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1、-21.121.1一元二次方程一元二次方程【教学目标】【教学目标】知识与技能知识与技能1.了解整式方程的意义，理解一元二次方程及其有关概念；2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟练指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项等内容；3.了解一元二次方程根的意义和用法。过程与方法过程与方法1.通过对黄金分割以及身边的实际应用例子的展示，一方面让学生了解对应用问题的处理方法，另一方面，通过这类方程和前面所学的方程的比拟，让学生学会学习新知的方法类比法；2.通过对类比法的说明，培养学生观察、分析、比拟和归纳问题的意识；3.通过对学生从现实生活中发现数学的过程，体会数学建模的应用。情感、态度与价
2、值观情感、态度与价值观1.经历在应用过程中归纳概念的过程，培养学生体会数学在身边、用数学解决身边实际问题的能力，逐步感知数学的应用能力和数学美。2.通过对一元二次方程定义的讲解，培养学生在生活中处理问题的的严谨性和合理性。【教学重难点】【教学重难点】重点：一元二次方程的概念和一般形式。难点：正确识别一元二次方程和列一元二次方程。【教法与学法导航】【教法与学法导航】教学方法激趣法、诱导法、探究与讨论法、设问法、归纳法学习方法：动手操作法，自主探究法，互动学习法，发现法，合作探究与讨论归纳法【教学准备】【教学准备】教师准备：PPT 课件开头的应用问题、一元二次方程的特点、练习题、板书设计等内容，每
3、个学生一份长 10cm,宽 5cm 的矩形纸各一*。学生准备：刻度尺 剪刀【教学过程】【教学过程】一、问题探索导入新知一、问题探索导入新知一利用多媒体展示问题一利用多媒体展示问题 1 1 和问题和问题 2 2：师：请同学们思考大屏幕上这两个问题师：请同学们思考大屏幕上这两个问题.z.-问题 1.1.如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽 50cm,在它的四角各切去一个统一的正方形，然后将四周突出局部折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,则铁皮各角应切去多大的正方形.问题 2.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都比赛一场根据场地和时间等条件，赛程方案安排
4、 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛.生：思考问题同时，师：向每个学生发一*长 10cm,宽 5cm 的矩形纸。二探究与思考二探究与思考：1.操作一下，怎样折成一个无盖纸盒.师引导生思考后动手操作一下2.折成无盖方盒后，如果设铁皮的各角应切去边长为*cm 的正方形怎样列方程.提示：易知，底面矩形的长和宽分别是100-2*cm 和50-2*cm，然后根据方盒的底面积是 3600cm2列方程求解 即根据题意得：100-2*50-2*=3600，化简得*2-75*+350=0。结合生折合的无盖纸盒，师引导其列出方程.3.如果设底面长为*cm，可怎样列方程.(继续探究，思维拓展
5、)4.对于问题 2，假设设比赛组织者应邀请*队参赛，则每个队参加多少场比赛，则共有多少场比赛，如何列方程求解。生：通过思考，交流合作列出方程并期待师给出正确评价.师：请同学们把方程左边按未知数的降幂排列，右边为0.即1x(x 1)47,整理后得x2 x 560.2设计意图：这两个问题都是通过列方程来解的应用题。一是为了化解本章的难点，让学生先接触一些比拟简单的应用题，通过解题培养自信；另一方面，通过常规的解应用题的步骤，得到一元二次方程。成心让学生出现卡壳的现象，这为进一步探究新方程效劳。二、比照交流探究新知二、比照交流探究新知利用多媒体展示问题利用多媒体展示问题 1 1 和问题和问题 2 2
6、 所列出的两个方程及三个有关的问题所列出的两个方程及三个有关的问题师：请同学们观察由问题师：请同学们观察由问题 1 1 和问题和问题 2 2 所列出的两个方程：所列出的两个方程：*2-75*+350=0,*2-*-56=0.1.观察这两个方程的构造特点，它们的未知数的个数和最高次数各是多少.它们有什么共同点.2.比照以上三个方程与一元一次方程，它们有什么区别.由此，你能得到关于一元二次方程的特征吗.3.根据这个特征，你能给一元二次方程下个定义吗.生：思考中.师：板书课题.设计意图：让学生自己进展比照研究，比拟现在的方程与以前的有什么异同。通过对照，.z.-意在让学生通过讨论、归纳，科学而全面地
7、得到一元二次方程的概念。根据学生讨论、交流，得到一元二次方程及其相关量的概念师：板书一元二次方程的定义一定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，一定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，一元一元，并且未知数的最高次数，并且未知数的最高次数是是 2 2二次的方程，叫做一元二次方程。二次的方程，叫做一元二次方程。师：根据这个定义，我们能识别一元二次方程吗.多媒体展例如 1，并引导生完成例1的解答.例例1.1.判断以下方程哪些是一元二次方程：(1)3*2+4*-2=0；(2)*2-2*+3=6*-1；(3)7-*3=*+*2；(4)*2-2*y-4=0；53*2=5-1；(6)2-*2+y2=*
8、+m；(7)6*2+3*=-3*(3-2*)；(8)3(*+1)+3=3*(2*+5)。x引导学生根据一元二次方程的定义判定.解：3 7通过整理后为一元一次方程，4 6是二元二次方程，5是分式方程式方程，而1 2 8整理后复合一元二次方程的定义，1 2 8是一元二次方程.让学生判定并归纳如下：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是 2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进展整理如果能整理为a*2+b*+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程设计意图：概念教学不能死板硬套，要让学生在探究中发现，在
9、探究中生成，在探究中归纳与总结，最后在处理问题中得到升华。设计这个判断题就是让学生学会归纳规律，运用一元一次方程的实质来进展判断的。师：我们知道一元一次方程的一般形式是a*+b=0 a0,则一元二次方程的一般形式是什么呢.师引导生答复出一元二次方程的一般形式并板书.二一元二次方程的一般形式是二一元二次方程的一般形式是a*a*2 2+b*+c=0(a0)。+b*+c=0(a0)。其中，其中，a*a*2 2是二次项，是二次项，a a 是二次项系数；是二次项系数；b*b*是一次项，是一次项，b b 是一次项系数；是一次项系数；c c 是常数项。是常数项。师：在一元二次方程的一般形式中，为什么要将a
10、限定为 a0.师：假设给你一个一元二次方程，该怎样确定它的系数及常数项呢.多媒体展例如 2.并板书例 2 的解答过程例 2.将方程 3*(*-1)=5(*+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。师引导学生完成解答过程解：去括号，得3*2-3*=5*+10.移项,合并同类项，得一元二次方程的一般形式3*2-8*-10=0.其中二次项系数为 3，一次项系数为-8，常数项为-10 设计意图：教师安排这个例题，并且标准其解题步骤，目的就是为后面的学习运用公式法解方程效劳。师：我们知道方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则一元二次方程的解是什么呢.生：生相互交流并
11、思考中，师板书一元二次方程根的定义.三三 一元二次方程的根：一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一.z.-元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。可以类比一元一次方程的解的定义来理解和掌握.师：我们如何验证一个数是否为一元二次方程的根呢(多媒体展例如3，并引导生完成例 3 的解答)例例 3 3下面哪些数是方程 2*2+10*+12=0 的根.-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有
12、-2 和-3 满足方程的等式，所以*=-2 或*=-3 是一元二次方程 2*2+10*+12=0 的两根师：通过上面的学习，你掌握多少呢.就让我们一试身手吧！三、课堂检测分层训练三、课堂检测分层训练一稳固练习 PPT 展示练习题教材 P4 练习 1、2 题1.将以下方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：15*2-1=4*;(2)4*2=81;(3)4*(*+2)=25;(4)(3*-2)(*+1)=8*-3.2.根据以下问题，列出关于*的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：14 个完全一样的正方形的面积之和是25，求正方形的边长*；2一个矩形的长
13、比宽多2，面积是 100，求矩形的长*；3把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长*。设计意图：经过教材习题训练，一方面紧扣教材加强了对一些根本概念的理解和稳固，另一方面，也是为了化解本章用方程解应用题的难点问题。也为后面学习解法做一个铺垫。二拓展应用 PPT 展示1.方程2a-4*2-2b*+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程.在什么条件下此方程为一元二次方程.2.关于*的一元二次方程m-2*2+3*+m2-4=0，有一个解是 0，求 m 的值.师：亲爱的同学们，通过上面的学习，你能归纳一下本节课所学的知识吗.生：思考中，师：多媒体以填
14、空题的形式展示本节课的重要知识点,并引导生完成填空.四、科学归纳稳固新知1等号两边都是，只含有未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程2一般地，任何一个关于*的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫做一元二次方程的其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项3.能使一元二次方程的值是一元二次方程的解。又因只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为。设计意图：由于本节内容是本章的第一节课，所以，引导学生学会抽出知识点是一个学习方法和技能问题，故小结设计为填空题的形式。另外，它不仅是对本节重点内容的一个回忆，也是提醒学生对本
15、节知识点掌握程度的一个提示。五、课后作业能力提升教材作业必做.z.-教材 P4 习题 21.1补充作业选作一选择题1.以下方程中，一元二次方程的个数为()(1)2*23=0A1 个2(2)*2y2=5B2 个2(3)x245C3 个1 2x2D4 个(4)x22如果(a 1)x 3ax a 1 0是关于*的一元二次方程，则a的取值范围是Aa0Ba1Ca 1D任何实数3关于*的一元二次方程mx 2(m 3)x m 6 0(m 0)，不管 m 取何值，该方程都有一个根，这个根是A1B-1C0D2二、填空题4把(*3)(2*5)*(3*1)=15 化成一般形式为_，a=_，b=_，c=_5假设(m
16、2)xm222x3=0 是关于*的一元二次方程，则m的值是_1 _。a6.a是方程*2*-1=0 的根，求a三、解答题7关于*的方程(k 1)x(k 1)x2 0.当 k 取何值时，此方程为一元一次方程.并求出此方程的根；当 k 取数项.何值时，此方程为一元二次方程.并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.课外作业补充作业 参考答案1.A;2.B;3.B4.*2-12*=0,1,-12,0;5.-2;6.-1.7.(1)要使方程为一元一次方程，则需22k21 0解得k=1.k 1 0当k=1时，原方程变为2*-2=0,解得*=1.(2)要使此方程为一元二次方程，则需k2-10.即k1.方程(k 1)x(k 1)x2 0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为k2-1、k+1和-2.22【板书展示】【板书展示】.z.