以点C为圆心,以CA b为半径作e C,直线BC与e C交于点D,E,延长AB交e C于F,延长AC交e C于G.则由作图过程知AF 2bcosA,故BF 2bcosAc.由相交弦定理可得:BABF BDBE,即,c(2bcos Ac)(ba)(ba),整理可得:a b c 2bccos A.222F F2bcosA-c2bcosA-cB Ba aG Gb bb bC Cb bE Eb-ab-ac cA AD D图5证法九证法九:如图6,过C
9、作CDAB,交ABC的外接圆于D,则AD BC a,BD AC b.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,则AE BF bcos A,故CD c2bcos A.由托勒密定理可得ADBC ABCD ACBD,即,aa c(c2bcos A)bb.b bC CD D整理可得:a b c 2bccos A.证法十证法十:由图 7-1 和图 7-2 可得a2(cbcos A)2(bsin A)2,整理可得:a2 b2c22bccos A.A AE E222a aa ac c图6F FB BC CE EA AbsinAbsinAa aB BC CbsinAbsinAD Dc-bcosAc-bcosAc-bcosAc-bcosAa aB BbcosAbcosAD D余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.图7-1图7-2.