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1、第四章 平面问题的极坐标解答半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量。例题1（习题4-9）第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答解：首先检验，已满足。由求应力，代入应力公式得第四章例题再考察边界条件：第四章 平面问题的极坐标解答代入公式，得应力解答，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。第四章例题例题2（习题4-18）第四章 平面问题的极坐标解答（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。解：应用半逆解法求解。第四章例题第四章 平
2、面问题的极坐标解答第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，第四章例题例题3（习题4-19）xy0F第四章 平面问题的极坐标解答（1）经校核，上述满足相容方程。解：（2）代入应力公式，得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答第四章例题将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出(a)第四章 平面问题的极坐标解答（4）本题是多连体，
3、应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。第四章例题由物理方程求出应变分量，第四章 平面问题的极坐标解答代入几何方程，得由前两式积分，得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答将代入第三式，并分开变量，得第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答由式（b）解出第四章例题(b)(c)第四章 平面问题的极坐标解答将式（c）对求导一次，再求出再将上式的代入，得(d)第四章例题显然，式(d)中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须(e)第四章 平面问题的极坐标解答将式（a）代入上式，得将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：第四章例
4、题第四章 平面问题的极坐标解答试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。第四章例题例题4第四章 平面问题的极坐标解答解：由书中式（4-21），当时，用直角坐标系的应力分量表示，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，再代入几何方程，分别积分求出位移分量：第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答由几何方程第一式，得由几何方程第二式，第四章例题两边对积分，得第四章 平面问题的极坐标解答第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答于是得两个常微分方程。式(c)
5、中的前一式为得对式(c)的后一式再求一次导数，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答将和代入的表达式；并由式（c）得第四章例题得解为第四章 平面问题的极坐标解答代入后，得出位移的解答如下，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答而另两个刚体位移分量H和K，因未有约束条件不能求出。代入，得最后的位移解，第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答水平位移是在半平面体的左半表面，铅直沉陷是取B点为参考点，则M点的相对水平位移是第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答 图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。第四章例题例题5第四章 平面问题的极坐标解答解：本题中每
6、一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以引用轴对称应力解：第四章 平面问题的极坐标解答在主要边界上，边界条件是由于，后两式自然满足，而其余两式为第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答得到上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答注意式(c)实际上是式(a)和(b)的组合。由式(a)、(b)、(d)解出第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答其中曲杆中的应力分量为第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答例题6图示的三角形悬臂梁，在上边界受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数求出其应力分量。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答解：应力函数应满足相
7、容方程和边界条件，从中可解出常数第四章例题得出的应力解答是第四章 平面问题的极坐标解答在截面 mn 上，正应力和切应力为第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答例题7图中所示的半平面体，在的边界上受到均布压力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数进行求解，试求其应力分量。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均满足，就可以求出应力分量。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答本题的应力分量用极坐标表示的解答为第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答图中所示的半平面体，在的边界上受到均布切力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数进行求解，试求其应力分量。第四章例题例题8第四章 平面问题的极坐标解答解：校核相容方程和边界条件，若上述应力函数均能满足，就可以求出应力分量。第四章例题第四章 平面问题的极坐标解答本题的应力解答是第四章例题