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1、拓扑优化算法及其实现拓扑优化算法及其实现 马灿马灿马灿马灿2015201520152015年年年年11111111月月月月30303030日日日日拓扑优化简介拓扑优化设计流程算例内容内容拓扑优化：拓扑优化是结构优化的一种。结构优化可分为尺寸优化、形状优化、形貌优化和拓扑优化。尺寸优化以参数为优化对象，比如板厚、梁的截面宽、长和厚等；形状优化以结构件外形或者孔洞形状为优化对象，比如凸台过渡倒角的形状等；形貌优化是在已有薄板上寻找新的凸台分布，提高局部刚度；拓扑优化以材料分布为优化对象，通过拓扑优化，可以在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方案。拓扑优化相对于尺寸优化和形状优化，具有更多的设计
2、自由度，能够获得更大的设计空间，是结构优化最具发展前景的一个方面。优化设计过程：将区域离散成足够多的子区域，对这些子区域进行结构分析，再按某种优化策略和准则从这些子区域中删除某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。拓扑优化拓扑优化变密度法Level Set法(水平集法)ICM(独立映射法)ESO(进化法)拓扑优化建模方法SIMP（Solid Isotropic Microstructures with Penalization）(固体各向同性惩罚函数法）RAMP（Rational Approximation of Material Properties）（材料属性的理性近似模型）OC法(
3、优化准则法)MMA法(移动渐进线法)SLP(序列线性规划法）SQP(序列二次规划法)优化求解方法拓扑优化简介 拓扑优化设计流程拓扑优化设计流程算例内容内容拓扑优化实现流程拓扑优化实现流程基于99行拓扑优化程序代码top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin)312SIMP法+OC法4节点矩形单元 e1234有限元分析目的：求整体位移矩阵B、D、t分别代表什么？整体刚度矩阵单元刚度矩阵整体刚度矩阵 ee划分网格数(nelx,nely)整体节点编排：纵向1nely+1nely+22(nely+1)12875643局部整体 e(1)(2)(3)(4)(有限元基本方程)U 各节点位
4、移矩阵建立优化模型目标函数目标函数最小柔度最小柔度(SIMP(SIMP法法)设计变量 本质上，结构拓扑优化是个（0,1）整数规划问题，属于组合优化的范畴。2n次计算有限元分析才能求得全局最优解，是个指数时间算法，非多项式时间算法，随着单元数量n的增加，计算量会激增，也即是困扰组合优 化 领 域 的 NP难 题。SIMPSIMP法法设计变量密度变量的引入：在工程中，材料的刚度线性依赖材料的密度，即刚度大的材料，密度也大。比如，钢的密度比铝的密度大，因此钢的刚度比铝的刚度大。按照这个朴素的逻辑，就可用单元的密度来代替材料的有无，如下式(0,1)整数规划问题0,1区间内的单元密度的连续变量优化问题O
5、C法优化求解优化求解基本原理基本原理变量约束优化的变量约束优化的KTKT条件：条件：定义在闭区间上的一元函数的优化（仅有变量上下限约束）基本原理基本原理OCOC法数学模型法数学模型对应于目标函数的拉格朗日函数为：对应于目标函数的拉格朗日函数为：OCOC法数学模型法数学模型OCOC法数学模型法数学模型优化设计准则优化设计准则OCOC法数学模型法数学模型优化设计准则优化设计准则 上式即为设计变量的迭代准则。由该式可以看出当柔度取得极值时,在整个设计区域内单元的应变能密度是恒定的常数 。由此建立更新设计变量迭代格式：Imagesc(-x)xnew=max(0.001,max(x-move,min(1
6、.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)优化结果：各单元密度组成的矩阵X敏度分析敏度分析目的：消除棋盘格效应及网格依赖性目的：消除棋盘格效应及网格依赖性方法：方法：1、高阶单元法（计算量大）2、周长约束法（周长约束的上限值需要依靠经验来确定，因为局部尺寸和周长边界间没有直接的关系。如果周长约束边界定得太紧，则可能导致没有计算结果，如果定的太松又达不到预期的效果。因此约束边界很难确定，这种情况在三维问题下特别明显）3、局部梯度约束方法（局部斜率约束属于局部约束，可防止局部细条的形成，从而降低结构拓扑的几何复杂性，但优化结果难以满足全局最佳，并且，这种方法在优化问题中引入了2
7、N(二维)或3N(三维)个额外约束，使计算效率大大降低）4、网网格格过过滤滤法法（网网格格过过滤滤方方法法只只需需定定义义一一个个局局部部长长度度尺尺寸寸，相相对对较较为为容容易易，在在约约束束尺尺度度下下的的结结构构变变量量都都被被过过滤滤掉掉。网网格格过过滤滤方方法法的的优优点点是是不不需需要要在在优优化化问问题题中中加加入入额额外外约约束束，且且容容易易实实施施。缺缺点点是是过过滤滤方方法法为为一一种种基基于启发式求解规则的方法）于启发式求解规则的方法）敏度分析（敏度分析（sigmund.Osigmund.O）网格过滤法原理：数字图像处理中的降噪技术网格过滤法原理：数字图像处理中的降噪技
8、术 一张图片被离散成有限个像素点，一个像素点代表一个灰度值（256个灰度水平）。假设灰度值是连续变化的。图像处理的一个常见问题是噪音来自电气传感器噪声,噪声传输错误等。主要表现为离散孤立的像素变化,这些地方与其周围通常出现显著的不同。解决方法：线性和非线性解决方法：线性和非线性 Pratt,(1991)证明了非线性技术优于线性技术。但是非线性技术不能应用于拓扑优化，因为非线性方法常会造成拓扑优化问题的不光滑。线性技术又分为两种：基于傅里叶变换对的方法（频率）和基于卷积的方法。但是傅里叶变换法只能用于常规的矩形网格。敏度分析（敏度分析（sigmund.Osigmund.O）敏度分析敏度分析 目前
9、 SIMP 方法常用的过滤技术是Sigmund提出的过滤方案，用于修改目标函数的敏度信息：敏度分析敏度分析拓扑优化简介OC法拓扑优化设计流程 算例算例内容内容左边界各节点受横向约束右下角节点受纵向约束约束情况约束情况F(2,1)=-1;fixeddofs =union(1:2:2*(nely+1),2*(nelx+1)*(nely+1);top(60,20,0.5,3,3)6020在Matlab中运行程序行top(60,20,0.5,3,3)迭代次数：10153069imagesc悬臂梁左端固支右端中间作用垂直载荷F(2*nelx*(nely+1)+nely+2,1)=-1fixeddofs=1:2*(nely+1)top(80,50,0.5,3,3)迭代次数：51029