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1、主要内容：主要内容：一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 第一章第一章 函数与极限函数与极限 第八第八-九节九节 连续函数的概念与性质连续函数的概念与性质一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量2.连续的定义连续的定义例例1 1证证由定义由定义2知知3.单侧连续单侧连续定理定理例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说或者
2、说函数在该区间上连续函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如，多项式函数在例如，多项式函数在R上是连续的。上是连续的。四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例3 3解解定理定理2 2二、函数的间断点1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解2.可去间断点可去间断点例例5 5解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃
3、间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点3.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解例例7 7解解例例8 8解解内容小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx思考题思考题1思考题思考题1解答解答且且1、一类；一类；二类。、一类；
4、一类；二类。2、定理定理3 3 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理4 4 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.三、初等函数的连续性初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意1注意注意2初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例9 9例例1010解解解解四.连续性在求
5、极限中的应用利用函数y=f(u)在u=A点连续的定义，可以证明，如果特别：（1）当f(u)=au 则（2）当f(u)=logau 则(3)当f(u)=(为实数)，则特别：第二章中的对数函数、幂函数、指数函数求导公式的推导过程要用到下面几个极限 例11.求下列极限 （a0a1）解：（1）(重要极限)=lne=1 1、最大值和最小值定理定义定义:例如例如,五、闭区间上连续函数的性质定定理理3(3(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间
6、内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.定定理理4(4(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.证证2、介值定理定义定义:几何解释几何解释:几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例1111证证由零点定理由零点定理,例例1212证证由零点定理由零点定理,小结四个定理四个定理最值定理最值定理;有界性定理有界性定理;零点定理零点定理;介值定理介值定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足这两点不满足,上述定理不一定成立上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;但反之不成立但反之不成立.例例但但思考题思考题2下述命题是否正确？下述命题是否正确？思考题思考题2解答解答不正确不正确.例函数例函数六、习题演练