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1、折纸艺术中的数学问题研究系列1世世界界著著名名折折纸纸大大师师 足足以以以以假假乱乱真真的的折折纸纸作作品品2可可爱爱的的小小企企鹅鹅3拉拉小小提提琴琴的的美美少少女女4可爱的小狗可爱的小狗5温顺的马温顺的马6课前热身课前热身-折纸游戏折纸游戏你能做到吗?1.用一张用一张直直角三角形角三角形形状的形状的纸片纸片,你能折叠成你能折叠成面积减半面积减半的的长方长方形形吗吗?7EABCDFFDEC8课前热身课前热身-折纸游戏折纸游戏 2.你能用你能用一般一般的三角形的三角形形状的纸形状的纸片折叠成片折叠成面积减半面积减半的的长方形长方形吗吗?9EABCDFG H观察图中的观察图中的折痕折痕，你，你发
2、现它有什么发现它有什么特点吗？特点吗？观察与发现10专题专题 折叠问题折叠问题1)1)将菱形将菱形ABCDABCD按图折叠，使按图折叠，使A A与与B B重合，折痕为重合，折痕为MNMN，AA与与11之间数量关系为（之间数量关系为（）。）。D C D C M 1 M 1 A N B A N B112A2A11 E A O D B C 2 2）已知：如图所示，把一张矩形的纸片）已知：如图所示，把一张矩形的纸片ABCDABCD沿沿BDBD对折，对折，使使C C点落在点落在E E处，处，BEBE与与ADAD相交于点相交于点O O，写出一组相等的线写出一组相等的线段段 _(不包括不包括AB=CDAB=
3、CD和和AD=BCAD=BC），），一组相等角一组相等角_(不包括不包括AA ABCABCCC CDACDA）DE=CDDE=CD（BE=BC BE=BC、AB=DEAB=DE、OA=OE OA=OE、OB=ODOB=OD等等 ）122 2）已知：如图所示，把一张矩形的纸片）已知：如图所示，把一张矩形的纸片ABCDABCD沿沿BDBD对折，对折，使使C C点落在点落在E E处，处，BEBE与与ADAD相交于点相交于点O O，写出一组相等的线写出一组相等的线段段 _(不包括不包括AB=CDAB=CD和和AD=BCAD=BC），），一组相等角一组相等角_(不包括不包括AA ABCABCCC CDA
4、CDA）DE=CDDE=CD（BE=BC BE=BC、AB=DEAB=DE、OA=OE OA=OE、OB=ODOB=OD等等 ）CCE E（EBDEBDCBDCBD、EDBEDBCDB CDB、AAE E、AOBAOBEODEOD等）等）E A O D B C 13已知：如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在E处，BE交AD于O，AD=8，AB=4.求BOD的面积.解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点 的对称轴，会形成轴对称图形。本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方 程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”。14练习：1 1将矩形将矩形ABCDABCD
5、纸对纸对折，折，设设折痕折痕为为MNMN，再把，再把B B点叠在折点叠在折 痕痕MNMN上（如上（如图图上点上点BB），若），若 AB=AB=，则折痕，则折痕AEAE的的 长是长是 ，AEFAEF是是 三角形。三角形。152 2如图，折叠矩形纸片如图，折叠矩形纸片ABCDABCD的一边的一边ADAD，点，点DD落落 在在BCBC边的点边的点F F处，已知处，已知AB=8cmAB=8cm，BC=10cm,BC=10cm,则则EC=EC=。163 3如图，把矩形纸片折叠，使点落在如图，把矩形纸片折叠，使点落在ADAD边的中点边的中点 C1 C1处，设折痕为处，设折痕为EFEF，AB=3AB=3，B
6、C=4BC=4，则，则 CE CE：BE=BE=，CFCF：FDFD 。17例例2 2如图，矩形如图，矩形A A1 1B Bl lC C1 1D D1 1沿沿EFEF折叠，使折叠，使B B1 1点落在点落在A A1 1D D1 1 边上的边上的B B处；沿处；沿BGBG折叠，使折叠，使D D1 1点落在点落在D D处且处且BDBD过过F F点点.(1)(1)求证：四边形求证：四边形BEFGBEFG是平行四边形；是平行四边形；(2)(2)连结连结B B1 1B B；判断；判断BB1 1BGBG的形状，并写出判断过程的形状，并写出判断过程18例例3 3（连云港）已知在矩形（连云港）已知在矩形ABC
7、DABCD中，中，ADABADAB，OO为为对角线的交点，过对角线的交点，过O O作一直线分别交作一直线分别交BCBC、ADAD于于MM、N N。（1 1）求证：梯形）求证：梯形ABMNABMN的面积等于梯形的面积等于梯形CDNMCDNM的面积的面积 （如图（如图）19（2 2）如图）如图，当，当MNMN满足什么条件时，将矩形满足什么条件时，将矩形ABCDABCD以以 MN MN为折痕，翻折后能使为折痕，翻折后能使C C点恰好与点恰好与A A点重合？点重合？（只写出满足的条件，不要求证明）（只写出满足的条件，不要求证明）（MNACMNAC）例例3 3（连云港）已知在矩形（连云港）已知在矩形AB
8、CDABCD中，中，ADABADAB，为，为对角线的交点，过对角线的交点，过OO作一直线分别交作一直线分别交BCBC、ADAD于于MM、N N。20 （3 3）在（）在（2 2）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积 是重叠部分的面积的，求是重叠部分的面积的，求BMBM：MCMC的值。的值。例例3 3（连云港）已知在矩形（连云港）已知在矩形ABCDABCD中，中，ADABADAB，OO为为 对角线的交点，过对角线的交点，过OO作一直线分别交作一直线分别交BCBC、ADAD于于MM、N N。21课堂小结:22如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点M为CD上一动点（与点C不重合），将矩形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.（1）写出图中全等的三角形（不包括虚线所在三角形）；（2）设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）是否存在点M的位置使BEM=90，若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.23