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1、将军饮马问题起源:古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从 A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回 答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。让我们来看看数学家是怎样解决的。海伦发现这是一个求折线和 最短的数学问题。根据公理 1 连接两点的所有线中，直线段最短。只知道两点间直线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。如果直 接连 AB，与 I 不会相交，怎么办呢？当 A、B 位于 I 的异侧时，就有 交点了。于是我们就希望在
2、I 的另一侧找一点 A，使得连 A B 与I 相交于 P 点后（这时 A P+PB 最短）线段 A P 与 AP 一样长.由 对称的知识可知道，A 关于 I 的对称点就有资格扮演 A 的角色。解：如图 1 先作 A 关于 I 的对称点 A，连接 A B 与 I 相交于 P 点，则 AP+PB 就最小.那么这样作 出的 AP+PB 是否真的最小呢？要证明它只需要在 I 上任取一点 P,证明 AP+P A AP+PB 就行了。这点好证明：事实上因为 A、A 关于 I 对称，有 AP=A P、AP =A P，又由公理 2:三角形的两边之和大于第三边.AP+P B=A P+P BA B=A P+PB=
3、AP+PB.原来海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 问题求解的。后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题中都在 起作用。现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原 理。例题分析：1、已知 A，B 两点在 MN 同侧，如图所示，在 MN 上求一点 P,使:IPA-PB|最大连接 BA 并延长交 MN 于 P|PA-PB|=|AB|在 MN 上再任意取一点 P三角形 PAB 中|PA-PB|AB=|PA PB|2、两点在直线的异侧如何做直线上一点是其到两点之差最短 作线段 AB的中垂线，交直线 I 于点 P，点 P 即为所求。此时|PA-PB|=03、直线 L 及异侧两
4、点 A B 求作直线 L 上一点 P,使 P 与 A B 两点 距离之差最大作 A 点关于 L 的对称点 A1，连接 A1B，并延长交 L 的一点就是所求 的 P点。这样就有：PA=PA1,P 点与 A,B 的差 PA-PB=PA1-PB=A1B。下面证明 A1B 是二者差的最大值。首先在 L 上随便取一个不同于 P 点的点 P1，这样 P1A1B 就构成一 三角形，且 P1A 仁 P1A。根据三角形的性质，二边之差小于第三边，所以有：P1A1-P1BVA1B，即：P1A-P1BVA1B。这就说明除了 P 点外，任何一个点与 A，B 的距离差都小于 A1B。反 过来也说明 P 点与 A，B 的距离差的最大值是 A1B。所以，P 点就是所求的一点。4、在 MN 上求作一点，使 PA+PB 最短做 B 关于 MN 的对称点 B连接 AB交 MN 于 PP 为所求点在 mn 上另取一点 P不和 P 重合。连接 AP PB利用三角行二边之和大于第三边和得 AB最小5、已知 A,B 两点在直线 MN 同侧，在 MN 上求一点 P,分别使|PA-PB|最小作 AB 的中垂线与 MN 的交点，即为点 P 此时|PA-PB|为 0 所以必然最小