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1、第三章 证明（三）等腰梯形的性质与判定驶向胜利的彼岸 平行四边形的性质共有哪些？平行四边形的性质共有哪些？边：平行四边形的对边相等边：平行四边形的对边相等.角：平行四边形的对角相等。角：平行四边形的对角相等。对角线：平行四边形的对角线互相平分对角线：平行四边形的对角线互相平分.对称性：平行四边形是中心对称图形，对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。对称中心是对角线的交点。邻角互补邻角互补邻角互补邻角互补推论推论:夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的平行线段相等.回顾 思考对边平行对边平行对边平行对边平行思考：思考：下图是什么图形？有什么性质？下图是什么图形？有什
2、么性质？答：答：等腰梯形等腰梯形.其性质有：其性质有：（1）等腰梯形在同一底上的两个角相等；等腰梯形在同一底上的两个角相等；（2）等腰梯形的两条对角线相等；）等腰梯形的两条对角线相等；新 课 导 入5 5BDCA思考：思考：什么样的四边形叫做梯形？什么样的四边形叫做梯形？一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形 一组对边平行且不相等的四边形是梯形一组对边平行且不相等的四边形是梯形。如何判定？如何判定？w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w1 1、理解题意、理解题意:分清命题的分清命题的条件条件(已知已知),),结论结论(求证求证)w2 2
3、、根据题意、根据题意,画出图形画出图形;w3 3、结合图形、结合图形,用用几何语言几何语言写出写出“已知已知”和和“求证求证”;w4 4、证明：、证明：(1)分析题意,探索证明思路;(2)依据思路,写出证明过程;(3)检查表达过程是否准确,完善.等等腰腰梯梯形形的的性性质质等腰梯形同一底上的两个角相等.已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC.求证:B=C,A=D分析:可将两个角转化为同一三角形的内角,利用等腰三角形等边对等角来证明,于是可将AB平移到DE的位置，即过D作AB的平行线.BDCA证明:过点D作DEAB,交BC于点E.1=B.四边形ABED是平行四边形.AB=DE.AB=
4、DC,DE=DC.1=C.ADBC,DEAB,E1B=C.A+B=1800,ADC+C=1800.A=ADC.定理：定理：平移平移腰腰等等腰腰梯梯形形的的性性质质等腰梯形同一底上的两个角相等.已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC.求证:B=C,A=D分析:可将两个角转化为全等三角形的对应角,利用全等三角形的性质来证明,于是可分别过点A、D作梯形的高BDCA定理：定理：E EF F如图，如图，证证Rt ABE Rt DFC即可即可 作作两高两高等等腰腰梯梯形形的的性性质质 等腰梯形的两条对角线相等.已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC.求证:AC=DB.分析:可转化为
5、利用全等三角形的对应边相等来证明.证明:ABC=DCB.AB=DC.BC=CB,ABCDCB(SAS).AC=DB.ADBC,AB=DCBDCA定理：定理：等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.定理:等腰梯形的两条对角线相等.在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,AC=DB.在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,A=D,B=C.BDCABDCA 等腰梯形的性质共有哪些？等腰梯形的性质共有哪些？小结边：边：边：边：角：角：角：角：对角线：对角线：对角线：对角线：对称性：对称性：对称性：对称性：等腰梯形的两腰相等，两底平行。等腰梯形的两腰相等，两底平行。等腰梯形的两腰相等，两底平行
6、。等腰梯形的两腰相等，两底平行。等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等同一腰上的两个角互补同一腰上的两个角互补同一腰上的两个角互补同一腰上的两个角互补等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线。对称轴是过两底中点的直线。对称轴是过两底中点的直线。对称轴是过两底中点的直线。腰腰 角角 对角线对角线 等腰梯形等腰梯形同一底同一底上的两个上的两个角角相等相等等腰梯
7、形等腰梯形的对角的对角线相等线相等同一底上的两个同一底上的两个角相等的角相等的梯形梯形是是等腰梯形等腰梯形对角线相等的对角线相等的梯形梯形是是等腰梯形等腰梯形 等腰梯形等腰梯形的两腰的两腰相等相等两腰相等的两腰相等的梯形梯形是是等腰梯形（定义）等腰梯形（定义）逆命题逆命题逆命题逆命题等等等等 腰腰腰腰 梯梯梯梯 形形形形 性性性性 质质质质等腰梯形的判定等腰梯形的判定命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.ABCD如图，已知如图，已知:在梯形在梯形ABCD中，中，AD BC，B C .求证：求证：ABDC.方法方法方法等等腰腰梯梯形形的的判判定定已
8、知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,B=C.求证:AB=DC.BDCAE1证明:过点D作DEAB,交BC于点E.1=B.1=C.DE=DC.ADBC,DEAB,四边形ABED是平行四边形。AB=DE.B=C.AB=DC.命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.平移平移腰腰A AB BC CD D命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.已知已知:如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AD BC，B C 求证：梯形求证：
9、梯形ABCD是等腰梯形是等腰梯形E E易证易证 EB=EC，EA=ED EBEA=ECED 即即AB=CD延长延长BA、CD交于点交于点E即梯形即梯形ABCD是等腰梯形是等腰梯形分析：分析：延长延长两腰两腰A AB BC CD D命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.已知已知:如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AD BC，B C 求证：梯形求证：梯形ABCD是等腰梯形是等腰梯形作作AE BC于于E，DF CB于于FF F证证Rt ABE Rt DFC AB=
10、DC.E E即梯形即梯形ABCD是等腰梯形是等腰梯形分析：分析：等腰梯形的判定定理：等腰梯形的判定定理：同一底同一底上的两个上的两个角角相等相等的的梯形梯形是是等腰梯形等腰梯形作作两高两高ABCD命题：对角线相等的梯形是等腰梯形命题：对角线相等的梯形是等腰梯形.已知已知:如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AD BC，AC=BD 求证：梯形求证：梯形ABCD是等腰梯形是等腰梯形方法方法再证再证ABCDCB AB=CDABCD证明：证明：证明：证明：命题：对角线相等的梯形是等腰梯形命题：对角线相等的梯形是等腰梯形命题：对角线相等的梯形是等腰梯形命题：对角线相等的梯形是等腰梯形.已知已知已知已
11、知:如图，在梯形如图，在梯形如图，在梯形如图，在梯形ABCDABCD中，中，中，中，ADAD BCBC，AC=BD AC=BD 求证：梯形求证：梯形求证：梯形求证：梯形ABCDABCD是等腰梯形是等腰梯形是等腰梯形是等腰梯形EF作作作作AEAE BCBC于点于点于点于点E E，作作作作DFDF BCBC于点于点于点于点F F分析：分析：证证Rt AEC Rt DFB ACE=DBF即梯形即梯形ABCD是等腰梯形是等腰梯形作作两高两高ABCDE证明：过点证明：过点D作作DE AC交交BC的延长线于点的延长线于点E DE=AC=BDE=22=1AC=BD BC=CBABCDCBAB=DC四边形四边
12、形ABCD是等腰梯形是等腰梯形对角线相等对角线相等的梯形是的梯形是等腰等腰梯形梯形.已知已知:如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AD BC，AC=BD 求证：梯形求证：梯形ABCD是等腰梯形是等腰梯形 AD BC 则则ACED是平行四边形是平行四边形平移平移对角线对角线命题：命题：判定定理：判定定理：且且1=E12驶向胜利的彼岸等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.AB=DC.BDCABDCA小结 拓展解决梯形问题常作的辅助线解决梯形问题常作的辅助线 小结小结驶向胜利的彼岸BDCAE思路1:平移一腰至DE或CM思路2:作梯形的高思路3:延长两腰相交BDCA EFBDCAOBDCAMABCD思路4:平移对角线E 生活在书的世界之中，意味着领生活在书的世界之中，意味着领略思维的美，享受文化财富，使自身变略思维的美，享受文化财富，使自身变得更加高尚得更加高尚苏霍姆林斯基苏霍姆林斯基