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1、人人 教教 版版 八八 年年 级级 数数 学学 上上 册册学而不思则惘，思而不学则殆。学而不思则惘，思而不学则殆。第十三章第十三章 轴对称轴对称情景引入情景引入合作探究合作探究课堂练习课堂练习课堂小结课堂小结达标测试达标测试13.4 13.4 最短路径问题最短路径问题学习任务内容13.4最短路径问题目目 标标1.能利用轴对称解决简单的能利用轴对称解决简单的能利用轴对称解决简单的能利用轴对称解决简单的最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题.（难点）（难点）（难点）（难点）2.2.体会图形的变化在解决最体会图形的变化在解决最体会图形的变化在解决最体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
2、转化值问题中的作用，感悟转化值问题中的作用，感悟转化值问题中的作用，感悟转化思想（重点）思想（重点）思想（重点）思想（重点）1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB最短，因为两点之间，线段最短最短，因为两点之间，线段最短2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短最短，因为垂线段最短复习回顾3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？三角形三边关系：两边之和大于第三边；三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边斜边大于直角边.4.如图，如何做点如图，如何做点A关于直线关于直
3、线l的对称点？的对称点？AlA 最短路径问题 “两点的所有连线中，线段最短两点的所有连线中，线段最短”“”“连接直线外一点连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我等的问题，我们称之为最短路径问题们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马牧马人饮马问题人饮马问题”及及“造桥选址问题造桥选址问题”.ABPlABCD情景导入牧马人饮马问题如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河
4、边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成抽象成ABl数学问题数学问题作图问题：作图问题：在直线在直线l上求作一点上求作一点C,使使AC+BC最短问题最短问题.实际问题实际问题ABl合作探究【问题问题1】现在假设点现在假设点A,B分别是直线分别是直线l异侧的两个点，如何异侧的两个点，如何在在l上找到一个点，使得这个点到点上找到一个点，使得这个点到点A，点，点B的距离的和最短？的距离的和最短？AlBC根据是根据是“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求，可知这个交点即为所求.连接连接AB,与直线与直线l相交于一点相交于一点C.【问题2】如果点A,B分别是直线l同侧的两个
5、点，又应该如何解决？想一想：想一想：对于问题对于问题2，如何将点，如何将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意上的任意一点一点C，都，都保持保持CB 与与CB的长度相等的长度相等？ABl利用轴对称，作出点利用轴对称，作出点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B.C作法：作法：（1）作点作点B 关于直线关于直线l 的对称点的对称点B；（2）连接连接AB，与直线，与直线l 相交于点相交于点C 则点则点C 即为所求即为所求 ABlB 方法揭晓【问题问题3】你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？ABlB CC 如如图，在直线图，在直线l
6、上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不重合不重合），），连接连接AC，BC，BC 由由轴对称的性质知，轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC证明：证明：在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短造桥选址问题如图，如图，A和和B B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从。桥造在何处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短（假定河的最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM合作探究 1.如图假定任选位
7、置造桥如图假定任选位置造桥MN，连接连接AM和和BN，从，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么，那么怎样确定什么情况下最短呢？情况下最短呢？BA2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？【思维分析思维分析】：我们能否在不改变我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？【思维火花思维火花】【各抒己见各抒己见】1.把把A平移到岸边平移到岸边.2.把把B平移到岸边平移到岸边.3.把桥平移到和把桥平移到和A相连相连.4.把桥平移到和把桥平移到
8、和B相连相连.BA1.把把A平移到岸边平移到岸边.BA()AM+MN+BN长度改变了长度改变了2.把把B平移到岸边平移到岸边.BA（）AM+MN+BN长度改变了长度改变了怎样调整呢？怎样调整呢？BA把把A或或B分别向下或上平分别向下或上平移一个桥长移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢那么怎样确定桥的位置呢?【问题解决问题解决】BAA1MN如图，平移如图，平移A到到A1，使，使AA1等于河等于河宽，连接宽，连接A1B交河岸于交河岸于N作桥作桥MN，此时路径，此时路径AM+MN+BN最短最短.理由理由:另任作桥另任作桥M1N，连接，连接AM，BN，AN.由平移性质可知，由平移性质可知，AMAN，AAM
9、NMN，AMAN.AM+MN+BN转化为转化为，而而转化为转化为.在在ANB中中，由线段公理知由线段公理知A1N1+BN1A1B.因此因此 AM+MN+BN.证明：由平移的性质，得BNEM且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC、DB、CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DBAM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。CDN解决最短路径问题的方法 1.在解决最
10、短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择选择.2.当涉及含有固定线段当涉及含有固定线段“桥桥”的方法是构造平行四边形，的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答从而将问题转化为平行四边形的问题解答.归纳总结1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQl（A）MPQl（B）MPQl（C）MPQl（D）
11、MD课堂练习2.如图，牧童在如图，牧童在A处放马，其家在处放马，其家在B处，处，A、B到河岸的距离分到河岸的距离分别为别为AC和和BD，且，且AC=BD,若点若点A到河岸到河岸CD的中点的距离为的中点的距离为500米，则牧童从米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是是 米米.ACBD河河10003.如图，荆州古城河在如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从处直角转弯，河宽相同，从A处到处到B处，处，须经两座桥：须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使是
12、东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？的路程最短？ADD CCEEB解：作解：作AFCD,且且AF=河宽，作河宽，作BG CE，且且BG=河宽，连河宽，连接接GF,与河岸相交于与河岸相交于E,D.作作DD,EE即为桥即为桥.理由：由作图法可知，理由：由作图法可知，AF/DD，AF=DD，则四边形则四边形AFDD为平行四边形，于是为平行四边形，于是AD=FD,同理，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，由两点之间线段最短可知，GF最小最小.AD CCEEBFGD 原原理理线段公理和垂线段最短线段公理和垂线段最短牧牧马马人人饮饮马马 问问 题题解题方法解题方法造造桥桥选选址
13、址问问题题关键是将固定线段关键是将固定线段“桥桥”平平移，构造平行四边形，将问移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题题转化为平行四形的问题最最短短路路径径问问题题轴对称知识轴对称知识+线段公理线段公理解题方法解题方法课堂小结达标测试AB1.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。作法：EM桥E2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站
14、，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。AaB作法：1.作点B关于直线a的对称点点C,2.连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。CD证明：在直线a上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD,点B.C关于直线a对称,点D.E在直线a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,即AE+ECAD+DB所以抽水站应建在河边的点D处，1.作点C关于直线OA的对称点点D,2.作点C关于直线OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短MNBAO3.
15、某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：DEAOB.EDMNGH证明：在直线证明：在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G，连接，连接 点点D,点点C关于直线关于直线OA对称，点对称，点G.H在在OA上，上，DG=CG,DM=CM,同理同理NC=NE，HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE （两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HCCM+CN+MN 即即CM+CN+MN最短最短Thank you!