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1、第二章第二章 系统数学模型系统数学模型拉氏变换和拉氏反变换拉氏变换和拉氏反变换1 1、拉氏变换、拉氏变换 设函数设函数f f(t t)()(t t 0)0)在任一有限区间上分段连续，在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数且存在一正实常数，使得：，使得：则函数则函数f f(t t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：式中：s s=+j j（，均为实数）；均为实数）；第二章第二章 系统数学模型系统数学模型称为称为拉普拉氏积分拉普拉氏积分；F F(s s)称为函数称为函数f f(t t)的拉普拉氏变换或的拉普拉氏变换或象函象函数数，它是一个复变函数；，它是一个复变函
2、数；f f(t t)称为称为F F(s s)的的原函数原函数；L L为拉氏变换的符号。为拉氏变换的符号。2 2、拉氏反变换、拉氏反变换 L L1 1为拉氏反变换的符号。为拉氏反变换的符号。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型3 3、几种典型函数的拉氏变换、几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数单位阶跃函数1(1(t t)1 10 0t tf f(t t)单位阶跃函数单位阶跃函数第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 指数函数指数函数（a a为常数）为常数）指数函数指数函数0 0t tf f(t t)1 1第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 正弦函数与余弦函数正弦函数与余弦函数 正弦
3、及余弦函数正弦及余弦函数1 10 0t tf f(t t)f f(t t)=sin)=sin t tf f(t t)=cos)=cos t t-1-1由欧拉公式，有：由欧拉公式，有：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型从而：从而：同理：同理：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 单位脉冲函数单位脉冲函数(t t)0 0t tf f(t t)单位脉冲函数单位脉冲函数 1 1 由洛必达法则：由洛必达法则：所以：所以：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 单位速度函数（斜坡函数）单位速度函数（斜坡函数）1 10 0t tf f(t t)单位速度函数单位速度函数1 1第二章第二章 系统数学模
4、型系统数学模型q 单位加速度函数单位加速度函数单位加速度函数单位加速度函数0 0t tf f(t t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。变换表直接或通过一定的转换得到。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型常用拉氏变换表常用拉氏变换表第二章第二章 系统数学模型系统数学模型5 5、拉氏变换的主要定理、拉氏变换的主要定理 叠加定理叠加定理 q 齐次性：齐次性：L L afaf(t t)=)=aLaL f f(t t)，a a为常数；为常数；q 叠加性：叠加性：L L afaf1 1(t t)+)+bfbf2 2(t t)=)=a
5、LaL f f1 1(t t)+)+bLbL f f2 2(t t)a a，b b为常数；为常数；显然，拉氏变换为线性变换。显然，拉氏变换为线性变换。实微分定理实微分定理 第二章第二章 系统数学模型系统数学模型证明：由于证明：由于即：即：所以：所以：同样有：同样有：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型当当f f(t t)及其各阶导数在及其各阶导数在t t=0=0时刻的值均为零时时刻的值均为零时（零初始条件）：（零初始条件）：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 积分定理积分定理 当初始条件为零时：当初始条件为零时：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型证明：证明：同样：同样：第二章第二章
6、系统数学模型系统数学模型当初始条件为零时：当初始条件为零时：延迟定理延迟定理 设当设当t t00时，时，f f(t t)=0)=0，则对任意，则对任意0 0，有：，有：函数函数 f f(t t-)0 0t tf f(t t)f f(t t)f f(t-t-)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 位移定理位移定理 例：例：初值定理初值定理 第二章第二章 系统数学模型系统数学模型证明：证明：其中其中:第二章第二章 系统数学模型系统数学模型初值定理建立了函数初值定理建立了函数f f(t t)在在t t=0=0+处的初值与函数处的初值与函数sFsF(s s)在在s s趋于无穷远处的终值间的关系。趋于
7、无穷远处的终值间的关系。终值定理终值定理 若若sFsF(s s)的所有极点位于左半的所有极点位于左半s s平面，平面，即：即：存在。则：存在。则：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型证明：证明：又由于：又由于：即：即：终值定理说明终值定理说明f f(t t)稳定值与稳定值与sFsF(s s)在在s=0s=0时的初值相同。时的初值相同。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型7 7、求解拉氏反变换的部分分式法、求解拉氏反变换的部分分式法 部分分式法部分分式法如果如果f f(t t)的拉氏变换的拉氏变换F F(s s)已分解成为下列分量：已分解成为下列分量：F F(s s)=)=F F1 1(s
8、s)+)+F F2 2(s s)+)+F Fn n(s s)假定假定F F1 1(s s),),F F2 2(s s),),，F Fn n(s s)的拉氏反变换的拉氏反变换可以容易地求出，则：可以容易地求出，则：L L-1-1 F F(s s)=)=L L-1-1 F F1 1(s s)+)+L L-1-1 F F2 2(s s)+)+L L-1-1 F Fn n(s s)=f f1 1(t t)+)+f f2 2(t t)+)+f fn n(t t)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型在控制理论中，通常：在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将为了应用上述方法，将F F(s s)写成下面的
9、形式：写成下面的形式：式中，式中，-p p1 1，-p p2 2，-p pn n为方程为方程A A(s s)=0)=0的根的负值，的根的负值，称为称为F F(s s)的的极点极点；c ci i=b bi i /a a0 0 (i i=0,1,=0,1,m m)。此时，即可将此时，即可将F F(s s)展开成部分分式。展开成部分分式。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 F F(s s)只含有不同的实数极点只含有不同的实数极点式中，式中，A Ai i为常数，称为为常数，称为s s=-=-p pi i极点处的留数。极点处的留数。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例：求例：求的原函数。的原函数
10、。解：解：即：即：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数f f（t t）解：解：其中：其中：p p1 10 0、p p2 2-2-2、p p3 3-5-5同理：同理：A A2 2=0.5=0.5、A A3 30.60.6其反变换为：其反变换为：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 F F(s s)含有重极点含有重极点 设设F F(s s)存在存在r r重极点重极点-p p0 0，其余极点均不同，则：，其余极点均不同，则：式中，式中，A Ar r+1+1，A An n利用前面的方法求解。利用前面的方法求解。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型第二
11、章第二章 系统数学模型系统数学模型注意到：注意到：所以：所以：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数解：解：B B（s s）0 0有有 p p1 11 1的三重根、的三重根、p p2 20 0的二重根，所以的二重根，所以F F（s s）可以展开为：可以展开为：从而：从而：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例：求例：求的原函数。的原函数。解：解：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型于是：于是：8 8、应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为 s s 的代数的代
12、数方程；方程；q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型原函数原函数（微分方程的解）（微分方程的解）象函数象函数微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程拉氏反变换拉氏反变换拉氏变换拉氏变换解解代代数数方方程程拉氏变换法求解线性微分方程的过程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 实例实例设系统微分方程为：设系统微分方程为：若若x xi i (t t)=1(=1(t t)，初始条件，初始条件0 0，试求，试求x xo o(t)(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换：解：对微分方程左边进行拉氏变换：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型即：即：对方程右边进行拉氏变换：对方程右边进行拉氏变换：从而：从而：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型第二章第二章 系统数学模型系统数学模型查拉氏变换表得：查拉氏变换表得：所以所以：