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1、高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第四十九讲第四十九讲第四十九讲第四十九讲常数项级数的概念脚本编写：教案制作：n个0n个9通俗地说：无限多个数的和可以是一个有限的数.引例1:庄子庄子天下篇天下篇：“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺一尺长的棍子长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半,第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,这样永远也取不完这样永远也取不完.引例引例2把每日所取排列起来：棰取走的部分总共长：此是公比为的等比数列，(常数项常数项)无穷级无穷级数数一般项一般项部分和数
2、列部分和数列级数的部分和级数的部分和v常数项级数的定义 u1 u2 u3 un 上页下页铃结束返回首页下列各式均为常数项级数例1上页下页铃结束返回首页v级数举例 调和级数 几何级数级数的展开形式备注一般项简写形式等比级数aqn1p级数 下页v级数敛散性定义 (包括极限为),上页下页铃结束返回首页v余项 rnssnun1un2 下页上页下页铃结束返回首页 例例2.证明级数 123 n 是发散的 此级数的部分和为 证证:下页上页下页铃结束返回首页故级数发散.例例1 1 讨论级数的敛散性.解:因则解解收敛收敛发散发散例例1 1 讨论讨论等比等比级级数数(几何几何级级数数)的收的收敛敛性性.当公比当公
3、比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.发散发散发散发散 综上所述综上所述,例例1 1讨论讨论等比等比级级数数(几何几何级级数数)的收的收敛敛性性.当公比当公比|q|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.上页下页铃结束返回首页例7收敛吗?解:因为收敛.上页下页铃结束返回首页例8讨论的收敛性.解:因收敛,即是一个有限的数,而从1加到也是个有限的数,因此级数收敛.例例2.判别级数 的敛散性:解解:利用“拆项拆项”求和所以所以级级数数发发散散.解解:例例2 2讨论讨论无无穷级穷级数数 的收的收敛敛性性.二、收敛级数的基本性质sn、sn、tn
4、则 结论结论:两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质2 设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛,且有且有注注:证证(2):(2):矛盾矛盾.假设假设收敛收敛,上页下页铃结束返回首页二、收敛级数的基本性质 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 性质1 性质2下页上页下页铃结束返回首页二、收敛级数的基本性质 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 性质1 性质2 性质4 如果级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 下页
5、收敛,则也收敛.上页下页铃结束返回首页加加括号仍为收敛级数括号仍为收敛级数.注注 收敛级数收敛级数是收敛的.注注“加括号后所成的级数收敛加括号后所成的级数收敛,原级数不一定收敛原级数不一定收敛.”.”例如级数是发散级数.但将相邻的两项加括号后所得级数收敛,则也收敛.上页下页铃结束返回首页例7 性质2收敛吗?解:因为和均收敛,根据性质2,级数收敛.上页下页铃结束返回首页v级数收敛的必要条件 下页若级数收敛,则必有定理n个0上页下页铃结束返回首页v级数收敛的必要条件 证:注意:(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 不能因为一般项趋于零就断定级数收敛 (2)如果一般项不趋于零 则级数必发
6、散 因此此性质常用于判断级数发散下页若级数收敛,则必有定理定理上页下页铃结束返回首页由于故该级数发散.解解:例5级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:若级数收敛,则必有上页下页铃结束返回首页是必要不充分条件是必要不充分条件:再举一例：再举一例：v级数收敛的必要条件 若级数收敛,则必有定理但级数是否收敛但级数是否收敛?例例4 4.这是因为这是因为 y=1/x上页下页铃结束返回首页结束v级数收敛的必要条件 若级数收敛,则必有定理上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页作业P1261.2.3.4.(1)(3)(5)(7)(8)5.(1)高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）
7、第五十讲第五十讲第五十讲第五十讲正项级数脚本编写：教案制作：上页下页结束返回首页铃8.2 正项级数及其审敛法上页下页铃结束返回首页第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 1.1.定义定义:这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 极限不存在证明证明第一比较判别法第一比较判别法(2)(2)是是(1)(1)的等价命题的等价命题.则则大收小收,小发大发.上页下页铃结束返回首页第一比较判别法第一比较判别法解解例例2 2重要参考级数重要参考级数:p-级数级数,调和级数，调和级数，几何级
8、数几何级数例例2 2提示:解解:例例3 3例例4 4解解:要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性,就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式,但有时直接建立这样的不等式相当困难,为应用方便,我们给出比较判别法的极限形式.定理定理8 8(第一比较判别法的极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0l+时,级数同时敛散;v第二比较判别法 简要说明：简要说明：这样两级数有相同的敛散性.定理定理8 8(第一比较判别法的极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0l+时,级数同时敛散;(2)当l=0且级数且级数也收敛;收敛时,级数v第二比较判别法 简要说明简要说明(2)：得证.定理定理8 8(第一
9、比较判别法的极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0l+时,级数同时敛散;(2)当l=0且级数且级数也收敛;收敛时,级数(3)当l=+且且级数也发散.发散时,级数v第二比较判别法 简要说明简要说明(3)：得证.,设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数 如果如果,当当时时;则则(1)(1)两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性 (3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;第一比较判别法的极限形式第一比较判别法的极限形式:v第二比较判别法 上页下页铃结束返回首页例例5 5v第二比较判别法 解解:上
10、页下页铃结束返回首页例例6 6v第二比较判别法 解解:上页下页铃结束返回首页v第二比较判别法 例例3.解解:根据第二比较判别法知上页下页铃结束返回首页 例例3.解解:下页根据第二比较判别法知实际是实际是 与与 同阶无穷小同阶无穷小 之间的比较之间的比较.上页下页铃结束返回首页例例1515 判定级数的敛散性:由比较判别法的极限形式知收敛.抓主要项抓主要项抓大头抓大头上页下页铃结束返回首页例设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由第二比较判别法可知收敛.v第二比较判别法 (2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;,设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数 如果如果上页下
11、页铃结束返回首页注注7 7 使用第一和第二比较判别法,需记住一些已知其收敛性的级数,而且建立不等式关系也比较繁.而事实上,一个正项级数的收敛性有其自身内在的本质,可以利用级数自身的特点,来判定级数的收敛性.v第二比较判别法 上页下页铃结束返回首页除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数.阿贝尔(Abel,Niels Henrik,1802-1829)当公比当公比|q|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.(1)1(包括 =)时,级数发散；(3)=1 时,不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身利用级数本身来进行判别来进
12、行判别.比值判别法(达朗贝尔判别法)：例例1111收敛收敛.解解:解解根据第一比较判别法，根据第一比较判别法，原级数收敛原级数收敛例7 判别的敛散性.比值判别法与比较判别法的综合应用比值判别法与比较判别法的综合应用由比值判别法，由比值判别法，例8 判别的敛散性.解解上页下页铃结束返回首页例7判别的敛散性.解解:v比值判别法(达朗贝尔判别法)收敛收敛.例例1313解解:所以用所以用比值法无法判断比值法无法判断.用第二比较判别法用第二比较判别法,收敛收敛.上页下页铃结束返回首页例8假设判别的收敛性.v比值判别法解:则(1)若 ,则级数收敛.(2)若 ,则级数发散.(3)若 ,此时比值判别法失效,时
13、,则级数收敛,时,则级数发散.但此时原级数为上页下页铃结束返回首页除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数.阿贝尔(Abel,Niels Henrik,1802-1829)当公比当公比|q|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.上页下页铃结束返回首页定理定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设 为正项级则数,且简要说明：简要说明：上页下页铃结束返回首页时,级数可能收敛也可能发散.说明说明:定理定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设 为正项级则数,且上页下页铃结束返回首页定理定理5.根值判别法(Cauchy判别法
14、)设 为正项级则数,且根值判别法适合 中含有某表达式的 次幂.例例1515解解:所以所以级级数收数收敛敛.例例1616解解:所以所以级级数收数收敛敛.上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法收敛不能 用它比较判别法级数发散判别内容小结：正项级数的审敛法un vn洛必达法则：复杂的型,上页下页铃结束返回首页例6判别级数的收敛性.复杂的型,解:令由于从而是 级数,其中收敛.从而 收敛.洛必达法则：上页下页铃结束返回首页作业P1371.2.(2)(4)(5)(8)3.(2)(4)(6)高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第五十一讲第五十一讲第五十一讲第五十
15、一讲正项级数判别法应用实例脚本编写：教案制作：上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法收敛不能 用它比较判别法级数发散判别内容小结：正项级数的审敛法un vn洛必达法则：复杂的型,6.正项级数正项级数比较判别法比较判别法的基本题型和应用实例的基本题型和应用实例 (1)利用比较法（不等式形式）直接判敛题型利用比较法（不等式形式）直接判敛题型:(2)利用比较法利用比较法（极限形式）（极限形式）直接判敛题型直接判敛题型:抓主要项抓主要项上页下页铃结束返回首页例例1515 判定级数的敛散性:由比较判别法的极限形式知收敛.抓主要项抓主要项抓大头抓大头 例例5 5例例6 6例例7 7
16、(3)带有参数的正项级数的讨论判敛题型带有参数的正项级数的讨论判敛题型:上页下页铃结束返回首页例例9 9 判定下列级数的敛散性收敛,收敛.故v第二比较判别法 上页下页铃结束返回首页例例9 9 判定下列级数的敛散性收敛,收敛.故v第二比较判别法 6.正项级数正项级数比较判别法比较判别法的基本题型和应用实例的基本题型和应用实例 (1)利用比较法（不等式形式）直接判敛题型利用比较法（不等式形式）直接判敛题型:例6判别的敛散性.(其中 ,正常数).解:(2)当 时,而此时,收敛,收敛.因此(1)当 时,而为调和级数,发散,发散.因此要找出 中起主要作用的项.(4)证明正项级数收敛或发散的题型证明正项级
17、数收敛或发散的题型:v第二比较判别法 (4)证明正项级数收敛或发散的题型证明正项级数收敛或发散的题型.v第二比较判别法 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法
18、比值判别法(DAlembert 法法）的应用实例的应用实例 上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法收敛不能 用它比较判别法级数发散判别内容小结：正项级数的审敛法un vn洛必达法则：复杂的型,上页下页铃结束返回首页作业P1388.13.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)6.10.11.高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第五十二讲第五十二讲第五十二讲第五十二讲任意项级数的审敛法脚本编写：教案制作：上页下页结束返回首页铃一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛8.3 8.3 任意项级数的审敛法任意项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页
19、上页下页铃结束返回首页 本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同的变号级数(任意项级数).如级数 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中的一种各项正负相间的特殊情形 交错级数.上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 下页这这是交是交错级错级数数.上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 下页上页下页铃结束返回首页v莱布尼茨定理 则级数收敛 且其和su1 简要证明简要证明:下页设级数的前n项部分和为sn及 s2nu1(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u2n
20、 设s2ns(n)则也有s2n1s2nu2n1s(n)所以sns(n)因此级数是收敛的 且级数的和su1可见数列s2n单调增加且有界(s2nu1)所以数列s2n收敛s2n可写成称称莱布尼茨莱布尼茨型级数型级数 上页下页铃结束返回首页 例例9.这是一个交错级数 因为此级数满足 证证:是莱布尼茨型级数 故收敛v莱布尼茨定理 则级数收敛 且其和su1首页.上页下页铃结束返回首页 例例9.这是一个交错级数 因为此级数满足 证证:首页.例 验证:不管 大于 还是不大于 ,只要均收敛.是莱布尼茨型级数 故收敛是莱布尼茨型级数 故收敛三、任意项级数的三、任意项级数的绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛定义定
21、义:正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数.由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了.它的每一项取绝对值后组成的级数正项级数,便考察三、任意项级数的三、任意项级数的绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数.上页下页铃结束返回首页定理证证 un|un|从而例例1818例例1919定理的作用：定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数说明说明:定理(1)1(包括=)时,原级数发
22、散.(3)=1 时,不能由此断定级数的敛散性.定理(任意项级数的达朗贝尔比值判别法)因此收敛,绝对收敛.例例11 11 判定级数 的敛散性.解解:由达朗贝尔比值判别法，由达朗贝尔比值判别法，例例11 11 判定级数 的敛散性.由达朗贝尔比值判别法，由达朗贝尔比值判别法，故当 时，该级数收敛.解解:例例2121解解:上页下页铃结束返回首页总结：v绝对收敛与条件收敛 绝对收敛条件收敛收敛发散上页下页铃结束返回首页注注1 1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛所有正项级数的收敛都是绝对收敛.注注2 2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来判定判定 是否收敛是否
23、收敛.定理例例2020解解定理例例1515 判定级数 的敛散性:由比较判别法的极限形式知故级数 绝对收敛.收敛，例例2424解解:上页下页铃结束返回首页级数是否收敛?解解由调和级数的发散性可知,故发散.例16故级数不是绝对收敛的.上页下页铃结束返回首页原级数是一个交错级数,且满足：所以级数是收敛的.由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛.级数是否收敛?例16解解是条件收敛.上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法绝对收敛不能 用它莱布尼茨定理交错级数比较判别法原级数发散发散至多条件收敛判别收敛内容小结：任意项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页作业P1384.(1)(2)(3)
24、5.(1)(3)7.14.17.13.(9)(10)9.12.高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十三讲第五十三讲 函数项级数函数项级数 幂级数幂级数脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 上页下页结束返回首页铃8.4 幂级数上页下页铃结束返回首页一一.函数项级数函数项级数二二.幂级数及其敛散性幂级数及其敛散性三三.幂级数的运算幂级数的运算上页下页铃结束返回首页1.函数项级数的定义设有一函数序列为定义在区间 I 上的函数项级数.一、函数项级数上页下页铃结束返回首页函数项级数 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数上页下页铃结束返回首页2.
25、函数项级数的敛散性的收敛点.的发散点.记为记为D D.函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项(x在收敛域内在收敛域内)注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:(定义域是定义域是?)上页下页铃结束返回首页函数项级数 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数例例11 11 求级数 的收敛域.由达朗贝尔比值判别法，由达朗贝尔比值判别法，上页下页铃结束返回首页形如的级数称为幂级数,其中,称为幂级数的系数.1.幂级数的定义幂级数的定义 在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每一项都是 x 的幂函
26、数,即 .例如:其中证明：证明：O2.幂级数的敛散性由正项级数的比较审敛法知由正项级数的比较审敛法知,O证明：证明：由由(1)结论结论,O证明：证明：2.幂级数的敛散性几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域O O推论推论定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域O O上页下页铃结束返回首页定理定理2.若的系数满足证证:1)若0,则根据比值判别法可知:当原级数绝对收敛;当原级数发散.即时,1)当 0 时,2)当0 时,3)当时,即时,则 因此
27、级数的收敛半径（）上页下页铃结束返回首页定理定理2.若的系数满足证证:1)当 0 时,2)当0 时,3)当时,则 2)若则根据比值判别法可知,绝对收敛,3)若则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,对任意 x 原级数因此因此 上页下页铃结束返回首页的收敛半径为说明说明:据此定理定理定理2.若的系数满足1)当 0 时,2)当0 时,3)当时,则 上页下页铃结束返回首页例例3解解综上所述,得:(2)判断x=R时,级数 和(3)写出幂级数 的收敛区域.注7 (1)当R=0时,幂级数(2)当R=+时,幂级数的敛散性;只在x=0收敛.此时收敛区间为此时收敛区间为(-,+).(-,+).对于一切对于一切
28、x均收敛均收敛,注6 求幂级数 的收敛域的步骤是:(1)求出收敛半径得收敛区间为(-R,R).例例2 2解解例例3 3解解上页下页铃结束返回首页例17 求幂级数的收敛半径及收敛域:下面考察x=1时幂级数的敛散性:当x=1时,幂级数变为当x=-1时,幂级数(1)变为故原级数收敛域为1,1.是绝对收敛的;是绝对收敛的;注8 我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都是如对标准幂级数而言的;但形非标准幂级数,下方法求收敛半径和收敛区域:直接用上述方法求收敛半径和收敛区间,却不能而只能是采用如第一种:用变量代换把它们化为标准幂级数 如令变量代换上页下页铃结束返回首页谁的收敛半径？解解6.非标准幂级数
29、收敛区间的求法非标准幂级数收敛区间的求法上页下页铃结束返回首页由交错级数判别法,可知此时级数收敛.上页下页铃结束返回首页例例5解解上页下页铃结束返回首页由级数收敛的必要条件,可知综上所述,缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛级数收敛,例例5 5解解:级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,所以原级数的收敛域为所以原级数的收敛域为级数收敛级数收敛,例例5 5解解:上页下页铃结束返回首页例6求 的收敛半径和收敛域.解:当|x|1 时,=0 1 时,=,因此级数的收敛域为级数 发散.半径R为1.当|x|=1 时,=,级数绝对收敛.上页下页铃结束返回首页作业P1541.
30、(2)(4)(6)(8)5.6.高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十四第五十四 幂级数的运算幂级数的运算求幂级数的和函数求幂级数的和函数脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 上页下页结束返回首页铃8.5 幂级数的运算上页下页铃结束返回首页二.幂级数的运算注注9 9 两个收敛的幂级数在它们共同的收敛区间上可以两个收敛的幂级数在它们共同的收敛区间上可以逐逐项相加项相加.1.1.代数运算性质代数运算性质:(1)加减法加减法2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析
31、运算性质:且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:的敛散性,并求其收敛域.这是等比级数.故该级数的收敛域为:要打开思路!解解例例28.利用幂级数和函数利用幂级数和函数逐项求导，逐项求积逐项求导，逐项求积性质求幂级数的和函数性质求幂级数的和函数9.问题问题 （2）利用幂级数和函数逐项求导，逐项求积性质求幂级数和函数）利用幂级数和函数逐项求导，逐项求积性质求幂级数和函数 的实例的实例 例例7 7 解 求得幂级数的收敛域为求得幂级数的收敛域为1 1)解 例1解的和函数的和函数由此题由此题有时需要进行逐项求导连续两次或逐项积分连续两次.上页下页铃结束返回首页例
32、例2020 求下列幂级数的收敛域及和函数:解:设则此幂级数的收敛区间为(-1,1).而当 x=1时,级数故收敛区域为(-1,1).发散.需要时可将幂级数拆开将原级数逐项积分有再将级数S1(x)逐项积分有对上式两端求导有对此式两端再求导有(1x1)上页下页铃结束返回首页作业P1559.2.(1)(3)(4)(5)(6)(7)高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十五讲第五十五讲第五十五讲第五十五讲脚本编写：教案制作：函数展开为幂级数函数展开为幂级数函数展开为幂级数函数展开为幂级数上页下页结束返回首页铃一、麦克劳林级数二、函数展开成幂级数8.5 函数展开成幂级数上页
33、下页铃结束返回首页第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 上节例题上节例题求幂级数求幂级数,在其收敛域在其收敛域内以内以f(x)为和函数为和函数问题问题:1.如果能展开如果能展开,是什么是什么?上页下页铃结束返回首页 如果f(x)在点x00的某邻域(R,R)内能展开成x的标准幂级数 即 f(x)a0a1xa2x2 anxn a0f(0)a1f(0)提示:f(x)2!a232a3x43a4x254a5x3 f(0)2!a2 f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2an1x f(n)(0)n!an那么有 f(x)a12a2x3a3x24a4x35a5x4 f(0)a1 下页f(x)上页下
34、页铃结束返回首页v麦克劳林级数此级数称为f(x)的麦克劳林级数 下页上页下页铃结束返回首页下页v泰勒级数 v麦克劳林级数f(x)f(x)在泰勒级数中取x00 得 非标准幂级数上页下页铃结束返回首页三、函数展开为三、函数展开为幂级数幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法上页下页铃结束返回首页v直接法的步骤第一步 求出f(x)的各阶导数:f(x)f(x)f(n)(x);第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值:f(0)f(0)f(0)f(n)(0);第三步 写出幂级数并求出收敛半径R;下页直接展开法直接展开法由此可得 上页下页铃结束返回首页 例例1.将函数f(x)ex展开成x的幂级数 解解:显
35、然 f(n)(x)ex(n1,2,)由此得级数 f(n)(0)1(n1,2,)下页下页f(x)上页下页铃结束返回首页例例2.将函数f(x)sin x展开成x的幂级数 解解:所以f(n)(0)顺序循环地取0,1,0,1,(n0,1,2,3,)于是得级数 它的收敛半径为R 由此得展开式 下页f(x)例例3.将函数f(x)(1x)m(m为任意常数)展开成x的幂级数 所以 f(0)1 f(0)m f(0)m(m1)f(n)(0)m(m1)(m2)(mn1)由此得幂级数 解解:f(x)的各阶导数为f(x)m(1x)m1 f(x)m(m1)(1x)m2 f(n)(x)m(m1)(m2)(mn1)(1x)m
36、n 因此(1x1)f(x)上页下页铃结束返回首页v麦克劳林级数下页f(x)间接展开法间接展开法直接展开法太麻烦 根据展开式的唯一性根据展开式的唯一性,利用已知展开式利用已知展开式,通过通过变变量代换量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.两边求导两边求导,得得2.2.间接展开法间接展开法例例4 4上页下页铃结束返回首页 例例5.解解:已知把x换成x2 得 提示:收敛半径的确定:由1x21得1x1下页例例5 5解：解：提示:上页下页铃结束返回首页v幂级数展开式小结结束上页下页铃结束返回首页例例22将上述两式两端分别从0到 x(
37、1 x 1)积分,得(1x1)(1x1)例例7 7解解:例例8 8上页下页铃结束返回首页例例1 把函数 展开为关于 的 幂级数.解解:例例9 9解解解解例例1313(95(95五五6)6)例例1010解解例例1111解解上页下页铃结束返回首页例14已知求解:设关于的幂级数为而又可写成因此有所以上页下页铃结束返回首页作业P1554.8.10.(3)3.(1)(2)(5)(7)(8)(9)微微积分学分学第八章第八章 无穷级数无穷级数习题课习题课1 1、常数项级数、常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同
38、乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.性质性质2 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质3 3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法正项级数正项级数任意项级数任意项级数5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛4.莱布尼茨定理莱布尼茨定理1.2.交错级数交错级数5.条件收敛条件收
39、敛定义定义2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法充分必要条件充分必要条件:(1)(1)比较审敛法比较审敛法比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:,设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数 如果如果,当当时时;则则(1)(1)两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性 (3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;定义定义 正正 、负项相间的级数称为、负项相间的级数称为交错级数交错级数.3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法定义定义 正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级
40、数称为任意项级数任意项级数.4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法5 5、函数项级数、函数项级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域否否则则称称为为发散点发散点.所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域.3.3.和函数和函数:(定义域是定义域是?)(1)(1)定义定义5 5、幂级数、幂级数收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域O O2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算
41、性质:6 6、幂级数展开式、幂级数展开式(1)定义定义(3)展开方法展开方法a.直接法直接法b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过通过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方法等方法,求展开式求展开式.(4)常见函数展开式常见函数展开式典型例题典型例题例例1 1判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:解解所以原级数发散所以原级数发散解解解解(8888八八3)3)解解再根据比较判别法，再根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛由比值审敛法知由比值审敛法知,解解例例3 3(96(96二二3)3)下列各选项正确的是（下列各选项正确的是（）.解解(95(95二二3)3)例例4 4选选(C).(C).解解例例5 5(00(00二二3)3)证证例例9 9解解例例1111(92(92一一3)3)例例5 5解解(1x1)解解例例1212解解例例1414(94(94三三5)5)复数的定义：复数的定义：记此方程虽然在实数范围内无解，但则方程在复数范围内有解是一个数，也是一个复数欧拉欧拉(Euler)公式公式:这里 是一个常常数解解方程方程解解:例例2 2