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1、概率的几个基本性质青岛格兰德中学数学组青岛格兰德中学数学组 2010-12-26在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：C1=出现出现1点点；C2=出现出现2点点；C3=出现出现3点点；C4=出现出现4点点；C5=出现出现5点点；C6=出现出现6点点；D1=出现的点数小于出现的点数小于3；D2=出现的点数大于出现的点数大于4；D3=出现的点数小于出现的点数小于5；D4=出现的点数大于出现的点数大于3；E=出现的点数小于出现的点数小于7;F=出现的点数大于出现的点数大于6;G=出现的点数为偶数出现的点数为偶数;H=出现的点数为奇数出现的点数为奇数;
2、思考：思考：1.上述事件中上述事件中C1至至C6这这6个事件之间是什么关系？它们各自发生的概个事件之间是什么关系？它们各自发生的概 率是多少？率是多少？2.事件事件D1 和事件和事件D2 之间是什么关系？之间是什么关系？它们各自发生的概率是多少？它们各自发生的概率是多少？3.事件事件D1 可以看成哪些事件的并事件？可以看成哪些事件的并事件？这些事件发生的概率和这些事件发生的概率和D1发发 生的概率有什么联系？生的概率有什么联系？4.事件事件D3 和事件和事件D4各自发生的概率是多少？它们的并事件的概率又各自发生的概率是多少？它们的并事件的概率又 是多少？是多少？思考：思考：什么情况下两个事件什
3、么情况下两个事件 A 与与 B 的并事件发生的概率，会等于的并事件发生的概率，会等于事件事件 A 与事件与事件 B 各自发生的概率之和？各自发生的概率之和？如果如果事件事件 A 与事件与事件 B 互斥互斥，则，则概率的加法公式：概率的加法公式：特别地，如果特别地，如果事件事件 A 与事件与事件 B 是是互为对立事件互为对立事件，则，则例例.如果从不包括大小王的如果从不包括大小王的5252张扑克牌中随机抽取一张，那么张扑克牌中随机抽取一张，那么 取到红心（事件取到红心（事件A A）的概率是）的概率是1/41/4，取到方块（事件，取到方块（事件B B）的概率）的概率是是1/41/4。问：。问：（1
4、 1）取到红色牌（事件）取到红色牌（事件C C）的概率是多少？）的概率是多少？（2 2）取到黑色牌（事件）取到黑色牌（事件D D）的概率是多少？）的概率是多少？解解：（1）因为）因为 ，且，且A与与B不会同时发生，所以不会同时发生，所以A与与B是互是互 斥事件，根据概率的加法公式，得斥事件，根据概率的加法公式，得（2 2）因为）因为C与与D是互斥事件，又由于是互斥事件，又由于 为必然事件，所以为必然事件，所以 C与与D互为对立事件，所以互为对立事件，所以事件的关系和运算：事件的关系和运算：（2）相等相等关系关系:（3）并并事件事件:（4）交交事件事件:（5）互斥互斥事件事件:（6）互为）互为对
5、立对立事件事件:（1）包含包含关系关系:若事件若事件A发生，事件发生，事件B就一定发生，则就一定发生，则则则A=B若某事件若某事件 I 发生当且仅当事件发生当且仅当事件 A 发生或事件发生或事件 B发生发生,则则若某事件若某事件 I 发生当且仅当事件发生当且仅当事件A发生且事件发生且事件B发生，发生，则则事件事件A与事件与事件B在任何一次试验中都不会同时发生在任何一次试验中都不会同时发生事件事件A与事件与事件B在任何一次试验中有且仅有一在任何一次试验中有且仅有一个发生个发生练习：练习：2.从一堆产品（其中正品和次品都多于从一堆产品（其中正品和次品都多于 2件）中任取件）中任取 2件，观察件，观
6、察正品件数和次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，若正品件数和次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，若是，再判断它们是不是对立事件：是，再判断它们是不是对立事件：（1）恰好有）恰好有 1 件次品和恰好有件次品和恰好有 2 件次品；件次品；（2）至少有）至少有 1 件次品和全是次品；件次品和全是次品；（3）至少有）至少有 1 件正品和至少有件正品和至少有 1件次品；件次品；（4）至少有）至少有 1 件次品和全是正品。件次品和全是正品。1.在画图形的试验中，判断下列事件的关系在画图形的试验中，判断下列事件的关系.（1）A1=四边形四边形，A2=平行四边形平行四边形；（2）B1=三角形三角形
7、，B2=直角三角形直角三角形，B3=非直角三角形非直角三角形；（3）C1=直角三角形直角三角形，C2=等腰三角形等腰三角形，C3=等腰直角三角形等腰直角三角形。练习：练习：1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。，求中靶概率。解：设该士兵射击一次，解：设该士兵射击一次，“中靶中靶”为事件为事件A,“未中靶未中靶”为事件为事件B,则则A与与B互为对立事件，故互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是，乙获胜的概率是0.3 求求：（：（1
8、）甲获胜的概率；（）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。）甲不输的概率。解解：(1)(1)“甲获胜甲获胜”是是“和棋或乙获胜和棋或乙获胜”的对立事件，因为的对立事件，因为“和棋和棋”与与“乙获胜乙获胜”是互斥事件，所以是互斥事件，所以 甲获胜的概率为：甲获胜的概率为：1-（0.5+0.3）=0.2 (2)(2)设事件设事件A=A=甲不输甲不输，B=B=和棋和棋，C=C=甲获胜甲获胜 则则A=BC,A=BC,因为因为B,CB,C是互斥事件，所以是互斥事件，所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7 3.已知，在一商场付款处排队等
9、候付款的人数及其概率如下：已知，在一商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数排队人数排队人数排队人数0 01 12 23 34 45 5人以上人以上人以上人以上概率概率概率概率0.10.10.160.160.30.30.30.30.10.10.040.04求至多求至多2 2个人排队的概率。个人排队的概率。解：设事件解：设事件Ak=恰好有恰好有k人人排队排队，事件，事件A=至多至多2 2个人排队个人排队,因为因为A=A0A1A2,且且A0，A1，A2这三个事件是互斥事件，这三个事件是互斥事件，所以，所以，P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56。
10、问题:（1）甲坛子里有 3 个白球，2 个黑球；乙坛子里有 2 白球，2 个黑球设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件 ，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件 问 与 是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？甲乙1独立事件的定义 把“从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球”叫做事件 ，把“从乙坛子里摸出 1个球，得到白球”叫做事件 很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响 这就是说，事件 （或 ）是否发生对事件（或 ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件相互独立事件 由 ，我们看到:这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事
11、件发生的概率的积 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积 AB表示什么意思A+B表示什么意思事件事件A,B至少有一个发生至少有一个发生事件事件A,B同时发生同时发生 一般地，如果事件 相互独立，那么这个 n 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：2独立事件同时发生的概率一般情况下，对一般情况下，对n个随机事件个随机事件 ,有有课本课本P138小字部分小字部分概率的和与积互补公式概率的和与积互补公式事件：事件：“从乙坛子里摸出 1 个球，得到黑球”一般地，如果事件 与 相互独立，那么 与 ，与 ，与 也都是相互独立的性质：“从甲坛子里摸出 1 个球，得到
12、黑球”必然事件与任何事件相互独立不可能事件与任何事件相互独立2独立事件同时发生的概率 “从两个坛子里分别摸出 1 个球，都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件 、同时发生，记作 AB BAB事件 A B:（事件的积)“从两个坛子里分别摸出 1 个球，都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件 、同时发生，记作 .于是需要研究，上面两个相互独立事件 ，同时发生的概率 是多少？从甲坛子里摸出 1个球，有 5 种等可能的结果；从乙坛子里摸出 1个球，有 4种等可能的结果，于是从两个坛子里各摸出1个球，共有 54 种等可能的结果，表示如下：（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（
13、白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）在上面 54 种结果中，同时摸出白球的结果有32 种因此，从两个坛子里分别摸出 1个球，都是白球的概率:另一方面，从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球的概率：从乙坛子里摸出 1 个球，得到白球的概率：3例题例如：在上面问题中，“从两个坛子里分别摸出 1 个球，甲坛子里摸出黑球”与“从两个坛子里分别摸出 1 个球，乙坛子里摸出白球”同时发生的概率.（1）人都击中目标的概率；例1:甲、乙人各进行次射击，如果人击中目标的概率都是 0.6,计算：（）其中恰有人击中目标
14、的概率；（）至少有人击中目标的概率；ABAB B解:(1)记“甲、乙人各射击次，甲击中目标”为事件 A;“甲、乙人各射击次，乙击中目 标”为事件 B.因此,“人都击中目标”就是事件 AB.=0.60.6=0.36答：人都击中目标的概率是0.36由于甲(或乙)是否击中，对乙(或甲)击中的概率是没有影响的因此A与B是相互对立事件解:()“其中恰有人击中目标”包括：事件：“甲击中、乙未击中”和 事件：“乙击中、甲未击中”答：恰有 1 人击中目标的概率是 0.48 这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即与是互斥事件解:(3)“其中至少有人击中目标”的概率是:解法:“人都未击中目标”的概率是:因此，至少有人击中目标的概率是:答：至少有 1 人击中目标的概率是 0.