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1、过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明1.已知曲线y f(x)上一点P(x0,f(x0)，求曲线在该点处的切线方程这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型其求法为：先求出函数f(x)的导数f(x)，再将x0代入f(x)求出f(x0)，即得切线的斜率，后写出切线方程y f(x0)=f(x0)(x x0)，并化简例1求曲线f(x)x33x23在点P(1,1)处的切线方程解：由题设知点P在曲线上，y 3x26x，曲线在点P(1,1)处的切线斜率为f(1)3，所求的切线方程为y 1 3(x 1)，即y 3x 42.已知曲线y f(
2、x)上一点A(x1,f(x1)，求过点A的曲线的切线方程这种类型容易出错，一般学生误认为点A一定为切点，事实上可能存在过点A而点A不是切点的切线，如下面例 2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为P(x0,f(x0)，先求出函数f(x)的导数f(x)，再将x0代入f(x)求出f(x0)，即得切线 的斜率（用x0表示），写出切线方 程y f(x0)=f(x0)(x x0)，再将点A坐标(x1,y1)代入切线方程得y1 f(x0)=f(x0)(x1 x0)，求 出x0，最 后 将x0代 入 方 程1y f(x0)=f(x0)(x x0)求出切线方程例2
3、求过曲线y x3 2x上的点(1,1)的切线方程解：设切点为点(x0,x032x0)，y 3x2 2，切线斜率为3x022，切线方程为y(x032x0)(3x022)(x x0)又知切线过点(1,1)，把它代入上述方程，得1(x032x0)(3x02)(1 x0)解得x01，或x0 所求切线方程为y(1 2)(3 2)(x 1)，或y(1)(2)(x)，即x y 2 0，或5x 4y 1 0上面所求出的两条直线中，直线x y 2 0是以(1,1)为切点的切线，而切线5x 4y 1 0并不以(1,1)为切点，实际上它是经过了点(1,1)且以(,)为切点的直线，如下图所示这说明过曲线上一点的切线，
4、该点未必是切点3.已知曲线y f(x)外一点A(x1,f(x1)，求过点A作的曲线的切线方程这种类型的题目的解法同上面第二种类型例 3过原点O作曲线y x43x2 6的切线，求切线方程（2009年全国卷文 21 题改编）2121834121 72 8解：由 题 设 知 原 点O不 在 曲 线 上，设 切 点 坐 标 为423，切线方P(x0,x03x06)，y 4x36x，切线斜率为（4x06x0）程为：y(x03x06)(4x06x0)(x x0)423又知切线过点(0,0)，把它代入上述方程，得0(x03x06)(4x06x0)(x0)423整理得：(x021)(x022)0解得x0 2，或x02所求切线方程为：y 2 2x或y 2 2x练习：1.求曲线f(x)x3 4x21在点P(1,2)处的切线方程2.求过曲线y x3上的点(2,4)的切线方程3.过点(0,2)作抛物线y x2 x 1的切线，求切线方程答案：1.5x y 3 0；2.4x y 4 0或x y 2 0；3.3x y 2 0或x y 2 013433