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1、一对一授课教案学员姓名：年级：所授科目：上课时间：年月日时分至时分共小时教师签名教师签名教学主题教学主题上次作业检查上次作业检查本次上课表现本次上课表现本次作业本次作业学生签名学生签名空间向量与立体几何空间向量与立体几何一知识要点。1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。2向量具有平移不变性2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图。运算律：加法交换律：a b b a加法结合律：(a b)c a (b c)数乘分配律：(a b)a b运算法那么：三角形法那么、平行
2、四边形法那么、平行六面体法那么3.共线向量。1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a/b。2共线向量定理：空间任意两个向量a、bb0，a/b存在实数，使ab。3三点共线：A、B、C 三点共线AB AC4与a共线的单位向量为aa4.共面向量1定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。2共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x,y使p xa yb。3四点共面：假设 A、B、C、P 四点共面AP xAB yAC5.空间向量根本定理：如果三个向量a,b,c不
3、共面，那么对空间任一向量个唯一的有序实数组x,y,z，使p xa yb zc。第 1 页p，存在一假设三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，那么对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OP xOA yOB zOC。6.空间向量的直角坐标系：1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA xi yi zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A(x
4、,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点 Ax,y,z关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)2 假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底，用i,j,k表示。空间中任一向量a xi y j zk=x,y,z3空间向量的直角坐标运算律：假设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，那么ab(a1b1,a2b2,a3b3)，假设A(x1,y1,z1)，B(x2,
5、y2,z2)，那么AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：假设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，AP PB，那么点P 坐标为x1x2y1y2z1z2(,)。推导：设Px,y,z那么111x1 x2y1 y2z1 z2(xx1,yy1,zz1)(x2x,y2y,z2z),显然，P(,)当 P 为 AB 中点时，222ABC中，A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，三 角 形 重 心P(x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3,)322P坐
6、标 为ABC 的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP(ABABACAC)单位向量外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PA PB PC垂心 P：高的交点：PAPB PAPC PBPC移项，内积为 0，那么垂直重心 P：中线的交点，三等分点中位线比AP 1(AB AC)3中心：正三角形的所有心的合一。4模长公式：假设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，那么|a|aa a12a22a32，|b|5夹角公式：cos ab ab|a|b|222bb b1b2b3a1b1a2b2a3b322。22a a2a321b b2b321ABC 中AB AC 0A 为锐角AB AC 0A
7、 为钝角，钝角第 2 页6两点间的距离公式：假设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，那么|AB|AB(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2，或dA,B(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)27.空间向量的数量积。1 空间向量的夹角及其表示：两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA a,OB b，那么AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b；且规定0 a,b，显然有 a,b b,a；假设 a,b 22，那么称a与b互相垂直，记作：a b。2 向量的模：设OA a，那么有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|。3 向量的数量积：向量a,b，那么|a|b|
8、cos a,b 叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa,b。4空间向量数量积的性质：5空间向量数量积运算律：(a)b(ab)a(b)。ab b a交换律。a(b c)ab ac分配律。不满足乘法结合率：(ab)c a(bc)二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直共面与异面两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角共面与异面0O,90O两线的方向向量n1,n的夹角或夹角的补角，2cos cos n1,n2 3-1 线面夹角0O,9
9、0O：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，假设为锐角角即可，假设为钝角，那么取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin cos AP,n 3-2 面面夹角二面角0O,180O：假设两面的法向量一进一出，那么二面角等于两法向量n1,n2的夹角；法向量同进同出，那么二面角等于法向量的夹角的补角.cos cos n1,n2第 3 页4 点面距离h：求点Px0,y0到平面的距离：在平面上去一点Qx,y，得向量PQ;；计算平面的法向量n;.hPQ nn4-1 线面距离线面平行：转化为点面距离4-2 面面距离面面平行：转化为点面距离【典型例题】1根本运算与根本知识例 1.平行六面
10、体 ABCDABCD，化简以下向量表达式，标出化简结果的向量。例 2.对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式：OP xOA yOB zOC其中x y z 1的四点P,A,B,C是否共面？例 3 空间三点 A0，2，3，B2，1，6，C1，1，5。求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积 S；假设向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|3，求向量a的坐标。2基底法如何找，转化为基底运算3坐标法如何建立空间直角坐标系，找坐标4几何法例 4.如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB 6，AC 4，BC 5，OAC 45，OAB 60，求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向
11、量的夹角易出错，如 OA,AC 135易错写成 OA,AC 45，切记！例 5.长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC 4，E为AC11与B1D1的交点，F为BC1与B1C的交点，又AF BE，求长方体的高BB1。【模拟试题】1.空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简以下各表达式，并标出化简结果向量：1AB BC CD；2AB1(BD BC)；3AG1(AB AC)。222.平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量。1求证：四点E,F,G,H共面；2平面AC/平面EG。3.如图正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1 D1F1A1B1，求BE1
12、与DF1所成角的余弦。5.平行六面体ABCDABCD中，BAA DAA 60，求AC的长。14第 4 页参考答案1.解：如图，1AB BC CD AC CD AD；11122213AG(AB AC)AG AM MG。22.解：1证明：四边形ABCD是平行四边形，AC AB AD，E,F,G,H共面；2AB(BD BC)ABBC BD。2解：EF OF OE k(OB OA)k AB，又EG k AC，所以，平面AC/平面EG。3.解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz，那么B(1,1,0)，E311(1,4,1)，D(0,0,0)，F1(0,4,1)，4.分析：AB (2,1,3),AC (1,3,2),cosBAC AB AC1|AB|AC|2BAC60，S|AB|AC|sin60 7 3设ax，y，z，那么a AB 2x y 3z 0,解得 xyz1 或 xyz1，a1，1，1或a5.解：|AC|2(AB AD AA)2所以，|AC|85。第 5 页1，1，1。