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1、第六讲 解析函数与调和函数的关系 在3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。内 容 简 介 3.7 解析函数与调和函数的关系.),()00:),(2222内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数DyxyxLaplaceDyx?定义 内的调和函数。是，内解析在区域若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()(?定理 证明：设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 xvyuyvxuRC?方 程由yxvyuxyvxu?222222从
2、而有xyvyxvyxvyxu?22.),(),(具 有 任 意 阶 的 连 续 导 数理由 解 析 函 数 高 阶 导 数 定,0 D2222?yuxu内有故在0 2222?yvxv同理有0,0?vu2222yx?其中即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:内的调和函数。是，Dyxvvyxuu),(),(?.),(),(D,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数为设yxuyxvivuDyxu?定义 上面定理说明：上面定理说明：.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D.),(),(),(),()(,的共轭调和函数必为内在内解析在即yxuuyxvDDyxiv
3、yxuzf?由解析的概念得：.,:的共轭调和函数必为调和函数的两个方程内满足在uvvuvuvuRCDxyyx?.,一定解析内就不在则内的两个调和函数区域是任意选取的在若DivuDvu?现在研究反过来的问题：.的共轭调和函数不是yxuyxv?如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf?处处不解析平面上在（?由此，的共轭调和函数必须是方程，即还必须满足及内解析在要想使.,uvRCvuDivu?.),(),(ivuyxvRCyxu?从而构成解析函数程可求得它的虚部方利用部已知一个解析函数的实),(yxv虚部),(yxu实部0,),(,2222?yuxuDyxuD则则函数函数内的调和内
4、的调和是区域是区域一单连通区域一单连通区域设设内有连续一阶偏导数在、即Dxuyu?,dyxudxyudyyvdxxvxuxyuy?)()(且且),(yxdvv?)(),(),(),(00?cdyxudxyuyxvyxyx.内 解 析在方 程满 足DivuRCxuyvyuxv?.)(),()(,),(内解析在使得式所确定的则内调和函数在单连通设DivuzfyxvDyxu?定理?公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：dyxvdxyvdyyvdxxvduRC?方程由然后两端积分。由求其共轭调和函数已知：方程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyRC?:),(),(类似地，然后两端积分得，)(),(),(),(00?cdyvdxvyxuyxyxxy?调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。iifyxyxuivuzf?1)()(22由下列条件求解析函数由下列条件求解析函数例1 dyyxdxxydyyvdxxvdvxyyuxvyxxuyv)2()2(22?解 cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx?222)2()2()2(),(220),()0,0(曲线积分法 icziiciyxiiyxc