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1、1.了解数列的概念和几种简单的表示方法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、列表、图象、通项公式图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数了解数列是自变量为正整数的一类函数.2.数列的通项公式数列的通项公式 如果数列如果数列an的第的第n项项an与与 之间的关系可以用一之间的关系可以用一 个公式个公式 来表示，那么这个公式叫这个数列的来表示，那么这个公式叫这个数列的 通项公式通项公式.1.数列的概念数列的概念 按照按照 排列着的一列数称为数列，一般用排列着的一列数称为数列，一般用 表表 示，数列中的每一个数叫做这个数列的项示，数列中的每一个数叫做这个数列的项.一定顺序一定顺序
2、an n序号序号n nan nf(n n)思考探究思考探究(1)数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：提示：不唯一，如数列不唯一，如数列1,1，1,1，的通项公式可的通项公式可以为以为an n(1)n n或或an n ，有的数列没有，有的数列没有通项公式通项公式.(2)数列是否可以看作一个函数，若是，其定义域是什么？数列是否可以看作一个函数，若是，其定义域是什么？提示：提示：可以看作一个函数，其定义域是正整数集可以看作一个函数，其定义域是正整数集N*(或或它的有限子集它的有限子集1,2,3，n n)，可表示为，可表示为an nf(
3、n n).3.数列的表示方法数列的表示方法 数列的表示方法有数列的表示方法有 、.列表法列表法公式法公式法图象法图象法1.下列说法正确的是下列说法正确的是 ()A.数列数列1,3,5,7可表示为可表示为1,3,5,7 B.数列数列1,0，1，2与数列与数列2，1,0,1是相同的数是相同的数 列列 C.数列数列 的第的第k项为项为1 D.数列数列0,2,4,6，可记为可记为2 n n解析：解析：根据数列的定义与集合定义的不同可知根据数列的定义与集合定义的不同可知A，B不正确；不正确；D项项2 n n中的中的n n N*，故不正确；，故不正确；C中中an n ，ak1 .答案：答案：C2.已知数列
4、已知数列1，则，则3 是这是这 个数个数 列的列的 ()A.第第22项项B.第第23项项 C.第第24项项 D.第第28项项解析：解析：数列的通项公式是数列的通项公式是an n ，令，令3 ，解得，解得n n 23，所以，所以3 是这个数列的第是这个数列的第23项项.答案：答案：B3.已知数列已知数列an n的前的前n n项的乘积为项的乘积为Tn n ，n n N*，则，则a100 ()A.3198 B.3199 C.3200 D.3201解析：解析：a100 3199.答案：答案：B4.数列数列an n的前的前n n项和项和Sn nn n21，则，则an n.解析：解析：当当n1时，时，a1
5、S12；当当n2时，时，an nSn nSn n1(n n21)(n n1)21n n2(n n1)22n n1，an答案：答案：5.设数列设数列an n中，中，a12，an n1an nn n1，则通项，则通项an n .解析：解析：由由an n1an n n n 1，an n1an n n n 1，a2a12，a3a23，a4a34，an nan n1 n n，累加得累加得an na123n n，an n .答案：答案：1.观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，横看横看“各项之间的关系结构各项之间的关系结构”，纵看，纵看“各项与项数各项
6、与项数n的关的关 系系”，从而确定数列的通项公式，从而确定数列的通项公式.2.利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征：利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征；分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.特别警示特别警示根据数列的前根据数列的前n项写出数列的一个通项公项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般从特殊到一般”的思想，的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注
7、意代值检由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用验，对于正负符号变化，可用(1)n或或(1)n1来调整来调整.写出下列数列的一个通项公式：写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，.(2)，.(3)1，.(4)，1，.(5)3,33,333,3 333，.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)各项减去各项减去1后为正偶数，所以后为正偶数，所以an n2n n1.(2)每一项的分子比分母少每一项的分子比分母少1，而分母组成数列，而分母组成数列21，22，23，24，所以，所以an n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子奇数项为负，偶数项为
8、正，故通项公式中含有因子(1)n n；各项绝对值的分母组成数列；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4；而各项绝对；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为，偶数项为3，即奇数，即奇数项为项为21，偶数项为，偶数项为21，所以，所以an n(1)n n .也可写成也可写成an n .(4)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式中必含有因子偶数项为负而奇数项为正，故通项公式中必含有因子(1)n n1，观察各项绝对值组成的数列，从第，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第项到第6项可见，分母分别由奇数项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是组成
9、，而分子则是321,421,521,621，按照这样的规律，第，按照这样的规律，第1、2两项两项可改写为，可改写为，所以，所以an n(1)n n1 .(5)将数列各项改写为将数列各项改写为 ，分母都是，分母都是3，而分子分别是而分子分别是101,1021,1031,1041，所以，所以an (10n n1).数列的通项数列的通项an n与前与前n n项和项和Sn n的关系是：的关系是：an n特别警示特别警示在应用此关系式求通项时，要分在应用此关系式求通项时，要分n n1和和n n 2两两种情况讨论，最后检验两种情形能否适合用一个式子表示，种情况讨论，最后检验两种情形能否适合用一个式子表示，
10、若能，将若能，将n n1的情况并入的情况并入n n 2时的通项时的通项an n；若不能，就用；若不能，就用分段函数表示分段函数表示.(2009安徽高考安徽高考)已知数列已知数列an n的前的前n n项和项和Sn n2 n n22 n n，数列，数列bn n的前的前n n项和项和Tn n2bn n.(1)求数列求数列an n与与bn n的通项公式；的通项公式；(2)设设cn n bn n，证明：当且仅当，证明：当且仅当n n 3时，时，cn n1cn n.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)a1S14；对于对于n n2，有，有an nSn nSn n12 n n(n n 1)2(n n 1)n
11、 n 4 n n.综上，综上，an n的通项公式的通项公式an n4 n n.将将n n1代入代入Tn n2bn n，得，得b12b1，故，故T1b11.(求求bn n)法一：法一：对于对于n n 2，由由Tn n12bn n1，Tn n2bn n得得bn nTn nTn n1(bn nbn n1)，bn n bn n1，bn n21n n.(求求bn n)法二：法二：对于对于n2，由由Tn n2bn n得得Tn n2(Tn nTn n1)，2Tn n2Tn n1，Tn n2 (Tn n12)，Tn n221 n n(T12)21 n n，Tn n221 n n，bn nTn nTn n1(2
12、21 n n)(222 n n)21 n n.综上，综上，bn n的通项公式的通项公式bn n21n n.(2)法一：法一：由由cn n bn nn n225n n，得得 (1 )2，当且仅当当且仅当n n3时，时，1 ，即即c cn n1c cn n.法二：法二：由由c cn n bn nn n225 n n，得，得c cn n1c cn n24 n n(n n1)22 n n 224 n n(n n 1)22，当且仅当当且仅当n n3时，时，c cn n1c cn n0，即，即c cn n1c cn n若将若将“Sn n2n n22n n”改为改为“Sn n3n nb”，如何求，如何求an
13、 n.解：解：当当n n1时，时，a a1S13b；n n2时，时，an nSn nSn n123n n1.当当b1时，时，a12适合适合an n23n n1，an n23n n1；当当b1时，时，a13b不适合不适合an n23n n1，an n综上可知，当综上可知，当b1时，时，an n23n n1；当当b1时，时，an n 由由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用常利用“化归法化归法”、“累加法累加法”、“累乘法累乘法”等等.1.构造等比数列，已知首项构造等比数列，已知首项a1，如果递推关系为，如果递推关系为an n1 qan nb(
14、n N*)时，求数列时，求数列an的通项公式的关键是将的通项公式的关键是将 an n1qan nb转化为转化为an n1aq(an na)的形式，其中的形式，其中 a的值可由待定系数法确定，即的值可由待定系数法确定，即qan nban n1qan n (q1)aa (q1).(此种方法称为待定系数法此种方法称为待定系数法)2.已知已知a1且且an nan n1f(n n)(n n2)，可以用，可以用“累加法累加法”，即，即an n an n1f(n n)，an n1an n2f(n n1)，a3a2f(3)，a2 a1f(2).所有等式左右两边分别相加，得所有等式左右两边分别相加，得 (an
15、nan n1)(an n1an n2)(a3a2)(a2a1)f(n n)f(n n1)f(3)f(2)，即即an na1f(2)f(3)f(n n1)f(n n).3.已知已知a1且且 f(n n)(n n2)，可以用，可以用“累乘法累乘法”，即，即 f(n)，f(n n1)，f(3)，f(2)，所有等，所有等式式 左右两边分别相乘，得左右两边分别相乘，得 f(n n)f(n n 1)f(3)f(2)，即即an na1f(2)f(3)f(n n1)f(n n).根据下列条件，确定数列根据下列条件，确定数列an n的通项公式的通项公式.(1)a11，an n13an n2；(2)a12，an
16、n1an n3n n2.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)an n13an n2，an n113(an n1)，即即 3，又，又a11，a112，数列数列an n1是以是以2为首项，以为首项，以3为公比的等比数列为公比的等比数列.an n123n n1，an n23n n11.(2)an n1an n3n n2，an nan n13n n1(n n2)，an n(an nan n1)(an n1an n2)(a2a1)a1(3n n1)(3n n4)52 n n (n n2).当当n n1时，时，a1 (311)2符合公式，符合公式，an (3 n n 2 n n).若将若将(1)中的中的
17、“an n13an n2”改为改为“an n1(n n1)an n”，如，如何求何求an n.解：解：an n1(n n1)an n，n n1.n n，n n 1，3，2，a11.累乘可得，累乘可得，an nn n(n n 1)(n n 2)321.由于数列可以视为一种特殊的函数，所以在研究数列由于数列可以视为一种特殊的函数，所以在研究数列问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求解，如：问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求解，如：1.有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数 列的单调性来解决；列的单调性来解决；2.将数列的项的最值问题转化
18、为二次函数的最值问题解决将数列的项的最值问题转化为二次函数的最值问题解决.特别警示特别警示在利用数列的函数性质解题时一定要注意在利用数列的函数性质解题时一定要注意n n只能取正整数只能取正整数.已知函数已知函数f(x)2x2x，数列，数列an n满足满足f(log2an n)2n n.(1)求数列求数列an n的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列an n的最大项的最大项.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)依题意得依题意得f(log2an)2 2an 2n，2nan10，又，又an0，an n.(2)由由(1)得，得，an1an (n1)(n)1 10，an1an，即数列，即数列an为
19、递减数列，其最大项为为递减数列，其最大项为a1 1.高考对本节内容的常规考法是：已知数列的通高考对本节内容的常规考法是：已知数列的通项或递推关系式，求数列的各项项或递推关系式，求数列的各项.09年陕西高考打破年陕西高考打破传统的考查方式，将数列与导数相结合命题，考查传统的考查方式，将数列与导数相结合命题，考查了学生综合运用所学知识处理问题的能力，是高考了学生综合运用所学知识处理问题的能力，是高考命题的一个新方向命题的一个新方向.考题印证考题印证 (2009陕西高考陕西高考)设曲线设曲线yxn1(n N*)在点在点(1,1)处的切处的切线与线与x轴的交点的横坐标为轴的交点的横坐标为xn，则，则x
20、1x2xn等于等于 ()A.B.C.D.1 【解析解析】f(x)(n1)xn，f(x)在点在点(1,1)处的切线斜处的切线斜率率kn1，则切线方程：，则切线方程：y1(n1)(x1)，令，令y0，切线与切线与x轴交点横坐标轴交点横坐标xn ，x1x2xn .【答案答案】B 自主体验自主体验 对正整数对正整数n，设曲线，设曲线yxn(1x)在在x2处的切线与处的切线与y轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为an，则数列，则数列 的前的前n项和项和Sn .解析：解析：yxn(1x)，y(xn)(1x)(1x)xnnxn1(1x)(xn).f(2)n2n12n(n2)2n1.在点在点x2处点的纵坐标为处点
21、的纵坐标为y2n，切线方程为切线方程为y2n(n2)2n1(x2)，与与y轴交点纵坐标为轴交点纵坐标为y(n1)2nan，2n成等比数列，首项为成等比数列，首项为2，公比为公比为2，前前n项和为项和为 (2n1)22n12.答案：答案：2n121.数列数列an：1，的一个通项公式是的一个通项公式是 ()A.an(1)n1 B.an(1)n1 C.an(1)n1 D.an(1)n1解析：解析：可用验证法取可用验证法取n1，可知只有，可知只有D适合适合.答案：答案：D2.数列数列an中，中，an1 ，a12，则，则a4 ()A.B.C.D.解析：解析：由递推关系式可得由递推关系式可得a2 ，a3
22、，a4 .答案：答案：B3.已知数列已知数列an的通项公式是的通项公式是ann2kn2，若对于，若对于 nN*，都有，都有an1an成立，则实数成立，则实数k的取值范围是的取值范围是 ()A.k0 B.k1 C.k2 D.k3解析：解析：an1an，即，即(n1)2k(n1)2n2kn2，则则k(2n1)对于对于nN*都成立，而都成立，而(2n1)在在n1时时取到最大值取到最大值3，所以，所以k3.答案：答案：D4.已知数列已知数列an满足满足a1a2a3ann2n1，则数列则数列an的通项为的通项为.解析：解析：当当n1时，时，a11，当，当n2时，时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(
23、n1)1n2n(n1)2(n1)2n2.又又当当n1时时2n201an .答案：答案：an1 (n=1)2n-2 (n2)1 (n=1)2n-2 (n2)5.(2010苏北三市联考苏北三市联考)若数列若数列an满足满足an1 且且a1 ，则，则a2008 .2an (0an1),an-1 (an1).解析：解析：由条件可知由条件可知a22a12 ，a3a21 1 ，a42a3 ，a5a41 1 ，a62a5 ，a72a6 ，数列数列an的周期为的周期为5，200840153，a2008a3 .答案：答案：6.设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn.已知已知a1a，an1Sn3n，nN*.(
24、1)设设bnSn3n，求数列，求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)若若an1an，nN*，求，求a的取值范围的取值范围.解：解：(1)(把把an1转化为转化为Sn1Sn)依题意，依题意，Sn1Snan1Sn3n，即即Sn12Sn3n，由此得由此得Sn13n12(Sn3n)，因此，所求通项公式为因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN*.(2)由由知，知，Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当于是，当n2时，时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n212()n2a3，当当n2时，时，an1an12()n2a30a9.又又a2a13a1.综上，所求的综上，所求的a的取值范围是的取值范围是9，).