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1、层次分析法简介层次分析法层次分析法美国运筹学家萨蒂（美国运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）在）在70年代初提出年代初提出的层次分析法（的层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称，简称AHP）是一种具有定性分析与定量分析相结合的）是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。程系统化、模型化、数量化。AHP基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不
2、同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。在每一层次，均的联系，形成一个多层次结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。决策依据。层次分析法基本步骤层次分析法基本步骤明确问题建立层次明确问题建立层次构造判断
3、矩阵构造判断矩阵层次单排序层次单排序层次总排序层次总排序一致性检验一致性检验明确问题建立层次明确问题建立层次对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类,每每类作为一个层次类作为一个层次,按最高层按最高层(即目标层即目标层,表示解决问题的目的表示解决问题的目的)、若干有关的中间层若干有关的中间层(表示采用某种措施或根据某种准则来表示采用某种措施或根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节实现预定目标所涉及的中间环节)和最低层和最低层(表示解决问题表示解决问题的措施和方案的措施和方案)的形成排列起来形成一个层次结构图。的形成排列起来形成一个层次
4、结构图。构造判断矩阵构造判断矩阵层次结构建立后层次结构建立后,明确了上下层次之间的从属关系。明确了上下层次之间的从属关系。假定假定A层中元素层中元素Ak与下层中元素与下层中元素B1,B2,Bm有联系，有联系，构造如下的判断矩阵：构造如下的判断矩阵：AkB1B2BmB1b11b12b1mB2b12b22b2mBmbm1bm2bmn其其中中bij表表示示对对于于Ak而而言言，Bi对对Bj相相对对重重要要性性的的标标度度(MBi/MBj)。显然判断矩阵。显然判断矩阵B=(bij)有关系式有关系式 bij0，bii=1，bji=1/bij，i,j=1,2,m因此对因此对m阶判断矩阵阶判断矩阵,仅需对仅
5、需对m(m-1)/2个元素给出标度。个元素给出标度。标度值意义及一致性标度值意义及一致性标度值标度值意义意义说明说明1Bi与与Bj同样重要同样重要Bi,Bj对一个目标贡献相同对一个目标贡献相同3Bi比比Bj重要性稍高一些重要性稍高一些二者间判断差异轻微二者间判断差异轻微5Bi比比Bj重要性明显高重要性明显高二者间判断差异明显二者间判断差异明显7Bi比比Bj重要性明显多重要性明显多二者间判断差异强烈二者间判断差异强烈9Bi比比Bj极端重要极端重要差异达到可能范围极限差异达到可能范围极限2,4,6,8表示相邻判断的中间值表示相邻判断的中间值用于需要达成妥协场合用于需要达成妥协场合上述各上述各值倒数
6、值倒数相应的反比较相应的反比较,即即Bi和和Bj比较其相对重要性用上述之比较其相对重要性用上述之一值进行标度一值进行标度,则则Bj和和Bi比较以该值的倒数标度。比较以该值的倒数标度。判判断断矩矩阵阵的的数数值值是是根根据据客客观观数数据据、专专家家意意见见和和分分析析者者的的认认识识综综合合平平衡衡后后给给出出的的，因因此此对对判判断断矩矩阵阵的的质质量量有有一一致致性性的的要要求求，即即B中元素满足要求：中元素满足要求：bijbjk=bik i，j，k=1，2，m满足一致性的充分必要条件是：它的最大特征值满足一致性的充分必要条件是：它的最大特征值*=m。层次单排序层次单排序利用判断矩阵，计算
7、对于上一层某元素而利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言，本层次与之有联系的元素的重要性次言，本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权向量）的过程，称为层次单序的权值（权向量）的过程，称为层次单排序。排序。层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题，即对于判断矩特征值与特征向量的问题，即对于判断矩阵阵B，求解满足，求解满足BU=U的最大特征值的最大特征值*以及以及对应对应*的正规化的正规化(单位化单位化)的特征向量的特征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。的分量即为相应元素的单排序权重。一致性指标一致性指标在一般情况下，判断矩阵
8、的特征值为单根，且在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且maxm，当，当B具有满意的一致性时，具有满意的一致性时，max稍大于稍大于m，其余的特征值接近于零，此时，层次分析得出，其余的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合理。的结论基本合理。我们可用我们可用CI=(*-m)/(m-1)作为检验作为检验B的一致性指标。的一致性指标。显然，当判断矩阵具有一致性，显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0；*-m越大，越大，CI越大，一致性越差。越大，一致性越差。此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。通过多次随机的构造通过多次随机的构造m阶判断矩阵
9、阶判断矩阵,计算其最大特计算其最大特征根征根,然后取平均值得然后取平均值得,于是得到于是得到RI=(-m)/(m-1)。注：注：112阶判断矩阵的阶判断矩阵的RI值已编制成数表备查。值已编制成数表备查。随机一致比例随机一致比例CR一、二阶判断矩阵必有一致性，其一、二阶判断矩阵必有一致性，其RI值只是值只是形式上的。形式上的。当判断矩阵阶数大于当判断矩阵阶数大于2时，时，CI与与RI之比称为之比称为判断矩阵的随机一致比例，记为判断矩阵的随机一致比例，记为CR。当当CR=0.10时，认为判断矩阵的一致性可时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要调整判断矩阵。以接受，否则需要调整判断矩阵。对于对于
10、112阶的判断矩阵，阶的判断矩阵，RI值表如下值表如下:阶数阶数123456789101112RI000.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54层次总排序层次总排序为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合权重和它们与上层元素的相互影响，需要利用该权重和它们与上层元素的相互影响，需要利用该层所有层次单排序的结果，计算出该层元素的组层所有层次单排序的结果，计算出该层元素的组合权重，这个过程称为层次总排序。合权重，这个过程称为层次总排序。层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进行，层次总排序这一步，需
11、要从上到下逐层排序进行，最终计算结果得到最低层次元素，即要决策方案最终计算结果得到最低层次元素，即要决策方案优先次序的相对权重。优先次序的相对权重。若有若有m层目标层目标(不含总目标不含总目标),把各方案作为把各方案作为m+1层层,每相邻两层之间具有完全层次关系每相邻两层之间具有完全层次关系,且设第且设第i层目标层目标有有ni个个,第第i+1层目标层目标(或方案或方案)有有ni+1个个,用用W(i)表示这表示这两层间的权重矩阵两层间的权重矩阵,它有它有ni行行ni+1列。可以知道各方列。可以知道各方案对总目标的权重向量案对总目标的权重向量W为：为：W=W(0)W(1)W(m)。层间的权重组合与
12、权重矩阵层间的权重组合与权重矩阵W(j)若上一层所有元素若上一层所有元素A1，A2，Ak的层次单排序已完的层次单排序已完成，得到的权重为成，得到的权重为a1,a2,ak,与与Ai(1ik)对应的本对应的本层次元素为层次元素为B1,B2,Bm单排序结果为单排序结果为Bi=(bi1,bi2,bim)(注：若注：若bij=0,则表示则表示Bi与与Aj无关无关)一致性检验一致性检验为为评评价价层层次次总总排排序序的的计计算算结结果果的的一一致致性性如如何何，需需计算与层次单排序类似的检验量，记计算与层次单排序类似的检验量，记 CI层次总排序的一致性指标层次总排序的一致性指标 RI层次总排序随机一致性指
13、标层次总排序随机一致性指标 CR层次总排序随机一致性比例层次总排序随机一致性比例其中其中 CIi为为Ai对应的下一层对应的下一层B层次中判断矩阵的一致性指标。层次中判断矩阵的一致性指标。RIi为为Ai对应的对应的B层次中判断矩阵的随机一致性批标。层次中判断矩阵的随机一致性批标。当当CR0.10时时,则则 认认为为层层次次总总排排序序计计算算结结果果的的一一致致性性可可以接受。以接受。最大特征值的近似简化算法最大特征值的近似简化算法-和积法和积法（1）将判断矩阵）将判断矩阵B每一列正规化；每一列正规化；（2）每列正规化的判断矩阵按行相加；）每列正规化的判断矩阵按行相加；（3）对相加后得到的向量再
14、正规化，即得）对相加后得到的向量再正规化，即得排序所要求的特征向量排序所要求的特征向量W；（4）计算判断矩阵）计算判断矩阵B的量大特征值的量大特征值*中中(BW)i表示向量表示向量BW的第的第i个元素。个元素。最大特征值的近似简化算法最大特征值的近似简化算法-根法根法（1）将）将B的元素按行相乘的元素按行相乘（2）所得乘积分别开）所得乘积分别开m次方次方（3）将方根向量正规化即得排序所要求的）将方根向量正规化即得排序所要求的特征向量特征向量W（4）计算）计算应用示例应用示例 某企业进行决策时，确定其企业目标分经济目标和非经某企业进行决策时，确定其企业目标分经济目标和非经济目标两类。并具体将其目
15、标分为目标济目标两类。并具体将其目标分为目标C1,目标目标C2,目标目标C3和目标和目标C4(如年利润增长如年利润增长10%，每年全国各地新开分支机构，每年全国各地新开分支机构5家，职工年收人年增家，职工年收人年增20%,提高企业形象等提高企业形象等)，并制定了三，并制定了三项具体政策方案，如下图所示。今欲从中选择一种政策加项具体政策方案，如下图所示。今欲从中选择一种政策加以实施。以实施。经专家讨论给出各层判经专家讨论给出各层判断矩阵。断矩阵。A层计算（和积法）层计算（和积法）将第将第1列加总、规范化列加总、规范化:ak1=1+1/2=3/2,11=a11/ak1=0.6667,21=a21/
16、ak1=0.3333将第将第2列加总、规范化列加总、规范化:ak2=2+1=3,12=a12/ak2=0.6667,22=a22/ak1=0.3333构成列向量规范的判断矩阵：构成列向量规范的判断矩阵：将将矩阵每行相加得一列向量矩阵每行相加得一列向量,再归一化：再归一化：二阶矩阵不需作一致性检验。二阶矩阵不需作一致性检验。B层计算层计算对对B1判别矩阵：判别矩阵：对对B2判别矩阵：判别矩阵：B1和和B2矩阵都通过一致性检验。矩阵都通过一致性检验。C层计算层计算对对C1判别矩阵：判别矩阵：对对C2判别矩阵：判别矩阵：对对C3判别矩阵：判别矩阵：对对C4判别矩阵：判别矩阵：权重合成权重合成-层次总
17、排序层次总排序各政策关于企业目标的权重各政策关于企业目标的权重:由于政策乙的权重最大，因此，应该选择政策乙。由于政策乙的权重最大，因此，应该选择政策乙。C层各目标重要性的权重层各目标重要性的权重:即目标即目标2的重要程度最高，目标的重要程度最高，目标4的重要程度最低，的重要程度最低，目标目标2是应优先满足的目标。是应优先满足的目标。R计算程序RIt=c(0,0,0.58,0.90,1.12,1.14,1.32,1.41,1.45,1.49,1.52,1.54);RItA=matrix(c(1,2,1/2,1),ncol=2,byrow=T);Aev=eigen(A);evWA=ev$vecto
18、rs,1/sum(ev$vectors,1);WAW0=WAB1=matrix(c(1,1/4,2,4,1,3,1/2,1/3,1),ncol=3,byrow=T);B1B2=matrix(c(1,2,2,3,1/2,1,5,2,1/2,1/5,1,2,1/3,1/2,1/2,1),ncol=4,byrow=T);B2ev=eigen(B1);evWB1=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WB1CI1=(ev$values1-3)/(3-1);CI1RI1=RIt3;RI1CR1=CI1/RI1;CR1R计算程序续1ev=eigen(B2);evWB2=ev$vec
19、tors,1/sum(ev$vectors,1);WB2CI2=(ev$values1-4)/(4-1);CI2RI2=RIt4;RI2CR2=CI2/RI2;CR2CI=c(CI1,CI2);RI=c(RI1,RI2)CR=(CI%*%W0)/(RI%*%W0);CRW1=rbind(c(WB1,0),WB2);W1C1=matrix(c(1,2,3,1/2,1,2,1/3,1/2,1),ncol=3,byrow=T);C1C2=matrix(c(1,1/4,1/2,4,1,2,2,1/2,1),ncol=3,byrow=T);C2C3=matrix(c(1,1,1/4,1,1,1/3,4,
20、3,1),ncol=3,byrow=T);C3C4=matrix(c(1,1/5,1/2,5,1,3,2,1/3,1),ncol=3,byrow=T);C4R计算程序续2ev=eigen(C1);evWC1=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC1CI1=(ev$values1-3)/(3-1);CI1RI1=RIt3;RI1CR1=CI1/RI1;CR1ev=eigen(C2);evWC2=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC2CI2=(ev$values1-3)/(3-1);CI2RI2=RIt3;RI2CR2=CI2/RI2;CR
21、2ev=eigen(C3);evWC3=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC3CI3=(ev$values1-3)/(3-1);CI3RI3=RIt3;RI3CR3=CI3/RI3;CR3R计算程序续3ev=eigen(C4);evWC4=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC4CI4=(ev$values1-3)/(3-1);CI4RI4=RIt3;RI4CR4=CI4/RI4;CR4CI=c(CI1,CI2,CI3,CI4);RI=c(RI1,RI2,RI3,RI4)CR=(CI%*%t(W0%*%W1)/(RI%*%t(W0%*%
22、W1);CRW2=rbind(WC1,WC2,WC3,WC4);W2 W=W0%*%W1%*%W2;WW0%*%W1应用示例应用示例单位选经理，设立道德、才能、学识、健康四类单位选经理，设立道德、才能、学识、健康四类12条标准：条标准：道德道德B1-忠诚正派忠诚正派C1、责任心强、责任心强C2、虚怀若谷、虚怀若谷C3才能才能B2-有远见有远见C4、协调力、协调力C5、善用人、善用人C6、善谋、善谋C7 、C8学识学识B3-精通业务精通业务C8、学历高、学历高C9、有管理知识、有管理知识C10健康健康B4-身体健康身体健康C11、年龄合适、年龄合适C12三候选人打分汇总表及准则判断矩阵如下三候选
23、人打分汇总表及准则判断矩阵如下:123456789101112甲甲967849858687乙乙899787685657丙丙887758576699A B1 B2 B3 B4B1 1223B2 1/2 152B3 1/21/5 12B4 1/31/21/2 1B1 C1 C2 C3C1 1 1/2 1C2 212C3 121B2 C4 C5 C6 C7 C8C4 13331C5 1/3 121 1/2C6 1/31/2 12 1/3C8 1/3 1 1/2 1 1/2C9 12321B3 C8C9C10C81 1/3 1/2C9312C102 1/2 1A选经理选经理B1B2B3B4B3 C8C9C10C81 1/3 1/2C9312C102 1/2 1B4 C11C12C1113 C121/3 1