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1、三角形全等之倍长中线三角形全等之倍长中线(含答案含答案和练习和练习)三角形全等之倍长中线三角形全等之倍长中线1.1.如图，如图，ADAD 为为ABCABC 的中线的中线（1 1）求证：）求证：ABAB+ACAC 22ADAD（2 2）若）若 ABAB=5=5，ACAC=3=3，求，求 ADAD 的取值范围的取值范围2.2.如图，在如图，在ABCABC 中，中，ADAD 平分平分BACBAC，且，且 BDBD=CDCD求证：求证：ABAB=ACACABDCABDC求证：求证：CECE=2=2CDCD；CBCB 平分平分DCEDCE4.4.如图，在如图，在ABCABC 中，中，D D 是是 BCB
2、C 边的中点，边的中点，E E 是是 ADAD 上一点，上一点，BEBE=ACAC，BEBE 的延长线交的延长线交 ACAC 于点于点 F F3.3.如图，如图，CBCB 是是AECAEC 的中线，的中线，CDCD 是是ABCABC 的中线，且的中线，且 ABAB=ACACCEBADAFE求证：求证：AEFAEF=EAFEAFBCD5.5.如图如图，在在ABCABC 中中，ADAD 交交 BCBC 于点于点 D D，点点 E E 是是 BCBC 的中点的中点，EFEFADAD 交交 CACA 的延长线于点的延长线于点 F F，交交 ABAB 于点于点 G G，BGBG=CFCF求证：求证：AD
3、AD 为为ABCABC 的角平分线的角平分线2 23 3【参考答案】【参考答案】1.1.（1 1）证明：如图，）证明：如图，AB21 DCE延长延长 ADAD 至至 E E，使，使 DEDE=ADAD，连接，连接 BEBE，AEAE=2=2ADADADAD 是是ABCABC 的中线的中线BDBD=CDCD在在BDEBDE 和和CDACDA 中中BD CD1 2ED ADBDEBDECDACDA（SASSAS）BEBE=ACAC在在ABEABE 中，中，ABAB+BEBE AEAEABAB+ACAC22ADAD（2 2）解：由可知）解：由可知AEAE=2AD2AD，BEBE=ACAC在在ABEA
4、BE 中，中，ABAB BEBE AEAE ABAB+BEBEACAC=3=3，ABAB=5=54 45 5 33AEAE5+35+32222ADAD8811ADAD442.2.证明：如图，延长证明：如图，延长 ADAD 到到 E E，使，使 DEDE=ADAD，连接，连接 BEBEA1 2B34DCE在在ADCADC 和和EDBEDB 中中CD BD3 4AD EDADCADCEDBEDB（SASSAS）ACAC=EBEB，2=2=E EADAD 平分平分BACBAC1=1=2 21=1=E EABAB=BEBEABAB=ACAC3.3.证明：如图，证明：如图，C451EB32DAF延长延长
5、 CDCD 到到 F F，使，使 DFDF=CDCD，连接，连接 BFBF5 5CFCF=2=2CDCDCDCD 是是ABCABC 的中线的中线BDBD=ADAD在在BDFBDF 和和ADCADC 中中BD AD2 1DF DCBDFBDFADCADC（SASSAS）BFBF=ACAC，3=3=A ACBCB 是是AECAEC 的中线的中线BEBE=ABABACAC=ABABBEBE=ACACBEBE=BFBFCBECBE 是是ABCABC 的一个外角的一个外角CBECBE=BCABCA+A A=BCABCA+3 3ACAC=ABABBCABCA=CBACBACBECBE=CBACBA+3 3
6、=CBFCBF在在CBECBE 和和CBFCBF 中中CB CBCBE CBFBE BFCBECBECBFCBF（SASSAS）CECE=CFCF，4=4=5 5CECE=2=2CDCDCBCB 平分平分DCEDCE4.4.证明：如图，延长证明：如图，延长 ADAD 到到 MM，使，使 DMDM=ADAD，连接，连接 BMBMAFEBDCM6 6D D 是是 BCBC 边的中点边的中点BDBD=CDCD在在ADCADC 和和MDBMDB 中中CD BDADC MDBAD MDADCADCMDBMDB（SASSAS）CADCAD=MM，ACAC=MBMBBEBE=ACACBEBE=MBMBMM=
7、BEMBEMCADCAD=BEMBEMAEFAEF=BEMBEMCADCAD=AEFAEF即即AEFAEF=EAFEAF5.5.证明：如图，延长证明：如图，延长 FEFE 到到 MM，使，使 EMEM=EFEF，连接，连接 BMBMFG3BEA12DCM点点 E E 是是 BCBC 的中点的中点BEBE=CECE在在CFECFE 和和BMEBME 中中FE MECEF BEMCE BECFECFEBMEBME（SASSAS）CFCF=BMBM，F F=MMBGBG=CFCFBGBG=BMBM3=3=MM3=3=F FADADEFEF7 72=2=F F，1=1=3 31=1=2 2即即 ADA
8、D 为为ABCABC 的角平分线的角平分线6.6.解：如图，延长解：如图，延长 AFAF 交交 BCBC 的延长线于点的延长线于点 G GA5 43D1F2CGBEADADBCBC3=3=G G点点 F F 是是 CDCD 的中点的中点DFDF=CFCF在在ADFADF 和和GCFGCF 中中3 G1 2DF CFADFADFGCFGCF（AASAAS）ADAD=CGCGADAD=2.7=2.7CGCG=2.7=2.7AEAE=BEBE5=5=B BABABAFAF4+4+5=905=90B B+G G=90=904=4=G GEGEG=AEAE=5=5CECE=EGEG CGCG=5=5 2
9、.72.7=2.3=2.37.7.证明：如图，延长证明：如图，延长 EGEG，交，交 CDCD 的延长线于的延长线于 MM8 8MAGFC由题意，由题意，FEBFEB=90=90，DCBDCB=90=90EBDDCBDCB+FEBFEB=180=180EFEFCDCDFEGFEG=MM点点 G G 为为 FDFD 中点中点FGFG=DGDG在在FGEFGE 和和DGMDGM 中中FEG MFGE DGMFG DGFGEFGEDGMDGM（AASAAS）EFEF=MDMD，EGEG=MGMGFEBFEB 是等腰直角三角形是等腰直角三角形EFEF=EBEBBEBE=MDMD在正方形在正方形 ABC
10、DABCD 中，中，BCBC=CDCDBEBE+BCBC=MDMD+CDCD即即 ECEC=MCMCECMECM 是等腰直角三角形是等腰直角三角形EGEG=MGMGEGEGCGCG，ECGECG=MCGMCG=45=45EGEG=CGCG全等三角形之倍长中线每日一题全等三角形之倍长中线每日一题1.1.（4 4 月月 2121 日）已知：如图，在梯形日）已知：如图，在梯形 ABCDABCD 中，中，ADADBCBC，ABAB=ADAD+BCBC，E E 是是 CDCD 的中点的中点求证：求证：AEAEBEBE9 9ADEBC2.2.（4 4 月月 2222 日）已知：如图，日）已知：如图，ABC
11、ABC 与与BDEBDE 均为等腰直角三均为等腰直角三角形，角形，BABAACAC，EDEDBDBD，垂足分别为，垂足分别为 A A，D D，连接，连接 ECEC，F F为为 ECEC 中点，连接中点，连接AFAF，DFDF，猜测，猜测AFAF，DFDF 的数量关系和位置的数量关系和位置AEDF关系，并说明理由关系，并说明理由BC3.3.（4 4 月月2323日）已知：如图，日）已知：如图，D D 为线段为线段ABAB的中点，在的中点，在ABAB上任取一点上任取一点C C（不与点（不与点A A，B B，D D 重合）重合），分别以分别以ACAC，BCBC 为斜边在为斜边在ABAB 同侧作等腰同
12、侧作等腰 RtRtACEACE 与等腰与等腰 RtRtBCFBCF，AECAEC=CFBCFB=90=90，连，连接接 DEDE，DFDF，EFEF求证：求证：DEFDEF 为等腰直角三角形为等腰直角三角形1010FEACDB4.4.（4 4 月月 2424 日）已知：如图，在四边形日）已知：如图，在四边形ABCDABCD 中，中，ABABDCDC，E E为为 BCBC 边的中点，边的中点，BAEBAE=EAFEAF，AFAF 与与 DCDC 的延长线相交于的延长线相交于点点 F F试探究线段试探究线段ABAB 与与 AFAF，CFCF 之间的数量关系，并说明理之间的数量关系，并说明理BE由由
13、【参考答案】【参考答案】1.1.证明：延长证明：延长 AEAE 交交 BCBC 的延长线于点的延长线于点 F F1111ADCFADEBCFADADBCBCD D=DCFDCF，DAEDAE=F FE E 是是 CDCD 的中点的中点DEDE=CECE在在ADEADE 和和FCEFCE 中中D FCEDAE FDE CEADEADEFCEFCE（AASAAS）ADAD=FCFC，AEAE=FEFEABAB=ADAD+BCBCABAB=CFCF+BCBC=BFBF在在ABEABE 和和FBEFBE 中中AB FBBE BEAE FEABEABEFBEFBE（SSSSSS）AEBAEB=FEBFE
14、B=90=90即即 AEAEBEBE2.2.解：解：AFAFDFDF，AFAF=DFDF，理由如下：，理由如下：延长延长 DFDF 交交 ACAC 于点于点 P P.1212AEDBBABAACAC，EDEDBDBDBACBAC=EDA=EDA=9090DEDEACACDECDEC=ECAECAF F 为为 ECEC 中点中点EFEF=CFCF在在EDFEDF 和和CPFCPF 中中DEF PCFEF CFEFD CFPFPCEDFEDFCPFCPF（ASAASA）DEDE=CPCP，DF=PFDF=PFABCABC 与与BDEBDE 均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形ABAB=ACAC，D
15、E=BDDE=BDABAB BD=ACBD=AC DE=ACDE=AC CPCP即即 ADAD=APAP在在DAFDAF 和和PAFPAF中中DF PFAF AFAD APDAFDAFPAFPAF（SSSSSS）DFADFA=PFAPFA=90=90，DAFDAF=PAFPAF=45=45AFAFDFDF，AFAF=DFDF3.3.证明：延长证明：延长 EDED 到点到点 G G，使，使 DGDG=DEDE，连接，连接 BGBG，FGFG1313FEACDGD D 为线段为线段 ABAB 的中点的中点ADAD=BDBD在在EDAEDA 和和GDBGDB 中中ED GDEDA GDBDA DBB
16、EDAEDAGDBGDB（SASSAS）EAEA=GBGB，A A=GBDGBDACEACE 与与BCFBCF 是等腰直角三角形是等腰直角三角形AEAE=CECE=BGBG，CFCF=FBFB，A A=ECAECA=FCBFCB=FBCFBC=45=45ECFECF=90=90，GBFGBF=GBDGBD+FBDFBD=90=90在在ECFECF 和和GBFGBF 中中EC GBECF GBFCF BFECFECFGBFGBF（SASSAS）EFEF=GFGF，EFCEFC=GFBGFBCFBCFB=CFGCFG+GFBGFB=90=90EFGEFG=EFCEFC+CFGCFG=90=90在在
17、EFDEFD 和和GFDGFD 中中EF GFFD FDED GDEFDEFDGFDGFD（SSSSSS）EDFEDF=GDFGDF=90=90，EFDEFD=GFDGFD=45=45DEDE=DFDFDEFDEF 为等腰直角三角形为等腰直角三角形4.4.解：解：ABAB=AFAF+CFCF，理由如下：，理由如下：延长延长 AEAE 交交 DFDF 的延长线于点的延长线于点 G G1414ADBEFCGE E 为为 BCBC 边的中点边的中点BEBE=CECEABABDCDCB B=BCGBCG，BAGBAG=G G在在ABEABE 和和GCEGCE 中中B GCEBAE GBE CEABEA
18、BEGCEGCE（AASAAS）ABAB=GCGCBAEBAE=EAFEAFG G=EAFEAFAFAF=GFGFGCGC=GFGF+FCFCABAB=AFAF+CFCF三角形全等之倍长中线（随堂测试）三角形全等之倍长中线（随堂测试）1.1.在在ABCABC 中，中，ACAC=5=5，中线，中线 ADAD=4=4，则边，则边 ABAB 的取值范围是的取值范围是_2.2.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC 中，中，ABAB ACAC，D D，E E 在在 BCBC 上，且上，且 DEDE=ECEC，过，过 D D 作作 DFDFABAB 交交 AEAE 于于点点 F F，DFDF=ACAC
19、求证：求证：AEAE 平分平分BACBAC1515AFBDEC【参考答案】【参考答案】1.1.33ABAB13 ACAC，E E 为为 BCBC 边的中点，边的中点，ADAD 为为BACBAC 的平分线，过的平分线，过 E E 作作 ADAD 的平行线，交的平行线，交 ABAB 于于 F F，交，交 CACA 的延长线于的延长线于 G G求证：求证：BFBF=CGCGGAFBEDC17175.5.如图，如图，在四边形在四边形 ABCDABCD 中，中，ADADBCBC，点点 E E 在在 BCBC 上，上，点点 F F 是是 CDCD 的中点，的中点，连接连接 AFAF，若若DAFDAF=EA
20、FEAF，求证：，求证：AFAFEFEFADFBEC【参考答案】【参考答案】1.1.2 22.2.证明略（提示：延长证明略（提示：延长 FDFD 到点到点 G G，使得，使得 DGDG=DFDF，连接，连接 AGAG，证明，证明ADGADGEDFEDF，转角证明，转角证明ABAB=EFEF）3.3.证明略（提示：延长证明略（提示：延长 ADAD 到点到点 G G，使得，使得 ADAD=GDGD，连接，连接 CGCG，证明，证明ABDABDGCDGCD，EAFEAFGCAGCA）4.4.证明略（提示：延长证明略（提示：延长 FEFE 到点到点 H H，使得，使得 FEFE=EHEH，连接，连接 CHCH，证明，证明BFEBFECHECHE，转角证明，转角证明BFBF=CGCG）5.5.证明略（提示：延长证明略（提示：延长 AFAF 交交 BCBC 的延长线于点的延长线于点 G G，证明，证明ADFADFGCFGCF，转角证明，转角证明 AFAFEFEF）1818