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1、第二十二章第二十二章二次函数二次函数一、二次函数的有关概念：一、二次函数的有关概念：1、二次函数的定义：2b，c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。一般地，形如y ax bx c（a，2、二次函数解析式的表示方法2y ax bx c（a，b，c为常数，a 0）（1）一般式：；2y a(x h)k（a，h，k为常数，a 0）（2）顶点式：；（3）两根式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.2y ax bx c图象的画法图象的画法二、二次函数二、二次函数1.基本方法：描点法2注：五点绘图法。利用配方法将二次函数y ax bx c化为顶点式y a(x
2、h)2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及00，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.2.画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.三、二次函数的图像和性质三、二次函数的图像和性质2y ax bx c的性质1.二次函数（1）.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为b4ac b2，2a4ax b2a，顶点坐标为当x bbx 2a时，y随x的增大而减小；当2a时，y随x的增大而增大；4acb2bx 2a时，y
3、有最小值4a当（2）.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为1x b2a，顶点坐标为b4ac b2，4a2a当x bbx 2a时，y随x的增大而增大；当2a时，y随x的增大而减小；4acb2bx 2a时，y有最大值4a当2.二次函数a的的y ax h k2的性质：性质性质x h时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；符号符号开开顶顶 点点对对口方向口方向坐标坐标称轴称轴a 0向向上上h，kX=hX=hx h时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；x h时，时，y有最小值有最小值kx h时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；a 0向向下下h，kX=hX=hx h时，时，y随随x的增大
4、而增大；的增大而增大；x h时，时，y有最大值有最大值k四、二次函数图象的平移四、二次函数图象的平移概括成八个字“左加右减，上加下减”五、二次函数与一元二次方程：五、二次函数与一元二次方程：22一元二次方程ax bx c 0是二次函数y ax bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：2A x，0，B x，0 当 b 4ac 0时，图象与x轴交于两点12(x1 x2)，其2ax bx c 0a 0 x，x中的12是一元二次方程的两根这两点间的距离b24acAB x2 x1a.当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.21当a 0时，图象落在x轴的上方，无论
5、x为任何实数，都有y 0；2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0六、二次函数中的符号问题六、二次函数中的符号问题 1.二次项系数aa决定了抛物线开口大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在a 0的前提下，b0b 02a当时，即抛物线的对称轴在y轴左侧；b0b 02a当时，即抛物线的对称轴就是y轴；b0b02a当时，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即b0b 02a当时，即抛物线的对称轴在y轴右侧；b0b 02a当时，即抛物线的对称轴就是y轴；b0b02a当
6、时，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结：“左同右异”3.常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；3 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置七、二次函数解析式的确定：七、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4