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1、数值分析数值分析（Numerical Analysis）上海工程技术大学上海工程技术大学基础教学学院基础教学学院数学教学部数学教学部系列课程建设项目小组系列课程建设项目小组江开忠江开忠&教材教材 (Text Book)数值分析数值分析 李庆扬等李庆扬等 编著编著 （华中科技大学出版社）（华中科技大学出版社）&辅导教材辅导教材 (Tutorial Text Book)数值计算方法学习指导书数值计算方法学习指导书 邹秀芬等编邹秀芬等编著著 （武汉大学出版社）（武汉大学出版社）&参考书目参考书目(Reference)Numerical Analysis:Mathematics of Scientif
2、ic Computing (Third Edition)数值分析数值分析 （英文版（英文版 第第3版版 ）David Kincaid&Ward Cheney （机械工业出版社机械工业出版社)Numerical Analysis (Seventh Edition)数值分析数值分析 （第七版（第七版 影印版）影印版）Richard L.Burden&J.Douglas Faires （高等教育出版社）高等教育出版社）网络资源国外数值分析课程网站 http:/基础知识和工具基础知识和工具微积分线性代数常微分方程VC程序设计语言Matlab数学软件学时理论教学：45-48学时（3学分)实践教学：6-9
3、学时1.1.期终闭卷考试占期终闭卷考试占70%70%;2 2.平平 时时 成成 绩绩 占占 2 2 0 0，包包 括括 作作业和课堂回答问题；业和课堂回答问题；3 3.创创新新实实验验成成绩绩占占 1 10 0，根根据据课课堂堂内内容容所所进进行行的的创创新新活活动动，如如科科技技小小论论文文、心心得得体体会会、对对课课程程改改革革的的建建议议等等，以以读读书书报报告告的的形形式式提提交交两两次次考试方法考试方法第一章第一章第一章第一章 绪论绪论绪论绪论(IntroductionIntroduction)1 1 数值分析的对象与特点数值分析的对象与特点数值分析的对象与特点数值分析的对象与特点/
4、*Objects and Object Characteristics*/*Objects and Object Characteristics*/研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题的研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。评估，以及如何在计算机上实现求解等。数值分析课程中所讲述的各种数值方法在科学与数值分析课程中所讲述的各种数值方法在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交叉学科中有着广泛的应用叉学科中有着广泛的应用
5、一、数值分析的对象一、数值分析的对象应用问题举例应用问题举例1 1、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（深度（M M）466 741 950 1422 1634 466 741 950 1422 1634 水温（水温（o oC C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.137.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如（如500500米，米，600600米，米，10001000米米）处的水温）处的水温本课程第二章的内容：插值法本课程第二章的内容：插值法2
6、、用比较简单的函数代替复杂的函数、用比较简单的函数代替复杂的函数误差为最小，即距离为最小误差为最小，即距离为最小（在不同的度量意义下）（在不同的度量意义下）本课程第三章的内容：函数逼近本课程第三章的内容：函数逼近195055196196066207197082992198098705199011433320001267433 3、人口预测、人口预测下下面面给给出出的的是是中中国国 1 19 90 00 0年年 到到 2 20 00 00 0年年的的人人口口数数，我我们们的的目目标标是是预预测测未未来来的的人人口口数数（数数据据量量较较大大时）时）本课程第三章的内容：曲线拟合本课程第三章的内容：
7、曲线拟合4、铝制波纹瓦的长度问题、铝制波纹瓦的长度问题建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的平整的铝板压制而成的.假假若若要要求求波波纹纹瓦瓦长长 4 4英英 尺尺,每每个个波波纹纹的的高高度度(从从 中中心心 线线)为为1 1英英 寸寸,且且每每个个波波纹纹以以近近似似 2 2英英寸寸为为一一个个周周 期期.求求制制做做一一块块波波纹纹瓦瓦所所需需铝铝板板的的长长度度 L L.这个问题就是要求由函数这个问题就是要求由函数f f(x x)=)=sin xsin x给定的曲线从给定的曲线从给定的曲线从给定的曲线从x x=0=0到到
8、到到x x=48=48英寸间的英寸间的英寸间的英寸间的弧长弧长弧长弧长L L.由微积分学我们知道由微积分学我们知道由微积分学我们知道由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法它不能用普通方法来计算来计算.本课程第四章的内容：数值积分本课程第四章的内容：数值积分A，B，C是三种蛋白质，其反应如下：是三种蛋白质，其反应如下：5 5、生物化学反应的例子、生物化学反应的例子我们通过建模可以得到如下方程组我们通过建模可以得到如下方程组y1(0)=1y2(0)=0y3(0)=0A:B:
9、C:本课程第五章的内容：常微分方程的数值方法本课程第五章的内容：常微分方程的数值方法x是行星运动的轨道，它是时间是行星运动的轨道，它是时间t 的函数的函数本课程第六章的内容：非线性方程的数值解法本课程第六章的内容：非线性方程的数值解法6、天体力学中的、天体力学中的Kepler方程方程今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。斗。问上、中、下禾实一秉各几何？问上、中、下禾实一秉各几何？
10、答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-九章算术九章算术7 7、一个两千年前的例子、一个两千年前的例子本课程第七、八章的内容：线性方程组的数值方法本课程第七、八章的内容：线性方程组的数值方法G:Google Matrix,“the worlds largest matrix computation”.4,300,000,000 x:PageRank vector “The$25,000,000,000 Eigenvector”9、Google搜索引擎搜索引擎London,Eng
11、land:Millennium(Wobbly)Bridge(1998-2002,Norman Foster and Partners and Arup Associates)the natural modes and frequencies of a structure are the solution of an eigenvalue problem that is quadratic when damping effects are included in the model.(F.Tisseur,K.Meerbergen,The quadratic Eigenvalue Problem,
12、SiREV 43,2000,pp.235-286)本课程第九章的内容：矩阵特征值问题的数值方法本课程第九章的内容：矩阵特征值问题的数值方法用计算机解决实际问题的步骤用计算机解决实际问题的步骤 建立数学模型建立数学模型 选择数值方法选择数值方法 编写程序编写程序 上机计算结果上机计算结果1、方法是近似的；、方法是近似的；2、与计算机不能分离：上机实习、与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：（掌握一门语言：C语言或语言或Fortran语言，语言，会用一种数学软件：会用一种数学软件：Matlab或或Mathematica，Maple）在我们今后的讨论中，在我们今后的讨论中，误差误差将不可回避，将
13、不可回避，上机实习是需要大家创造条件完成的上机实习是需要大家创造条件完成的二、数值分析的特点二、数值分析的特点一、误差的来源一、误差的来源 /*Sources of error*/来源与分类来源与分类 /*Source&Classification*/从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差 /*Modeling Error*/通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 观测误差观测误差 /*Measurement Error*/求近似解求近似解 方法误差方法误差(截断误差截断误差 Truncation Error）机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入
14、误差 /*Roundoff Error*/2 2 误差误差误差误差 /*/*Error*/Error*/二、误差与有效数字二、误差与有效数字(1)绝对误差绝对误差 /*absolute error*/其中其中 x*为精确值，为精确值，x为为x*的近似值。的近似值。例如：例如：工程上常记为工程上常记为的上限记为的上限记为 ,称为称为绝对误差限绝对误差限/*accuracy*/，(2)相对误差相对误差 (relative error)x 的的相对误差上限相对误差上限 定义为定义为(3)有效数字有效数字（significant digits）问：问：有几位有效数字？请证明你的结论。有几位有效数字？请
15、证明你的结论。有有4 位有效数字，精确到小数点后第位有效数字，精确到小数点后第 3 位。位。用科学计数法，记用科学计数法，记 (其中其中a10）若）若 （即（即an的截取按四舍五入规则）的截取按四舍五入规则）,则称则称x为有为有n 位有效位有效数字数字,精确到精确到10m-n。例例1证明证明(4)误差估计误差估计（Error Estimates）已知已知:则则:已知已知:则则:3 3 误差分析的方法与原则误差分析的方法与原则误差分析的方法与原则误差分析的方法与原则 /*/*Methods and principles*/Methods and principles*/选用数值稳定的计算公式选用
16、数值稳定的计算公式一、防止大数吃小数一、防止大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为假如作一个有效数字为4位的连加运算位的连加运算大数大数1040.1234将小数将小数0.4987,0.4896,0.4697”吃了吃了”而如果将小数放在前面计算而如果将小数放在前面计算在在作作连连加加时时,为为防防止止大大数数吃吃小小数数,应应从从小小到到大大进进行行相相 加加,如如 此此,精精度度将将得得到到适适当当改改善善.当当然然也也可可采采取取别别的方法的方法.二、作减法时应避免相近数相减二、作减法时应避免相近数相减两个相近的数相减两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失会使有效数字的位数严重损失由于由于三、避免小数作除数和大数作乘数三、避免小数作除数和大数作乘数在算法设计中在算法设计中,若可能出现两个相近数相减若可能出现两个相近数相减,则改变则改变计算公式计算公式,如使用三角变换、有理化等等如使用三角变换、有理化等等四、控制误差传播四、控制误差传播计算定积分计算定积分计算过程只取三位有效数字计算过程只取三位有效数字 改写递推式改写递推式当当n增大时增大时