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1、11.71.7 定积分的简单应用定积分的简单应用1.7.11.7.1 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用1.7.21.7.2 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在a，b上是连续函数，由直线y0，xa，xb与曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)0 Sf(x)dxb af(x)0 Sf(x)dxb a(2)一般地，如图 171，如果在公共的积分区间a
2、，b上有f(x)g(x)，那么直线xa，xb与曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积为S f(x)g(x)dx.即曲b a边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分图 1712变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.b a思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？提示不同路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念3变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(a0)的图象所围成的阴影部分(如图 173 所示)的面积为 ，则k
3、_.4 34图 173(2)求由曲线y，y2x，yx所围成的图形的面积x1 3解 (1)由Error!解得 Error!或Error!故阴影部分的面积为 (kxx2)dx Error!k3k3k3 ，解得k2.k 0(1 2kx21 3x3)1 21 31 64 3(2)画出图形，如图所示解方程组Error!Error!及Error!得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以Sdx (2x)dx1 0x(13x)3 1(1 3x)1 0(x13x)dxdx3 1(2x1 3x)Error!Error!(2 3x3 21 6x2)(2x1 2x21 6x2)3 1 Error!2
4、31 6(2x1 3x2) 6 92 .5 61 31 313 6母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图 174，已知点A，点(0，1 4)P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若阴影部分的面积与OAP的面积相等” ，则x0_.图 174解 由题意知5即x0x，1 81 3 3 0解得x0或x0或x00.6464x00，x0.642(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线yx2在点P(2,4)处的切线与曲线及x轴所围成的图形面积为S” ，求S.解 y|x24，故曲线在P点处的切线方程为y44(x2)，即y4x4，故所求面积Sx2dx (x24x4)dxx3Error!Error
5、! .1 02 11 3(1 3x32x24x)2 33(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2x，y2x所围成的图形的面积 ”解 由Error!得Error!或Error!阴影部分的面积S (2yy2)dyError!(2yy2 2y33) .(21 21 3) (428 3)9 2规律方法 求曲边梯形面积的一般步骤如下： 求变速直线运动的路程有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求：(1)P从原点出发，当t6 时，求点P移动的路程和离开原点的位移；6(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值. 【导学号：31062101】解
6、 (1)由v(t)8t2t20 得 0t4，即当 0t4 时，P点向x轴正方向运动，当t4 时，P点向x轴负方向运动故t6 时，点P移动的路程s1 (8t2t2)dt (8t2t2)dt4 06 4Error!Error!(4t22 3t3)(4t22 3t3).128 3当t6 时，点P的位移为(8t2t2)dtError!0.6 0(4t22 3t3)(2)依题意 (8t2t2)dt0，t 0即 4t2t30，2 3解得t0 或t6，t0 对应于P点刚开始从原点出发的情况，t6 是从原点出发，又返回原点所用的时间规律方法 做变速直线运动的物体，从时刻ta到时刻tbab所经过的路程s和位移s
7、情况如下：1若vt0，则svtdt；svtdt.即ss.b ab a2若vt0，则svtdt；svtdt.即ss.b ab a3若在区间a，c上，vt0，在区间c，b上vt0，则svtdtvtdt，svtdt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间.c ab cb a7跟踪训练1有一辆汽车以每小时 36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车设汽车以 2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t.令v(t)0，解得t5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s (102
8、t)dt(10tt2) 5 0Error!25(m)故从开始刹车到停车，汽车行驶了 25 m.求变力做功设有一个长为 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧伸长到 30 cm，求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功解 设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)kx(其中常数k为比例系数)因为当f(x)100 时，x5，所以k20.所以f(x)20x.弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时，弹簧伸长的长度x从 0 cm 变化到 15 cm，故所做的功W 20xdx10x2Error!2 250(Ncm)22.5(J)15 0规律方法 求变力做功
9、的方法步骤(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式WF(x)dx计算b a(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳跟踪训练2一物体在力F(x)Error!(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0 处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为( )A10 J B12 JC14 JD16 JB B W 2dx (2x2)dx2xError!(x22x) Error!4(16844)2 04 212(J)8当 堂 达 标固 双 基1在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )S f(x)g(x)dx S (22x8)
10、dxa b8 02x S4 1fxdx7 4fxdxSa 0gxfxdxb afxgxdx 图 175 A BCDD D 错误，S f(x)g(x)dx；b a错误，S 2dx (22x8)dx；4 02x8 42x正确2曲线ycos x与坐标轴所围图形的面积是( ) (0 x3 2)【导学号：31062102】A2B3CD45 2B B Ssin sin 0sin sin 10113. 23 2 293一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A405B540C810D945A A 停车时v(t)0，由 270.9t0，得t30，sv(t)dt (270.9t)dt(27t0.45t2) Error!405.30 030 04设a0，若曲线y与直线xa，y0 所围成封闭图形的面积为a2，则xa_.解析 由已知得Sa2，所以a ，所以a .2 34 9答案 4 95一物体在变力F(x)(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x8 m 处运动36 x2到x18 m 处，求力F(x)在这一过程中所做的功解 由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在8,18上的定积分，从而WF(x)dx36x1Error!(36181)(3681)(2) (J)18 8(9 2)5 2从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为 J.52