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1、圆的证明与计算专题讲解圆的证明与计算专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。圆的有关证明圆的有关证明一、圆中的重要定理圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.
2、2.2.圆中几个关键元素之间的相互转化圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。知识点一：判定切线的方法：知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”若
3、切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线方法一：若直线l l 过过O O 上某一点上某一点 A A，证明，证明l l 是是O O 的切线，只需的切线，只需连连 OAOA，证明，证明 OAOAl l 就行了，简称“连半径，证垂直”就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何，难点在于如何证明两线垂直证明两线垂直.例例 1 1如图，在A
4、BC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证：EF 与O 相切.例例 2 2如图，AD 是BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与O 相切.证明一：证明一：作直径 AE，连结 EC.AD 是BAC 的平分线，DAB=DAC.PA=PD，2=1+DAC.2=B+DAB，1=B.又B=E，1=EAE 是O 的直径，ACEC，E+EAC=900.1+EAC=900.即 OAPA.PA 与O 相切.证明二：延长 AD 交O 于 E，连结 OA，OE.AD 是BAC 的平分线，BE=CE，
5、OEBC.E+BDE=900.OA=OE，E=1.PA=PD，PAD=PDA.又PDA=BDE,1+PAD=900即 OAPA.PA 与O 相切说明：说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例例 3 3如图，AB=AC，AB 是O 的直径，O 交 BC 于 D，DMAC 于M求证：DM 与O 相切.例例 4 4如图，已知：AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且CAB=300，BD=OB，D 在 AB 的延长线上.求证：DC 是O 的切线例例 5 5如图，AB 是O 的直径，CDAB，且 OA2=ODOP.求证：PC 是O 的切线.例例 6 6如图，ABCD 是正
6、方形，G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于E，交 CD 于 F.求证：CE 与CFG 的外接圆相切.分析：分析：此题图上没有画出CFG 的外接圆，但CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取 FG 的中点 O，连结 OC，证明 CEOC 即可得解.证明：取 FG 中点 O，连结 OC.ABCD 是正方形，BCCD，CFG 是 RtO 是 FG 的中点，O 是 RtCFG 的外心.OC=OG，3=G，ADBC，G=4.AD=CD，DE=DE，ADE=CDE=450，ADECDE（SAS）4=1，1=3.2+3=900,1+2=900.即 CEOC.CE 与CFG 的外接
7、圆相切方法二：若直线方法二：若直线 l l 与与O O 没有已知的公共点，又要证明没有已知的公共点，又要证明 l l 是是O O的切线，只需作的切线，只需作 OAOAl l，A A 为垂足，证明为垂足，证明 OAOA 是是O O的半径就行了，简称：的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”“作垂直；证半径”(一般用一般用于函数与几何综合题）于函数与几何综合题）例例 1 1：如图，AB=AC，D 为 BC 中点，D 与 AB 切于 E 点.求证：AC 与D 相切.分析：说明：说明：证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有
8、关.例例 2 2：已知：如图，AC，BD 与O 切于 A、B，且 ACBD，若COD=900.求证：CD 是O 的切线.证明一：证明一：连结 OA，OB，作 OECD，E 为垂足.AC，BD 与O 相切，ACOA，BDOB.ACBD，1+2+3+4=1800.COD=900，2+3=900，1+4=900.4+5=900.1=5.RtAOCRtBDO.ACOCOBOD.OA=OB，ACOAOCOD.又CAO=COD=900，AOCODC，1=2.又OAAC，OECD,OE=OA.E 点在O 上.CD 是O 的切线.证明二：连结 OA，OB，作 OECD 于 E，延长 DO 交 CA 延长线于F
9、.AC，BD 与O 相切，ACOA，BDOB.ACBD，F=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E 点在O 上.CD 是O 的切线.证明三：连结 AO 并延长，作 OECD 于 E，取 CD 中点 F，连结 OF.AC 与O 相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD 与O 相切于 B，AO 的延长线必经过点 B.AB 是O 的直径.ACBD，OA=OB，CF=DF，OFAC，1=COF.COD=900，CF=DF，OF 12CD CF.2=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=OA.E 点在O 上.C
10、D 是O 的切线说明：说明：证明一是利用相似三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明 1=2.证明三是利用梯形的性质证明 1=2，这种方法必需先证明 A、O、B 三点共线.课后练习：课后练习：（1）如图，AB是O的直径，BCAB，ADOC交O于D点，求CD证：CD为O的切线；AOB（2）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O，交斜边CAC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是O的切线.DEAOBAD，交（3）如图，以等腰ABC的一腰为直径作O，交底边BC于另一腰于F，若DEAC于E（或E为CF中点），求证：DE是O的切O线.FEBDC（4）如图，AB是O的直径，AE平分B
11、AF，交O于点E，过点EA作直线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点OC，求证：CD是O的切线.CBEFD知识点二：与圆有关的计算知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）
12、；射影定理：所谓射影，就是正投影。其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 RtABC 中,BAC=90,AD 是斜边 BC 上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BDDC,(2)(AB)2;=BDBC,(3)(AC)2;=CDBC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模
13、型（已知线段长度）；构造三角函数(已知有角度的情况）;6 找不到，找相似（2 2）方程思想：方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3 3）建模思想：）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。典型基本图型：典型基本图型：图形图形 1 1：如图 1：AB是O的直径，点E、C是O上的两点，基本结，基本结论有：论有：（1）在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切线”三个论断中，知二推一。（2）如图2、3，DE
14、等于弓形BCE的高；DCDD=AE的弦心距OF（或弓形DDBCE的半弦EF）。AOBAECEFOCECFECBAOBAOKB图1图2图3图4DECGAOB（3）如图（4）：若CKAB于K，则：1CK=CD；BK=DE；CK=22BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;ADCACBAC=AD AB（4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGCD于E时（如图 5），则：图5DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；AD BG=DG2=DC2图形图形 2 2：如图：RtABC中，ACB=90。点O是BAC上一点，以OC为半径作O交AC于点E，基本结论有基本结论有：DGFDC14BBGFHODCOE
15、ACOEAEA图3图1图2（1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）G是BCD的CG=GD内心；BCOCDEBO DE=CO CE=CE2；（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如图（3），若BC=CE，则：AE1=tanADE；BC：AC：AD212AB=3：4：5；（在、中知一推二）设BE、CD交于点H，,则BH=2EH图形图形 3 3：如图：RtABC中，ABC=90,以 AB 为直径作O 交 AC 于D，基本结论有：基本结论有：如右图：（1）DE切OE是BC的中点；（2）若DE切O，则：DE=B
16、E=CE；D、O、B、E四点共圆CED=2ACDCA=4BE2,DERCDBCBDBAAODCEB图形特殊化：在（图形特殊化：在（1 1）的条件下）的条件下如图 1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；DEC如图 2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：CAOBFBE1DE1;REF32ADEOB图形图形 4 4：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：基本结论有：（1）DEACDE切O；（2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；BF图2图1FCEDAOBEF=EC；D是的中点。与基本图形基本图形 1 1 的结论重
17、合。连 AD，产生母子三角形。图形图形 5 5：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于，基本结基本结论有论有：ADEOADEAFOGDEOFB图1CB图2CB图3C（1）如图1：AD+BCCD；COD=AEB=90；OD平分ADC（或OC平分BCD）；（注：在、及“CD是O的切线”四个论断中，知一推三）ADBCAB2=R2；（2）如图2，连AE、CO，则有：COAE，COAE=2R2(与基本图形 2重合)（3）如图 3，若EFAB于F，交AC于G，则：EG=FG.14图形图形 6 6：如图：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ 交直线PQ于R。基本结论有：基本结论有：BEOQRAP
18、REBQOPBBQEOAPROQEPR（1）PQ=PR(PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2图形图形 7 7：如图，ABC内接于O，I为ABC的内心。基本结论有：基本结论有：（1）如图 1，BD=CD=ID；DI2DEDA；AIB=90+ACB;12OBDEICBADOIAEC（2）如图 2，若BAC=60，则：BD+CE=BC.图1图2图形图形 8 8：已知，AB是O的直径，C是中点，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：基本结论有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DEAOG
19、FCHDEB121(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是中点)2BG（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF（3）BEBG=BDBA（4）若12BC=CG=AGD是OB的中点，则：CEF是等边三角形；范例讲解：范例讲解：例题例题 1 1：ABP中，ABP=90，以AB为直径作O交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.（1）求证：CD为O的切线；（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求EF的值。AF例题例题 2 2：直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.求证：CD为O的切线若ADBFB
20、E3的值，求DFAB5BOFEC例题例题 3 3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在O上，ACOP。（1）求证：PC为O的切线。（2）过D点作DEAB，E 为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求DG的值。DB例题例题 4 4（2009 调考）：如图，已知ABC中，以边BC为直径的O与边AB交于点D，点E为的中点，AF为ABC的角平分线，且AFEC。（1）求证：AC与O相切；DEA（2）若AC6，BC8，求EC的长BHO FC家庭练习：家庭练习：BD=DE1如图，RtABC，以AB为直径作O交AC于点D，过D作AE的垂线，F为垂足.（1）求证：DF为O的切线；（2）若DF=3，O的半
21、径为 5，求tanBAC的值.FEADCOBAD=DC2如图，AB为O的直径，C、D为O上的两点，过FDD作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.C（1）求证：EF为O的切线；EAOB（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.3 如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.（1）求证：DE=DF；（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求tanA的值.CFOEBDA4如图，RtABC中，C=90，BD平分ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作O，O交AB于点一点E，EFAC于点F.（1）求证：O与AC相切；（2）若EF=3，
22、BC=4，求tanA的值.BOEAFDC5如图，等腰ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交BC于点D，DEAC于E.（1）求证：DE为O的切线；（2）若BC=4 5，AE=1，求cosAEO的值.CDEAOBBC6如图，BD为O的直径，A为的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.（1）求证：DF为O的切线；（2）若AE=2，DE=4，BDF的面积为8 3，求tanEDF的值.ABODCEF7、如图，AB是O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECF=E（1）求证：CF是O的切线；E（2）设O的半径为 1
23、，且AC=CE3，求AM的长FNAMOCB8、如图，AB是O的直径，BCAB，过点C作O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.（1）求证：AD是O的切线；（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.CEDFAOB9、如图，ABC中，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，且CD=BD.（1）求证：BC是O的切线；（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交O于E，EFAC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.BOMEDHNFAC10、如图，AB是半O上的直径，E是BC 的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F.ADO=B.（1）求证：CF为O的O切线；（2）求 sinBAD的值.FCADOEB11、如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O与AB相交于点E，点F是BE的中点（1）求证：DF是O的切线（2）若AE14，BC12，求BF的长BEFDCOA