《2022届高考数学一轮复习核心素养测评第九章9.7.2利用空间向量求二面角与空间距离理含解析北师大版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学一轮复习核心素养测评第九章9.7.2利用空间向量求二面角与空间距离理含解析北师大版.pdf（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、.核心素养测评五十一核心素养测评五十一利用空间向量求二面角与空间距离利用空间向量求二面角与空间距离1.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D 是棱 CC1上的一点,P 是 AD的延长线与 A1C1的延长线的交点,且 PB1平面 BDA1.求证:CD=C1D.求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值.求点 C 到平面 B1DP 的距离.解析连接 AB1,交 BA1于点 O,连接 OD.因为 B1P平面 BDA1,B1P平面 AB1P,平面 AB1P平面 BA1D=OD,所以 B1POD.又因为 O 为 B1A 的中点,所以 D 为 AP 的中点.
2、因为 C1DAA1,所以 C1为 A1P 的中点.所以 DC1=AA1=CC1,所以 C1D=CD.建立如图所示的空间直角坐标系A1-xyz,则 B1,B,D 0,1,所以=,=,=0,1,.设平面 BA1D 的一个法向量为 n=.由得令 z1=2,则 x1=-2,y1=-1,所以 n n=.又=为平面 AA1D 的一个法向量,所以 cos=-.由图形可知二面角 A-A1D-B 为锐角,所以二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值为.因为 C,D 0,1,B1,P,所以=0,0,-,=1,-1,-,=0,1,-.设平面 B1DP 的一个法向量为 mm=.由得令 z2=2,则 x2=2,y2=1
3、,所以 mm=.所以点 C 到平面 B1DP 的距离 d=.2.如图,在多面体 ABCDE 中,已知四边形 BCDE 为平行四边形,平面 ABC平面ACD,M 为 AD 的中点,ACBM,AC=BC=1,AD=4,CM=.求证:BC平面 ACD.求二面角 D-BM-E 的余弦值.解析 在MAC 中,因为 AC=1,CM=所以 AC2+CM2=AM,所以由勾股定理的逆定理,得 MCAC,又 ACBM,BMCM=M,所以 AC平面 BCM,因为 BC平面 BCM,所以 BCAC,AM=2,因为平面 ABC平面 ACD,且平面 ABC平面 ACD=AC,BC所以 BC平面 ACD.因为 BC平面 ACD,所以 BCCM.又 BCAC,MCAC,故以点 C 为坐标原点,CA,CB,CM所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,平面 ABC,所以 A,B,M,D,E,.所以=,=,=.设平面 DBM 的法向量为 mm=.由得取 z1=1,所以 mm=.设平面 EBM 的法向量为 n n=.由得取 z2=1,所以 n n=,所以 cos=.因为二面角 D-BM-E 为锐二面角,故其余弦值为.