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1、椭圆焦点三角形面积公式的应用x2y2定理定理在椭圆在椭圆221（ab0 0）中，焦点分别为）中，焦点分别为F1、F2，点，点 P P 是椭圆上任是椭圆上任ab意一点，意一点，F1PF2，则，则SF1PF2 b2tan2.y yP PP证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，由椭圆的第一定义得r1 r2 2a,(r1 r2)2 4a2.2在F1PF2中，由余弦定理得：r1 r2 2r1r2cos(2c).22F F1 1O OF F2 2x x配方得：(r1 r2)2r1r2 2r1r2cos 4c.即4a 2r1r2(1 cos)4c.22222(a2c2)2b2r1r2.1 cos1 cos
2、由任意三角形的面积公式得：SF1PF21sinr1r2sin b2 b221cos2sin22 b2tan.22cos22cosSF1PF2 b2tan.2y2x2同理可证，在椭圆同理可证，在椭圆221（ab0 0）中，公式仍然成立）中，公式仍然成立.ab典题妙解典题妙解x2y21上的一点，上的一点，F1、F2是其焦点，且是其焦点，且F1PF2 60，求，求例例 1 1若若 P P 是椭圆是椭圆10064F1PF2的面积的面积.x2y21中，a 10,b 8,c 6,而 60.记|PF1|r1,|PF2|r2.解法一：在椭圆10064点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：r1 r2 2a 20
3、.2在F1PF2中，由余弦定理得：r1 r2 2r1r2cos(2c).22配方，得：(r1 r2)3r1r2144.24003r1r2144.从而r1r2SF1PF2256.311256364 3r1r2sin.22323x2y21中，b2 64，而 60.解法二：在椭圆10064SF1PF2 b2tan2 64tan30 64 3.3解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！x2y21上上的的点点，F1、F2分分别别是是椭椭圆圆的的左左、右右焦焦点点，若若例例 2 2已已知知 P P 是是椭椭圆圆259PF1PF2|PF1|PF2|1，则，则F1PF2的面积为（的面积为
4、（）23D.D.33A.A.3 3B.B.2 3C.C.解：设F1PF2，则cosPF1PF2|PF1|PF2|1，60.2SF1PF2 b2tan故选答案 A.2 9tan30 3 3.x2y21的左、的左、右焦点分别是右焦点分别是F1、F2，点点 P P 在椭圆上在椭圆上.若若 P P、F1、例例 3 3（0404 湖北）湖北）已知椭圆已知椭圆169F2是一个直角三角形的三个顶点，则点是一个直角三角形的三个顶点，则点 P P 到到x轴的距离为（轴的距离为（）A.A.9 7999B.B.C.C.D.D.或或75449 77b29；若 P P 是直角顶点，设是直角顶点，设解：若F1或或F2是直
5、角顶点，则点是直角顶点，则点P P 到到x轴的距离为半通径的长轴的距离为半通径的长a4点点 P P 到到x轴的距离为轴的距离为 h h，则，则SF1PF2 b2tan2 9tan45 9，又又SF1PF21(2c)h 7h,27h 9，h 9 7.故答案选 D.7金指点睛金指点睛y2x21上一点上一点 P P 与椭圆两个焦点与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，的连线互相垂直，1.1.椭圆椭圆则则F1PF2的面积为的面积为（）4924A.A.2020B.22B.22C.28C.28D.24D.24x2 y21的左右焦点为的左右焦点为F1、F2，2.2.椭圆椭圆P P 是椭圆上一点，是椭圆上一
6、点，当当F1PF2的面积为的面积为 1 1 时，时，PF1PF24的值为（的值为（）A.0A.0B.B.1 1C.C.3 3D.D.6 6x2 y21的左右焦点为的左右焦点为F1、F2，3.3.椭圆椭圆P P 是椭圆上一点，是椭圆上一点，当当F1PF2的面积最大时，的面积最大时，PF1PF24的值为（的值为（）A.0A.0B.B.2 2C.C.4 4D.D.2x224 4已知椭圆已知椭圆2 y1（a1 1）的两个焦点为）的两个焦点为F1、F2，P P 为椭圆上一点，且为椭圆上一点，且F1PF2 60，a则则|PF1|PF2|的值为（的值为（）A A1 1B B13C C43D D235.5.已
7、知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点为焦点，点 P P 在椭圆上，直线在椭圆上，直线PF1与与PF2倾倾斜角的差为斜角的差为90，F1PF2的面积是的面积是 2020，离心率为，离心率为5，求椭圆的标准方程，求椭圆的标准方程.36 6 已知椭圆的中心在原点，已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，为左右焦点，P P 为椭圆上一点，为椭圆上一点，且且的面积是的面积是3，准线方程为，准线方程为x 1F1PF2，2|PF1|PF2|PF1PF24 3，求椭圆的标准方程，求椭圆的标准方程.3答案答案1.1.解：F1PF2 90,b2 24，
8、SF1PF2 b2tan故答案选 D.SF1PF2 b2tan2.2.解：设F1PF2，2 24tan45 24.2 tan21，2 45,90，PF1PF2 0.故答案选 A.3.3.解：a 2,b 1,c 3，设F1PF2，SF1PF2 b2tan2 tan2，当F1PF2的面积最大时，为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点，120，2PF1PF2|PF1|PF2|cos a cos120 2.故答案选 D.4 4 解：F1PF2 60，b 1，SF1PF2 b2tan2 tan30 3，3又SF1PF213|PF1|PF2|sin|PF1|PF2|，24334|PF1|PF2|，从而|PF
9、1|PF2|.433故答案选 C.5.5.解：设F1PF2，则90.SF1PF2 b2tanc又e aa2b25，a32 b2tan45 b2 20，b2520512，即12.9a9a解得：a2 45.x2y2y2x21或1.所求椭圆的标准方程为452045206 6解：设F1PF2，cosSF1PF2 b2tan1,120.2|PF1|PF2|PF1PF22 b2tan60 3b23，b 1.a24 3c2b2c2114 33 c 3 又，即.c3ccc33c 3或c 3.322x2 y21；当c 3时，a b c 2，这时椭圆的标准方程为432 3x222当c 时，a b c，这时椭圆的标准方程为 y21；4333但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60，不合题意.x2 y21.故所求的椭圆的标准方程为4