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1、第五章第五章双曲型方程的差分方程双曲型方程的差分方程 第一节第一节一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂的双曲型方程（组）的基础。的双曲型方程（组）的基础。第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双曲方程在数值计算中特有的性质和现象。曲方程在数值计算中特有的性质和现象。第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完
2、全可以用来检验数值方法的效果和功能。用来检验数值方法的效果和功能。第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组）第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组）以及非线性双曲方程领域。以及非线性双曲方程领域。几种典型的差分格式几种典型的差分格式迎风格式迎风格式Lax-Friedrichs格式格式Lax-Wendroff格式格式Courant-Friedrichs-Lewy条件条件利用特征线构造差分格式利用特征线构造差分格式隐式格式隐式格式蛙跳格式蛙跳格式迎风格式的思想迎风格式的思想:在对微商进行近似的时候在对微商进行近似的时候,关于空间导数关于空间导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，用在
3、特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：于是有如下格式：1 1、迎风格式、迎风格式迎风格式的性质：迎风格式的性质：1 1、满足相容性，一阶精度，、满足相容性，一阶精度，截断误差为：截断误差为：2 2、条件稳定的，稳定性条件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为：所以此格式绝对不稳定所以此格式绝对不稳定.2 2、Lax-Friedrichs Lax-Friedrichs 格式格式 Lax-FriedrichsLax-Friedrichs格式的性质：格式的性质：1 1、满足相容性，一阶精度，、满足相容性，一阶精度，截断误差为：截断误差为：2
4、 2、条件稳定的，稳定性条件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为：两种格式的比较两种格式的比较:1 1、它们的精度都是一阶的精度、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中在实际应用中,L-FL-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向格式可以不考虑对应方程的特征线的走向,而迎风格式却要考虑其走向而迎风格式却要考虑其走向.注、如果迎风格式写成统一格式注、如果迎风格式写成统一格式,也不必考虑特征线走向，也不必考虑特征线走向，但多了绝对值的计算。但多了绝对值的计算。2、比较截断误差L-F格式的右端项：格式的右端项：3 3、Lax-WendroffLax
5、-Wendroff格式格式1960年年Lax和和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层格式。构造了一个二阶精度的二层格式。构造的思想是利用构造的思想是利用Taylor展开式及方程本身。展开式及方程本身。代入上面的式子代入上面的式子,于是有于是有得到：得到：略去高阶项得到差分方程：略去高阶项得到差分方程：Lax-Wendroff格式格式利用利用Fourier方法分析稳定性，得增长因子为：方法分析稳定性，得增长因子为：Lax-WendroffLax-Wendroff格式的性质：格式的性质：1 1、满足相容性，二阶精度，、满足相容性，二阶精度，截断误差为：截断误差为：2 2、条件稳定的，稳定性条
6、件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为：4 4、Courant-Friedrichs-LewyCourant-Friedrichs-Lewy条件条件 由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域的关系导出的差分方程收敛的必要条件的关系导出的差分方程收敛的必要条件注：即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域注：即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域注、注、CourantCourant条件是保证稳定性（收敛性）条件是保证稳定性（收敛性）的必要条件，而非充分条件。的必要条件，而非充分条件。例
7、如：针对一维对流方程的差分格式的例如：针对一维对流方程的差分格式的CFL条件条件（a0）右偏格式右偏格式：显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，不满足不满足CFL条件，所以格式不稳定。条件，所以格式不稳定。左偏格式（迎风格式）左偏格式（迎风格式）：实际上实际上 也是稳定性的充分条件也是稳定性的充分条件 中心格式：中心格式：格式不稳定格式不稳定,所以所以CFL条件不是稳定性的充分条件条件不是稳定性的充分条件 Lax-Wendroff格式：格式：实际上实际上 也是稳定性的充分条件也是稳定性的充分条件 5 5、利用特征线构造差分格式利用特
8、征线构造差分格式 Beam-Warming格式格式 6 6、隐式格式、隐式格式 隐式中心隐式中心格式的性质：隐式中心格式的性质：1 1、满足相容性，对时间一阶，对空间二阶精度，、满足相容性，对时间一阶，对空间二阶精度，截断误差为：截断误差为：2 2、无条件稳定、无条件稳定3 3、无条件收敛、无条件收敛注、计算上需要人工边界条件注、计算上需要人工边界条件Grank-NicolsonGrank-Nicolson格式的性质：格式的性质：1 1、满足相容性，二阶精度，、满足相容性，二阶精度，截断误差为：截断误差为：2 2、无条件稳定、无条件稳定3 3、无条件收敛、无条件收敛注、计算上需要人工边界条件注
9、、计算上需要人工边界条件7 7、蛙跳（、蛙跳（leapleapfrogfrog）格式）格式 分析稳定性的分析稳定性的Fourier方法适用于二层格式，方法适用于二层格式，所以所以 把把 三层格式化为二层格式三层格式化为二层格式注：注：容易验证增长矩阵不是正规矩阵，所以容易验证增长矩阵不是正规矩阵，所以Neumann条件是满足稳定性的必要条件。条件是满足稳定性的必要条件。蛙跳格式的性质：蛙跳格式的性质：1 1、满足相容性，二阶精度，、满足相容性，二阶精度，截断误差为：截断误差为：2 2、条件稳定的，稳定性条件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为：注：蛙跳格式形式简单，二阶精度格式。注：蛙跳格式形式简单，二阶精度格式。三层格式，需要二阶的起步格式，如三层格式，需要二阶的起步格式，如Lax-WendroffLax-Wendroff格式格式