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1、第五节分析法、综合法与反证法第五节分析法、综合法与反证法考考纲纲点点击击1.了解直接了解直接证证明的两种基本方法明的两种基本方法分析法和分析法和综综合法；合法；了解分析法和了解分析法和综综合法的思考合法的思考过过程、特点程、特点.2.了解了解间间接接证证明的一种基本方法明的一种基本方法反反证证法，了解反法，了解反证证法的思考法的思考过过程、特点程、特点.热热点点提提示示1.本考点在高考中每年都要涉及，主要以考本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查查直接直接证证明中的明中的综综合法合法为为主主.2.反反证证法法仅仅作作为为客客观题观题的判断方法不会的判断方法不会单单独命独命题题.1直接直接证证明
2、明内容内容综综合法合法分析法分析法定定义义利用已知条件和某些利用已知条件和某些数学定数学定义义、公理、定、公理、定理等，理等，经过经过一系列的一系列的 ，最后推，最后推导导出所要出所要证证明的明的结论结论 从要从要 出出发发，逐步逐步寻寻求使它成立的求使它成立的 直至最后，把要直至最后，把要证证明明的的结论归结为结论归结为判定一判定一个明个明显显成立的条件成立的条件实质实质由因由因导导果果执执果索因果索因框框图图表示表示文字文字语语言言因因为为所以所以或由或由得得要要证证只需只需证证即即证证推理推理论证论证成立成立证证明的明的结论结论充分条件充分条件2间间接接证证明明反证法：假设原命题 (即在
3、原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法不成立不成立矛盾矛盾【答案答案】C2否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析解析】a，b，c恰有一个是偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确【答案答案】D3(2008年日照模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ab中至少有一个成立；
4、ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数是()A0 B1C2 D3【解析解析】正确，中，ac，bc，ab可能同时成立，如a1，b2，c3.【答案答案】C【答案答案】xy【答案答案】24综合法证明不等式综合法证明不等式已知xyz1，求证：x2y2z2 .【思路点思路点拨拨】利用a2b22ab，同时变形利用xyz1，从而(xyz)21可证【自主探究自主探究】x2y22xy，x2z22xz，y2z22yz，2x22y22z22xy2xz2yz.3x23y23z2x2y2z22xy2xz2yz.3(x2y2z2)(xyz)21.x2y2z2 .【方法点方法点评评】1.综合法是“由因导果”，它是从
5、已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性用综合法证明题的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“，”或“”2综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法分析法分析法已知非零向量a，b，且ab，求证：【思路点思路点拨拨】abab0，同时注意，a2|a|2，将要证式子变形平方即可获证【自主探究自主探究】ab，ab0要证只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即(|
6、a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证【方法点方法点评评】1.分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件2分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有这只需证明命题P2为真，从而有这只需证明命题P为真而已知P为真，故Q必为真【特特别别提醒提醒】用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错2已知a0，b0，且ab1，试用分析法证明不等式反证法反证法 已知a，b，c是互不相等的实数求证：由yax22bxc，ybx22cxa
7、和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点【思路点拨】【思路点拨】利用反证法：【自主探究自主探究】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，3(2a)24bc0.同向不等式求和得，4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ca0，(ab)2(bc)2(ca)20，abc，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证【方法点方法点评评】1.反证法是间接证明问题的一种
8、常用方法，其证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立(结论成立)2用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据
9、这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的3常见的“结论词”与“反设词”如下：原原结论词结论词反反设词设词原原结论词结论词反反设词设词至少有一至少有一个个一个也没有一个也没有对对所有所有x成立成立存在某个存在某个x不成不成立立至多有一至多有一个个至少有两个至少有两个对对任意任意x不成不成立立存在某个存在某个x成立成立至少有至少有n个个至多有至多有n1个个p或或qp且且q至多有至多有n个个至少有至少有n1个个p且且qp或或q3若x，y都是正实数，且xy2.
10、1.(2009年辽宁高考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点(1)若CD=2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线【解析解析】(1)取CD的中点G，连接MG，NG，(2)假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN，又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立所以ME与BN不共面，它们是异面直
11、线2(2009年重庆高考)已知a11，a24，an24an1an，bn ，nN*.(1)求b1，b2，b3的值；(2)设cnbnbn1，Sn为数列cn的前n项和，求证：Sn17n；(3)求证：|b2nbn|1综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知2分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4反证法在高考中的要求不太高，但是这种“正难则反”的思维方式要引起足够的重视，要与命题的否定，否命题的概念结合起来学习在解决问题时要从多方面，多渠道考虑，提高解决问题的灵活性课时作业课时作业点击进入链接点击进入链接课时作业课时作业点击进入链接点击进入链接