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1、参数估计2023/2/2【可编辑】本章引言本章引言 统计推断的基本问题可以分为两大类：一类是估估计问题计问题；另一类是假假设检验问题设检验问题。在实际问题中，往往已知总体X的分布函数的形式，但其一个或几个参数未知，因此只有在确定这些参数后，才能通过其分布来计算概率。如何确定这些参数的数值呢？这就是统计推断中的“参数估参数估计计”问题。借助总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估点估计计问题。参数的区区间间估估计计就是寻找两个统计量，作为左右端点，构成一个可能包含该待估计参数的一个随机区间(要求该随机区间包含待估计参数的概率满足一定要求)。2 本章介绍经典的总体参数估计方法，包
2、括参数的点估计和区间估计。参数的点估计包括矩法估计、最大似然估计和顺序统计量估计，并简单讨论评价估计量优劣的基本标准。参数的区间估计主要讨论正态总体参数的区间估计。本章只研究总体分布是连续型或离散型两种情形。为简便起见，引入一个对这两种情形通用的概念：概率函数概率函数。称随机变量X的概率函数为f(x)是指：对对于于连续连续型随机型随机变变量，量，f(x)是是X 的密度函数。的密度函数。对对于离散型随机于离散型随机变变量，量，f(x)是是X=x的概率。的概率。37.1 点估点估计计 直观理解：参数的点估计就是寻找一个适当的统计量，将样本观测值代入该统计量得到的值就作为该参数的估计值。4 矩法估计
3、的想法来源于切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。如果总体X存在k阶矩，对任意 0有这说明，当样本容量较大时，样本k阶矩与总体k阶矩差别很小(矩法估计的理论依据)。矩法估矩法估计计就是用就是用样样本本k阶阶矩估矩估计总计总体体k阶阶矩矩。由于总体各阶矩都与总体参数有关，可以通过用样本k阶矩估计总体k阶矩从而实现对参数的估计。7.1.1 矩法估计矩法估计58910117.1.2 最大似然估最大似然估计计法法 最大似然估计法是估计参数的另一种方法。它最早由高斯(C.F.Gauss)提出，后来被费歇(R.A.Fisher)完善。最大似然估计法也由费歇命名。该方法是建立在最大似然原理基础上的一个统计方法，并
4、得到广泛应用。最大似然原理：最大似然原理：最最先先出出现现的的事事件件是是发发生生概概率率最最大大的的事事件件。或或者者说说，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。12131415161718192021222324257.1.3 顺顺序序统计统计量估量估计计 就直观来讲，若对总体X作n次观测(抽取样本容量为n的样本)，则X的中位数应处于这n个观测值的中间位置，并且这n个观测值越集中，X的方差应越小。实际上总体是连续型随机变量且分布密度对称时，总体中位数就是均值。此时可用样本中位数估计总体均值，用样本极差估计总体标准差。即2627对点估计方法的评价：对点估
5、计方法的评价：1.矩估计法矩估计法(数字特征法数字特征法)直观意义比较明确，但要求总体X的k阶矩存在。2.极大似然估计法。极大似然估计法。具有一些理论上的优点，但要求似然函数可微。3.顺序统计量法顺序统计量法 使用起来方便，计算量不大，但准确度不高。28常用分布的点估计分布类型被估计参数估计量2(已知)2(未知)aUa,bbamaxX1,Xn minX1,Xn0-1ppp(1-p)k-1p297.2 估估计计量量优优劣性的劣性的评评价价303132333435363738394041424344454647487.3 参数的区参数的区间间估估计计 49507.3.1 单单个正个正态总态总体的区
6、体的区间间估估计计1.已知，求已知，求的置信区的置信区间间5152532.2未知，求未知，求的置信区间的置信区间5455说明说明：对比分析上述两例的结果会发现，由同一组样本观察值，按同样的置信概率，对对计计算算出出的的置置信信区区间间因因为为2的是否已知会不一的是否已知会不一样样。当当2为为已已知知时时，我们掌握的信息多一些，在其他条件相同的情况下，对的估计精度要高一些，即表现为的置信区间长度要小些。反反之之，当当2为为未未知知时时，对的估计精度要低一些，即表现为的置信区间长度再大一些。563.3.=0 0已知，求已知，求2 2的置信区间的置信区间5758594.未知，求未知，求2的置信区间的
7、置信区间60617.3.2 两个正两个正态总态总体的区体的区间间估估计计626364例例 两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床、乙机床生产的滚珠中分别抽取8个、9个，测得这些滚珠的直径(单位:mm)如下:甲机床 15.0,14.8,15.2,15.4,14.9,15.1,15.2,14.8乙机床 15.2,15.0,14.8,15.1,15.0,14.6,14.8,15.1,14.5 两台机床生产的滚珠直径服从正态分布，求这两台机床生产的滚珠直径均值差1-2 的置信区间，置信概率为0.90，设(1)已知甲、乙机床生产的滚珠直径的标准差分别为1=0.18mm及2=0.24mm。(2)1和2未知，但1=2。656667686970717273单个正态总体参数的区间估计单个正态总体参数的区间估计待估计参数 用到的样本函数及其分布区间估计74两个正态总体参数的区间估计两个正态总体参数的区间估计待估计参数 用到的样本函数及其分布区间估计757.3.3 单单个正个正态总态总体参数的体参数的联联合区合区间间估估计计767778797.3.4 非正非正态总态总体参数的区体参数的区间间估估计计 8081书面作业书面作业(P134P136)7.27.47.97.117.1982