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1、1.2.1 1.2.1 常见函数常见函数的导数的导数(1)(1)一、复习一、复习1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:1.1.导数的导数的几何几何意义
2、：意义：曲线在某点处的切线的斜率曲线在某点处的切线的斜率;(瞬时速度或瞬时加速度瞬时速度或瞬时加速度)物理物理意义：意义：物体在某一时刻的瞬时速度。物体在某一时刻的瞬时速度。说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换换x0即为求函数在点即为求函数在点x0处的处的 导数导数.3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处
3、的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即新课新课:几种常见函数的导数几种常见函数的导数公式一公式一:y=kx+b =0(C为常数为常数)2 202110公式二公式二:通过以上公式我们能得到什么结论通过以上公式我们能得到什么结论?1例例1 1：求下列函数的导数求下列函数的导数公式三公式三:公式四公式四:解：解：例例2:2:求下列函数的导数：求下列函数的导数：
4、解：解：解：解：解：解：例例3:3:小结：小结：公式五公式五:对数函数的导数对数函数的导数公式六公式六:指数函数的导数指数函数的导数经典例题选讲经典例题选讲例例1:1:求过曲线求过曲线y=y=cosxcosx上点上点P()P()的切线的直线方程的切线的直线方程.O A xM Py例例2:如图如图,质点质点P在半径为在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速的圆上逆时针做匀角速 运动运动,角速度角速度1rad/s,设设A为起始点为起始点,求时刻求时刻t时时,点点P在在 y轴上的射影点轴上的射影点M的速度的速度.解解:时刻时刻t时时,因为角速度因为角速度1rad/s,所以所以 .故点故点M的运动方程为的
5、运动方程为:y=10sint.故时刻故时刻t时时,点点P在在 y轴上的射影点轴上的射影点M的速度为的速度为10costcm/s.北京大峪中学高三数学组 1/26/2023几种常见函数导数几种常见函数导数几种常见函数导数几种常见函数导数例例3:已知两条曲线已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条问是否存在这两条 曲线的一个公共点曲线的一个公共点,使在这一点处使在这一点处,两条曲线的切两条曲线的切线线 互相垂直互相垂直?并说明理由并说明理由.解解:设存在一个公共点设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件满足题设条件.由两条曲线的切线在点由两条曲线的切线在点P互相垂直互相垂直,则
6、则cosx0(-sinx0)=-1,得得sinx0cosx0=1,即即sin2x0=2.这不可能这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点所以不存在满足题设条件的一个点.练习练习1:曲线曲线y=sinx在点在点P()处的切线的倾斜角为处的切线的倾斜角为 _.例例4:已知曲线已知曲线 在点在点P(1,1)处的切线与直线处的切线与直线m平行且平行且 距离等于距离等于 ,求直线求直线m的方程的方程.设直线设直线m的方程为的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公由平行线间的距离公式得式得:故所求的直线故所求的直线m的方程为的方程为3x+y+6=0或或3x+y-14=0.2:2:若直线若直线y=4x+by=4x+b是函数是函数y=xy=x2 2图象图象的切线的切线,求求b b以及切点坐标以及切点坐标.若直线若直线y=3x+1是曲线是曲线y=ax3的切线的切线,试求试求a的值的值.解解:设直线设直线y=3x+1与曲线与曲线y=ax3相切于点相切于点P(x0,y0),则则有有:y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.由由,得得3x0+1=ax03,由由得得ax02=1,代入上式可得代入上式可得:3x0+1=x0,x0=-1/2.所以所以a(-1/2)2=1,a=4.拓展研究拓展研究2 2、求下列函数的导数求下列函数的导数1 1、抄写抄写8 8个公式两遍个公式两遍.